高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.(多选)(2020江西新余高二期末,)已知中心在原点,且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为3,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M的方程可能是( )
A.x22-y24=1B.y22-x24=1
C.y24-x22=1D.x24-y22=1
2.(多选)(2020山东章丘四中高二期中,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1·PF2=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
3.(2020广东深圳高二期末,)已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为( )
A.65B.6
C.35D.3
4.(2020四川成都七中高二期末,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于2,则其渐近线与圆x2+(y+4)2=3的位置关系是( )
A.相交B.相切 C.相离 D.不确定
5.(2020安徽蚌埠高二期末,)已知双曲线C:y22-x2b=1(b>0)的离心率为2,则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为( )
A.2 B.32 C.2 D.3
6.(2020江西南昌二中高二期中,)设F1,F2是双曲线x24-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,PF1·PF2的值为( )
A.0B.1
C.12D.2
7.(2020湖北宜昌高二期末,)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P,且以OF2为直径的圆与直线PF1相切,若|PF1|=8,则双曲线的焦距等于( )
A.62B.6
C.32D.3
8.(2020山东威海高二期中,)已知双曲线x24-y22=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则△APF周长的最小值为( )
A.4+2B.4+42
C.22+26D.6+32
9.(2020河北保定高二期末,)已知直线y=x+1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率等于( )
A.2B.3C.2D.5
10.(2020河北衡水高二期中,)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|>|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|=|F1F2|,则3e1+e23的最小值为( )
A.4B.6C.4+22D.8
二、填空题
11.(2020甘肃兰州高二期末,)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-y23=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则椭圆C2的离心率是 .
12.(2020山西太原高二模拟,)已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e,则F2P·F2F1的值为 .
答案全解全析
一、选择题
1.AB 焦点到一条渐近线的距离为b,所以b=2,因为e=ca=1+b2a2=3,所以a2=2,所以该双曲线的方程为x22-y24=1或y22-x24=1.
2.ACD 由已知得a=b=1,c=2,因此渐近线方程为y=±x,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,点F1到双曲线的一条渐近线的距离为b=1,由PF1·PF2=0得∠F1PF2=90°,所以△PF1F2的面积为b2tan∠F1PF22=b2tan45°=1,故A、C、D正确,B错误.
3.C 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±bax,由一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得ba=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=3,可得a=32,b=3,所以c=a2+b2=94+9=352,所以焦距为2c=35.
4.C 由于双曲线的离心率等于2,所以ca=2,即a2+b2a2=4,所以ba=3,所以渐近线方程为y=±3x.圆x2+(y+4)2=3的圆心为(0,-4),半径等于3,且圆心到渐近线的距离d=41+3=2>3,因此渐近线与圆x2+(y+4)2=3相离.
5.B 因为双曲线的离心率是2,所以e2=2+b2=4,解得b=6,故双曲线方程为y22-x26=1,即3y2-x2=6,渐近线方程为y=±33x,即x±3y=0,则C上任意一点P(x,y)到两条渐近线的距离之积为|x+3y|2×|x-3y|2=|x2-3y2|4=64=32.
6.A 由双曲线方程可得c=5,则F1(-5,0),F2(5,0).不妨设P(xP,yP)(xP,yP>0),由12×2c×yP=1,得yP=55,
∴P2305,55,∴PF1=-5-2305,-55,PF2=5-2305,-55,
∴PF1·PF2=0.
7.A 依题意知PF1⊥PF2,设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N,圆心为M,则MN⊥PF1,因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M,所以|NM||PF2|=|F1M||F1F2|.设双曲线的焦距为2c,则c2|PF2|=3c22c,解得|PF2|=2c3,由勾股定理可得|PF1|=|F1F2|2-|PF2|2=(2c)2-2c32=42c3,于是42c3=8,c=32,故焦距2c=62.
8.B 设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PG|+4+22,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取得最小值,为22,所以l的最小值为4+22+22=4+42.
9.B 由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减得x12-x22a2=y12-y22b2,整理得b2a2=y12-y22x12-x22,即kAB·kOM=b2a2,而kAB=1,kOM=2,所以b2a2=2,故离心率e=1+b2a2=3.
10.D 设|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,则|PF1|=2c,由椭圆的定义得|PF2|=2a1-2c,由双曲线的定义得|PF2|=2a2+2c,因此2a1-2c=2a2+2c,即a1-a2=2c,则1e1-1e2=2,于是3e1+e23=31e2+2+e23=6+3e2+e23≥6+2·3e2·e23=8,当且仅当3e2=e23,即e2=3时等号成立,故最小值等于8.
二、填空题
11.答案 23
解析 设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a1=2,焦距为2c=4,由于|F1F2|=|F1A|,所以|F1A|=4,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-4,由双曲线的定义可得|AF2|=4-2=2,所以2a-4=2,即a=3,所以椭圆C2的离心率e=23.
12.答案 2
解析 由双曲线方程x2-y23=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2,因为sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e=2,所以由正弦定理得|PF1||PF2|=2,可解得|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=4,根据余弦定理可得cs∠PF2F1=14,所以F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|·cs∠PF2F1=2×4×14=2.