中考数学总复习精炼（含答案）：06反比例函数、二次函数的图象和性质

反比例函数图象与性质

1.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象相交于点A(－1，m)，B(n，－1)两点．

(1)求一次函数表达式；

(2)求△AOB的面积．

解：(1)把A(－1，m)，B(n，－1)代入y＝－，得m＝5，n＝5，∴A(－1，5)，B(5，－1)，把A(－1，5)，B(5，－1)代入y＝kx＋b得解得∴一次函数解析式为y＝－x＋4；

(2)设一次函数与y轴的交点为点D，x＝0时，

y＝4，∴OD＝4，∴△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD＝×4×1＋×4×5＝12.

2．如图，已知一次函数y＝－2x＋8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C.

(1)切点C的坐标是________；

(2)若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝－2x＋8的图象向左平移m(m＞0)个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．

解：(1)∵一次函数y＝－2x＋8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C，

∴－2x＋8＝，∴x＝2，∴点C坐标为(2，4)；

(2)∵一次函数y＝－2x＋8的图象与坐标轴交于A，B两点，∴点B(4，0)，∵点M为线段BC的中点，∴点M(3，2)，∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为(2－m，4)，(3－m，2)，∴k＝4(2－m)＝2(3－m)，∴m＝1，∴k＝4.

3．一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，4)，B(－4，－6).

(1)求该一次函数的解析式；

(2)若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点，且3x1＝－2x2，求m的值．

解：(1)由题意得：

解得：∴一次函数解析式为：y＝2x＋2；

(2)联立消去y得：2x2＋2x－m＝0，则x1＋x2＝－1，因为3x1＝－2x2，解得

∴C(2，6)，∵反比例函数y＝的图象经过C点，

∴m＝2×6＝12.

4．双曲线y＝(k为常数，且k≠0)与直线y＝－2x＋b，交于A(－m，m－2)，B(1，n)两点．

(1)求k与b的值；

(2)如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．

解：(1)∵点A(－m，m－2)，B(1，n)在直线y＝－2x＋b上，∴解得：∴B(1，－4)，代入反比例函数解析式y＝，

∴k＝－4；

(2)∵直线AB的解析式为y＝－2x－2，

∴C(－1，0)，D(0，－2)，∵点E为CD的中点，

∴E(－，－1)，∴S△BOE＝S△ODE＋S△ODB＝OD·

(xB－xE)＝×2×(1＋)＝.

5．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2.

(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；

(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

解：(1)过点P作x轴的垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P(2，)，∵P在反比例函数y＝上，∴y＝，由正六边形的性质，A(1，2)，∴点A在反比例函数图象上；

(2)D(3，0)，E(4，)，设DE的解析式为

y＝mx＋b，∴∴

∴y＝x－3，联立方程

解得x＝，∴Q点横坐标为；

(3)E(4，)，F(3，2)，将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)，则点E与F都在反比例函数图象上．

二次函数的图象和性质

1.如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).

(1)求a的值和图象的顶点坐标．

(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．

①当m＝2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

解：(1)把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，

∴a＝2，∴y＝x2＋2x＋3，∴顶点坐标为(－1，2)；

(2)①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.

2．一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

(1)求k，a，c的值；

(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．

解：(1)由题意得，k＋4＝2，解得k＝－2，

又∵二次函数顶点为(0，4)，∴c＝4把(1，2)带入二次函数表达式得a＋c＝2，解得a＝－2；

(2)由(1)得二次函数解析式为y＝－2x2＋4，

令y＝m，得2x2＋m－4＝0，∴x＝±，

设B，C两点的坐标分别为(x1，m)(x2，m)，

则|x1|＋|x2|＝2，∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4×＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7，∴当m＝1时，W取得最小值7.

3．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4).

(1)求b，c满足的关系式；

(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

(3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．

解：(1)将点(－2，4)代入y＝x2＋bx＋c，得－2b＋c＝0，∴c＝2b；

(2)m＝－，n＝，∴n＝，

∴n＝2b－m2＝－4m－m2；

(3)对称轴x＝－，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当－5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25(舍去)；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则Δ≤0，∴0≤b≤8，∴－4≤x＝－≤0，

当－5≤x≤1时，函数有最小值－＋2b.

当－5≤－＜－2时，函数有最大值1＋3b，

当－2＜－≤1时，函数有最大值25－3b.函数的最大值与最小值之差为16，当最大值为1＋3b时，

1＋3b＋－2b＝16，∴b＝6或b＝－10，∵4＜b≤8，∴b＝6；当最大值为25－3b时，25－3b＋－2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b＜4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6.

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(，－)，Q(2，2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

解：(1)A(0，－)，点A向右平移2个单位长度，得到点B(2，－)；

(2)A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；

(3)∵对称轴x＝1，∴b＝－2a，∴y＝ax2－2ax－，①a＞0时，当x＝2时，y＝－＜2，当y＝－时，x＝0或x＝2，∴函数与线段PQ无交点；

②a＜0时，当y＝2时，ax2－2ax－＝2，x＝或x＝，当≤2时，a≤－；

∴当a≤－时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．