高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试课时作业

专题强化练3　利用基本不等式求最值(取值范围)

一、选择题

1.()设a>b>0,则a2+的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2

C.3 D.4

2.(2020江苏徐州侯集高级中学高二上学期期末,)已知x>0,y>0,z>0,且=1,则x+y+z的最小值为(　　)

A.8 B.9 C.12 D.16

3.()已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是(　　)

A.4 B.5

C.6 D.7

4.(2019江苏沭阳高二上学期期中,)正数a,b满足2a+b=1,且2-4a2-b2≤t-恒成立,则实数t的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

5.()设a>b>c>0,则2a2+-10ac+25c2的最小值是(　　)

A.2 B.4

C.2 D.5

6.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正实数,且xy-(x+y)=1,则(　　)

A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1

C.x+y≤(+1)2 D.xy≥2(+1)

二、填空题

7.()已知正数a,b,c满足3a-b+2c=0,则的最大值为　　　　. 

8.(2020江苏海安高二上学期期末,)已知a>0,b>0,且a+3b=,则b的最大值为　　　　. 

9.()若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c的最小值为　　　　. 

10.(2019江苏苏州高二上学期期中,)已知实数x,y满足x>0,y>0,且x+=5,则3x+y的最小值为　　　　. 

三、解答题

11.()(1)设a>b>c,且≥恒成立,求m的取值范围;

(2)记F=x+y-a(x+2),x>0,y>0,若对任意的x>0,y>0,恒有F≥0,请求出a的取值范围.

12.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.

(1)试用x、y表示S;

(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少,占地最少为多少平方米?

答案全解全析

专题强化练3　利用基本不等式求最值(取值范围)

一、选择题

1.D　∵a>b>0,∴a-b>0,∴a2+≥2=4,当且仅当a(a-b)=且ab=,即a=2b=时,等号成立.故选D.

2.B　∵x>0,y>0,z>0,∴x+y+z=x+(y+z)=[x+(y+z)]

=5+≥5+2=9,当且仅当x=3,y+z=6时,等号成立.故选B.

3.B　因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0.

所以a+b=(a+1)+(b+2)-3≥2-3=8-3=5,当且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时,等号成立,故选B.

4.B　∵2a+b=1,∴4a2+4ab+b2=1,∴4a2+b2=1-4ab,∴2+2×2a×b-1≤,当且仅当2a=b时取等号,

∴2-4a2-b2的最大值为,

∴t-≥,∴t≥.

5.B　2a2+-10ac+25c2

=a(a-b)+ab++a2-10ac+25c2≥4+(a-5c)2≥4,当且仅当a=时,等号成立.

6.A　∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,

∴xy=1+(x+y)≥1+2(当且仅当x=y=+1时,等号成立),

即(-1≥0,

解得≥+1,

即xy≥(+1)2.

xy=1+(x+y)≤(当且仅当x=y=+1时,等号成立),

即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,

解得x+y≥2(+1).故选A.

二、填空题

7.答案　

解析　∵3a-b+2c=0,

∴b=3a+2c,

∴≤,当且仅当3a=2c=时取等号,∴的最大值为.

8.答案　

解析　由a+3b=,得≥2当且仅当a=,即a=1时取等号,又b>0,所以3b2+2b-1≤0,

解得0<b≤,所以b的最大值为.

故答案为.

9.答案　4

解析　由题意得(a+b)(a+c)=4,所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2=4,

当且仅当a+b=a+c,即b=c时,等号成立.故2a+b+c的最小值为4.

10.答案　3

解析　因为x+=5,

所以5(3x+y)=≥+12,

当且仅当y=3x时取等号.

上式可化为(3x+y)2-15(3x+y)+36≤0,

解得3≤3x+y≤12,所以3x+y的最小值为3.

故答案为3.

三、解答题

11.解析　(1)由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以原不等式等价于≥m.

要使原不等式恒成立,只需的最小值不小于m即可.

因为

≥2+2=4,

当且仅当,即2b=a+c时,等号成立,所以m≤4.

(2)由F≥0,得x+y≥a(x+2).

因为x>0,y>0,所以a≤恒成立,

所以a≤.

又≥,当且仅当x=2y时,等号成立,

所以a≤.

12.解析　(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.

(2)由题知x>0,所以由xy=294得S=3×294+12×≥914+16·=1 250,

当且仅当=x,即x=21时,等号成立.

故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,占地最少为1 250平方米.