人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案，共10页。学案主要包含了知识导学，新知拓展等内容，欢迎下载使用。
第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值(教师独具内容)课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.【知识导学】知识点　正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)(2)存在x∈R满足sinx＝.(　　)(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)在下列区间中，函数y＝sinx单调递增的是(　　)A．[0，π]   B.C.   D．[π，2π](2)函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为(　　)A．ymax＝3，x＝B.ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)(3)函数y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为________．答案　(1)C　(2)C　(3)题型一  正弦函数、余弦函数的单调区间例1　求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1－sin；(2)y＝sin；(3)y＝logsin；(4)y＝cos2x.[解]　(1)由题意可知函数y＝sin的单调递减区间即为y＝1－sin的单调递增区间，由2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，所以函数y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．(2)y＝sin＝－sin.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z)，故所求单调递增区间为(k∈Z)．(4)函数y＝cos2x的单调递增区间由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z. 金版点睛求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．  　求下列函数的单调区间：(1)y＝cos；(2)y＝3sin.解　(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是，k∈Z.当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是，k∈Z.(2)y＝3sin＝－3sin，令z＝2x－，则y＝－3sinz.要取y＝－3sinz的增区间即取y＝sinz的减区间，即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)．要取y＝－3sinz的减区间即取y＝sinz的增区间，即2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)． 题型二  比较三角函数值的大小例2　比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°；(3)sin1，sin2，sin3.[解]　(1)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，∵π<<<2π，∴cos<cos，即cos<cos.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(3)∵1<<2<3<π，又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.0<π－3<1<π－2<，而y＝sinx在上单调递增，∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2. 金版点睛比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．   　(1)两个数cos和cos的大小关系是________；(2)按由小到大的顺序排列下列数：cos，sin，－cos.写在横线上为________________．答案　(1)cos<cos(2)cos<sin<－cos解析　(1)cos＝cos＝cos＝－cos，而cos＝－cos，∵0<<<，∴cos>cos，∴－cos<－cos，∴cos<cos.(2)sin＝cos≈cos1.47，－cos＝cos≈cos1.39，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴cos1.5<cos<cos，即cos<sin<－cos.题型三  正弦函数、余弦函数的最值问题例3　求下列函数的值域：(1)y＝cos，x∈；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.[解]　(1)由y＝cos，x∈，可得x＋∈，函数y＝cosx在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴当t＝－1时，y取得最大值10，当t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．[条件探究]　(1)将本例(1)改为y＝cos，x∈，再求值域；(2)若将本例(1)改为y＝sin，x∈，值域又如何？解　(1)y＝cos，∵x∈，∴x－∈，由余弦函数的图象及其单调性可知cos∈.∴所求函数的值域为.(2)y＝sin，∵x∈，∴x＋∈，由正弦函数的图象及其单调性可知sin∈，∴所求函数的值域为. 金版点睛三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．附：形如y＝或y＝(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．   　(1)已知函数f(x)＝2asinx＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值；(2)求函数y＝cos2x－sinx在x∈上的最大值和最小值．解　(1)因为x∈，所以sinx∈.或解得或(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－2＋.因为－≤x≤，－≤sinx≤，所以当x＝－，即sinx＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当x＝，即sinx＝时，函数取得最小值，ymin＝－. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　1．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(　　)A．[－1,1]   B.C.   D.答案　C解析　y＝sin2x＋sinx－1＝2－，当sinx＝－时，ymin＝－；当sinx＝1时，ymax＝1，故选C.2．下列关系式中正确的是(　　)A．sin11°<cos10°<sin168°   B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°   D．sin168°<cos10°<sin11°答案　C解析　∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是(　　)A.  B.C.   D.答案　C解析　由y＝|sinx|的图象，易得函数y＝|sinx|的单调递增区间为，k∈Z.当k＝1时，得为函数y＝|sinx|的一个单调递增区间．4．函数y＝2sin的值域是________．答案　[0,2]解析　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1，∴y∈[0,2]．5．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，求ω的值．解　由题意可知f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上单调递增且2sinω＝，即sinω＝，所以有ω＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝6k＋(k∈Z)，因为0<ω<1，所以ω＝.