人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试课后测评

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试课后测评，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2020浙江宁波高二月考,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=43,则抛物线C的准线方程为 ( )

A.x=-1B.x=-2
C.x=-32D.x=-3
2.(2020安徽阜阳高二期中,)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A12,2,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若MB=λAB,则实数λ=( )
A.13B.12C.2D.3
3.(多选)(2020山东青岛二中高三模拟,)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-12,则下列结论中不正确的是 ( )
A.|OM|+|ON|≥42
B.O到直线MN的距离不大于2
C.直线MN过抛物线y2=x的焦点
D.以MN为直径的圆的面积大于4π
二、填空题
4.(2020辽宁大连外国语学校高二期末,)如图,过抛物线y=14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则AB·DC= .
5.(2020山东临沂高二月考,)已知点P(1,-1)和抛物线C:y=14x2,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C分别交于A,B两点.若PA·PB=0,则k= .
6.(2020安徽合肥高三第一次质检,)抛物线y=2x2上有一动弦AB,弦AB的中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为 .
三、解答题
7.(2020湖北荆门高二期末,)已知直线y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于两点A,B.
(1)若m=p且|AB|=5,求抛物线C的方程;
(2)若m=4p,求证OA⊥OB(点O为坐标原点).
8.(2019浙江宁波高二检测,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,|AB|=5,若OA+OB=mOD,且D在抛物线上,求实数m的值.
9.(2019甘肃陇南城关中学月考,)已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A,B两点.
(1)求AB的中点的坐标;
(2)求△ABF2的周长与面积.
10.(2018天津理,)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=62.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ||PQ|=524sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
11.(2020四川南充高二期末,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-2y+4=0相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得1|AM|2+1|BM|2为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.D 设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=43sin60°=8,∴|AB|=16,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+p=16,∴x1+x2=16-p,联立直线和抛物线的方程得y2=2pxy=-3x-p2,∴3x2-5px+34p2=0,∴16-p=5p3,解得p=6,故抛物线的准线方程为x=-3.
2.C 把12,2代入抛物线的方程,得2=2p×12,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设MyM24,yM,则AB=-32,-2,MB=-1-yM24,-yM.由MB=λAB,得-1-yM24=-32λ,-yM=-2λ,解得λ=2或λ=1(舍去),故选C.
3.ACD 当直线MN的斜率不存在时,设M(y02,y0),N(y02,-y0),由直线OM、ON的斜率之积为-12,可得-1y02=-12,即y02=2,所以直线MN的方程为x=2;当直线MN的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立y=kx+m,y2=x,可得ky2-y+m=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=mk,x1x2=m2k2,所以kOM·kON=y1y2x1x2=km=-12,即m=-2k.故直线方程为y=kx-2k=k(x-2).故直线MN过定点(2,0),所以O到直线MN的距离不大于2,故B中结论正确,C中结论错误;当MN⊥x轴时,|OM|+|ON|=22<42,以MN为直径的圆的面积为2π,故A,D中结论错误.
二、填空题
4.答案 -1
解析 设A(x1,y1),D(x2,y2),易知AB·DC=-|AB||CD|=-(|AF|-1)(|DF|-1)=-y1y2.设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,y=14x2,可得y2-(2+4k2)y+1=0,所以y1y2=1,故AB·DC=-1.
5.答案 12
解析 设抛物线C:y=14x2的焦点为F,则F的坐标为(0,1),故直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线C的方程,整理得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,由PA·PB=0得,(x1-1)(x2-1)+(y1+1)(y2+1)=0,整理得x1x2-(x1+x2)+1+(x1x2)216+x12+x224+1=0,可得(2k-1)2=0,解得k1=k2=12.
6.答案 118
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b,联立y=kx+b,y=2x2可得2x2-kx-b=0,
则Δ=k2+8b>0,∴x1+x2=k2,x1x2=-b2.
∵|AB|=1+k2×(x1+x2)2-4x1x2=3,
∴b=1291+k2-k24,
AB的中点M的纵坐标yM=y1+y22=x12+x22=k24+b=k28+92(1+k2)=k2+18+92(1+k2)-18≥2916-18=118,当且仅当k2+18=92(1+k2),即k=±5时等号成立.
三、解答题
7.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若m=p,则y=2x-m=2x-p,联立y=2x-p,y2=2px得4x2-6px+p2=0,
则x1+x2=32p,
∵直线过抛物线的焦点Fp2,0,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=52p=5,
∴p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:若m=4p,则y=2x-m=2x-4p.由y=2x-4p,y2=2px得4x2-18px+16p2=0,则x1+x2=92p,x1x2=4p2,
∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)×(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×92p2+16p2=0,
∴OA⊥OB.
8.解析 (1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为x214-y234=1,因此c2=14+34=1,c=1,所以双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
则p2=1,2p=4,
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由y=k(x-1),y2=4x可得y2-4ky-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4k,x1+x2=4k2+2.
因为|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=4k2+4=5,所以k2=4,即k=±2.
设D(x0,y0),则由OA+OB=mOD得x0=1m(x1+x2)=3m,y0=1m(y1+y2)=±2m,
由于D在抛物线上,因此4m2=12m,可得m=13.
9.解析 (1)由x23+y22=1,知a=3,b=2,∴c=1.
∴F1(-1,0),F2(1,0),
∴l的方程为y=x+1.
由x23+y22=1,y=x+1消去y,整理得5x2+6x-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-65,x1x2=-35,x0=x1+x22=-35,y0=y1+y22=x1+1+x2+12=x1+x22+1=25,
∴AB的中点的坐标为-35,25.
(2)由题意,知F2到直线AB的距离d=|1-0+1|12+(-1)2=22=2,|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=835,
∴△ABF2的周长为4a=43,面积为12×835×2=465.
10.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又a2=b2+c2,所以2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=2b,
由|FB|·|AB|=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=y2sin∠OAB,而∠OAB=π4,所以|AQ|=2y2.
由|AQ||PQ|=524sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组y=kx,x29+y24=1消去x,可得y1=6k9k2+4.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组y=kx,x+y-2=0消去x,可得y2=2kk+1.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=39k2+4,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,
解得k=12或k=1128.
所以k的值为12或1128.
11.解析 (1)联立方程得x-2y+4=0,y2=2px,消去x,得y2-22py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,又p>0,所以p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0),设直线l的方程为x=ty+m,
由x=ty+m,y2=8x得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,y1y2=-8m.
∵|AM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12,
|BM|2=(x2-m)2+y22=(t2+1)y22,
∴1|AM|2+1|BM|2=1(t2+1)y12+1(t2+1)y22=1t2+1·y12+y22y12y22=1t2+1·4t2+m4m2,
当m=4时,1|AM|2+1|BM|2为定值,
所以M(4,0).