2020-2021学年第2章 常用逻辑用语本章综合与测试精练

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.命题“∃x∈(0,+∞),x2+1≤2x”的否定为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.∀x∈(0,+∞),x2+1>2x 

B.∀x∈(0,+∞),x2+1≤2x

C.∀x∈(-∞,0],x2+1≤2x 

D.∀x∈(-∞,0],x2+1>2x

2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被后人誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.”由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A.必要条件 

B.充分条件

C.充要条件 

D.既不充分又不必要条件

3.给出下列命题,其中为真命题的是(　　)

A.对任意x∈R,都有x2+2<0 

B.对任意x∈N,都有x2≥1

C.存在x0∈Z,使<1 

D.存在x0∈Q,使=3

4.对于任意实数x,<x>表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,则“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分又不必要条件

5.“a<1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件 D.充要条件

6.若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.-     B.a≤-或a≥

C.-≤a≤        D.a<-或a>

7.已知p:m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(　　)

A.(3,5) 

B.[3,5]

C.(-∞,3)∪(5,+∞) 

D.(-∞,3]∪[5,+∞)

8.已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0.若命题p为假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.命题p:存在实数x∈R,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3.若命题p为真命题,则实数x的取值集合可以为(　　)

A.{3,4,5} B.{x|x>3}

C.{x|x≥3} D.{x|-3≤x≤3}

10.命题“对于任意1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的充分不必要条件可以是(　　)

A.a≥9 B.a≥11

C.a≥10 D.a≤10

11.给出下列命题,其中真命题有(　　)

A.存在x<0,使|x|>x

B.对于一切x<0,都有|x|>x

C.存在x<0,使|x|≤x

D.若a=2n,b=3n,则存在n∈N*,使得a=b

12.取整函数:[x]=不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有(　　)

A.∀x∈R,[2x]=2[x]

B.∃x∈R,[2x]=2[x]

C.∀x,y∈R,若[x]=[y],则x-y<1

D.∀x,y∈R,[x+y]≤[x]+[y]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.“x=1”是“x2-3x+2=0”的　　　　　　条件. 

14.命题“∃x0>1,使得≥成立”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　. 

15.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合下列条件的,用序号填空.

(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　　　　. 

(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　. 

16.已知函数y1=,y2=-2x2-m,若∀x1∈{x|-1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤x≤2},使得y1≥y2,则实数m的取值范围是　　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定,并判断否定命题的真假.

(1)∀x∈R,x2>0;

(2)∃x∈R,x2=1;

(3)∃x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根;

(4)等腰梯形的对角线垂直.

18.(本小题满分12分)已知m∈R,命题p:对任意x∈[0,1],不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,命题q:存在x∈[-1,1],使得m≤2x-1.

(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;

(2)若命题q为假命题,求实数m的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.

(1)当a=3时,求A∩B;

(2)若a>0,且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

20.(本小题满分12分)求证:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<.

21.(本小题满分12分)设命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0.若p、q都为真命题,求实数m的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈{x|0<x<1},x+m-1<0,命题q:∀x∈{x|x>0},mx2+4x-1≠0.若p真、q假,求实数m的取值范围.

答案全解全析

本章达标检测

一、单项选择题

1.A　由存在量词命题的否定为全称量词命题,可得命题“∃x∈(0,+∞),x2+1≤2x”的否定为“∀x∈(0,+∞),x2+1>2x”.故选A.

2.A　由题意可知由“返回家乡”可推出“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件,故选A.

3.C　对任意x∈R,都有x2≥0,即有x2+2≥2,所以命题“对任意x∈R,都有x2+2<0”为假命题;因为0∈N,当x=0时,x2≥1不成立,所以命题“对任意x∈N,都有x2≥1”是假命题;因为-1∈Z,当x=-1时,x5<1,所以命题“存在x0∈Z,使<1”为真命题;因为使x2=3成立的实数只有±,而它们都不是有理数,所以命题“存在x0∈Q,使=3”是假命题.故选C.

4.B　当x=1.8,y=0.9时,满足|x-y|<1,但<1.8>=2,<0.9>=1,即<x>≠<y>;当<x>=<y>时,必有|x-y|<1,所以“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的必要不充分条件.故选B.

5.A　当方程x2-3x+a=0有实数根可得Δ=9-4a≥0,解得a≤.

∵a<1⇒a≤,a≤⇒/a<1,

∴“a<1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的充分不必要条件.故选A.

6.C　命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,故Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.故选C.

7.B　∵q是p的必要不充分条件,∴由p能得到q,而由q得不到p,由(x-2)(x-6)<0,得2<x<6,∴或

∴3≤m≤5,

∴实数m的取值范围是[3,5].

8.C　若a=0,则不等式等价为2x+3>0,不满足∀x∈R.

若a≠0,则解得a>,

∴当命题p为真命题时,实数a的取值范围为,

∴使命题p为假命题的实数a的取值范围是.故选C.

二、多项选择题

9.ABC　因为中位数为3,所以x≥3即可,故A,B,C均符合,D不符合.故选ABC.

10.BC　当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥x2的最大值.

因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,

所以a≥9.

因为a≥9⇒/a≥10,a≥10⇒a≥9,

a≥9⇒/a≥11,a≥11⇒a≥9.故选BC.

11.AB　易知选项A、B为真命题;C中命题“存在x<0,使|x|≤x”,是B中命题的否定,所以C为假命题;D中,“存在n∈N*,使得a=b”的否定是“对于任意的n∈N*,都有a≠b”,因为a-b=2n-3n=-n,所以对于任意的n∈N*,都有a<b,即a≠b,故D为假命题,故选AB.

12.BC　根据取整函数的概念知[2x]=2[x]不一定成立,如x取1.5,[2x]=3,2[x]=2,故A是假命题;x取1,[2x]=2,2[x]=2,故B是真命题;在C中,设x=n+a(n∈Z,0≤a<1),y=m+b(m∈Z,0≤b<1),若[x]=[y],则n=m,因此x-y=a-b≤a<1,故C是真命题;x取1.6,y取1.6,[x+y]=[3.2]=3,[x]+[y]=1+1=2,故D是假命题.故选BC.

三、填空题

13.答案　充分不必要

解析　解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2.因此,“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件.

14.答案　∀x>1,都有成立

解析　根据存在量词命题的否定是全称量词命题,得“∃x0>1,使得≥成立”的否定是∀x>1,都有成立.

15.答案　(1)①②③　(2)④

解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能一正一负;③a(a2+b2)=0⇔a=0或a=b=0;④ab>0⇔a>0,b>0或a<0,b<0.所以“a,b都为0”的必要条件是①②③,“a,b都不为0”的充分条件是④.

16.答案　[-4,+∞)

解析　因为x1∈{x|-1≤x≤3},x2∈{x|0≤x≤2},

所以y1∈{y|0≤y≤9},y2∈{y|-4-m≤y≤-m},

又因为∀x1∈{x|-1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤x≤2},使得y1≥y2,

所以y1的最小值大于或等于y2的最小值,

即-4-m≤0,所以m≥-4.

四、解答题

17.解析　(1)命题的否定:∃x∈R,使x2≤0.因为当x=0时,02=0,所以命题的否定为真命题.

(2)命题的否定:∀x∈R,x2≠1.因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假命题.

(3)命题的否定:∀x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根.因为当x=1时,12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假命题.

(4)命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直.易知命题的否定为真命题.

18.解析　(1)若命题p为真命题,则对任意x∈[0,1],不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,

令y1=x2-2x-1=(x-1)2-2,由二次函数性质得y1在x∈[0,1]时的最小值为-2,所以m2-3m≤-2,即m2-3m+2≤0,令y2=m2-3m+2,结合其图象可知当1≤m≤2时,y2≤0,故实数m的取值范围是[1,2].

(2)若命题q为真命题,则存在x∈[-1,1],使得m≤2x-1.

令y=2x-1,则y∈[-3,1],故m≤1.

所以当命题q为假命题时,实数m的取值范围是m>1.

19.解析　(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1或x≥4},

∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}.

(2)∵B={x|x≤1或x≥4},

∴∁RB={x|1<x<4},

由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件得A⫋∁RB,且A≠⌀,

又A={x|2-a≤x≤2+a}(a>0),

∴

∴0<a<1.

20.证明　①充分性:∵0<m<,

∴方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0,且>0,

∴方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.

②必要性:若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根,设为x1,x2,

则有解得0<m<.

综合①②得,方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<.

21.解析　若命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题,则Δ=4-4(m-3)≥0,解得m≤4;

若命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命题,则命题¬q:∃x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19=0为假命题,

即方程x2-2(m-5)x+m2+19=0无实数根,

因此Δ=4(m-5)2-4(m2+19)<0,解得m>.

又p、q都为真命题,所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩mm>=m<m≤4.

22.解析　若命题p是真命题,则x+m-1<0对0<x<1恒成立,即m-1<-x对0<x<1恒成立.当0<x<1时,-1<-x<0,所以m-1≤-1,即m≤0.若命题q是假命题,则¬q:∃x∈{x|x>0},使得mx2+4x-1=0为真命题,

即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.当m=0时,4x-1=0有正实数根;

当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,设两根为x1、x2,

①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;

②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0;

综上所述,m≥-4.

因为p真、q假,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.