高中苏教版 (2019)第3章 不等式本章综合与测试精练

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易混易错练

易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大致错

1.()已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.

2.()已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.易错

易错点2　忽略基本不等式等号成立的一致性

3.(多选)()下列各式的最小值为2的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a+b(ab=1) B.(ab=1)

C.a2-2a+3 D.

4.()已知m>0,n>0,则当81m2+n2+取得最小值时,m-n的值为　　　　. 

5.()已知正实数a,b满足a+b=1,求的最小值.

易错点3　忽略二次项系数的符号致错

6.()设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m}

C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n}

7.()一元二次不等式-x2+5x-4>0的解集为　　　　. 

8.()若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|1<x<m},则a=　　　　,m=　　　　. 

易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0致错

9.()不等式≥1的解集是(　　)

A. B.

C. D.{x|x<2}

10.()不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≤-1或x≥1}

11.()解不等式:≤0(a∈R).易错

思想方法练

一、函数与方程思想在解不等式中的应用

1.()若不等式<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.1<m<3 B.m<3

C.m<1或m>2 D.R

2.()已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则-cx2+2x-a>0的解集为　　　　　. 

二、分类讨论思想在解不等式中的应用

3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.

4.()解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).

三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用

5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,

(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?

(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?

(3)方程的两个根都大于0?

7.()已知不等式mx2-mx-1<0.

(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.

四、转化与化归思想在不等式问题中的应用

8.()已知∀x<<m恒成立,求m的取值范围.

9.()已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-2ax+1>0;命题q:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0.

(1)若p是真命题,求a的取值范围;

(2)若p,q一真一假,求a的取值范围.

答案全解全析

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易混易错练

1.解析　令得

∴9a-c=x.

∵-4≤x≤-1,∴≤-x≤①.

∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.

①和②相加,得-1≤x≤20,

即-1≤9a-c≤20.

2.解析　令4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b)(λ,μ∈R),则4a-2b=(λ+μ)a+(μ-λ)b,

所以解得

故4a-2b=3(a-b)+(a+b),

因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.

又2≤a+b≤4,所以5≤4a-2b≤10,

所以4a-2b的取值范围是[5,10].

易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.

3.BC　对于选项A,当a,b均为负值时,a+b<0,故最小值不为2;

对于选项B,因为ab=1,所以a,b同号,所以>0,所以≥2=2,当且仅当,即a=b=±1时,等号成立,故最小值为2;

对于选项C,a2-2a+3=(a-1)2+2,当a=1时,取最小值2;

对于选项D,≥2=2,

当且仅当,即a2+2=1时,取等号,但等号显然不成立,

故最小值不为2.故选BC.

4.答案　-4

解析　依题意知81m2+n2+≥18mn+≥81,当且仅当即时等号成立,则当81m2+n2+取得最小值时,m-n=-4.

5.解析　由题意得,+4=(1-2ab)·+4,

由a+b=1,得ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,

所以1-2ab≥1-,且≥16,

所以≥,

所以的最小值为.

6.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.

由m+n>0知m>-n,

所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}.

故选B.

7.答案　{x|1<x<4}

解析　原不等式等价于x2-5x+4<0,

因为方程x2-5x+4=0的根为x1=1,x2=4,

所以原不等式的解集为{x|1<x<4}.

方法总结　解一元二次不等式时要先把二次项系数化为正数.

8.答案　-3;-3

解析　由题意知,1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且a<0,

∴解得或

又a<0,∴

9.B　由≥1可得-1≥0,

所以≥0,即≤0,

所以

解得≤x<2.故选B.

10.C　因为(x-1)2≥0,所以原不等式等价于

解得x≥-1且x≠1.故选C.

11.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0.

当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1<x≤0,

此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0};

当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,

此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

易错警示　把含等号的分式不等式化为整式不等式时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.

思想方法练

1.A　因为4x2+6x+3=>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3,所以2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3,故实数m的取值范围是1<m<3.

2.答案　{x|-2<x<3}

解析　由ax2+2x+c>0的解集为,知a<0,且-是方程ax2+2x+c=0的两个根.

由根与系数的关系,得解得代入-cx2+2x-a>0并整理,得x2-x-6<0,解得-2<x<3.所以-cx2+2x-a>0的解集为{x|-2<x<3}.

3.解析　原不等式等价于<0.

①当a>0时,,原不等式的解集为;

②当a<0时,,原不等式的解集为;

③当a=0时,原不等式的解集为⌀.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为⌀.

4.解析　∵a≠0,∴关于x的方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=.

当a>0时,>0,此时不等式的解集为;

当a<0时,<0,此时不等式的解集为.

综上,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为.

5.答案　

解析　由题意知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象,如图所示.

由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.

6.解析　(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1)知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.

因此a的取值范围是{a|a<1}.

图1

(2)已知方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2)知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,

即解得-3<a<0.因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.

图2

(3)已知方程的两个根都大于0,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3)知,Δ≥0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,

即解得0<a≤1.

因此a的取值范围是{a|0<a≤1}.

图3

7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;

②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4<m<0.

综上,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}.

(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;

②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则只需x=1,x=3时的函数值均为负即可,

即

解得m<,此时0<m<;

③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则结合函数的大致图象知,只需x=1时的函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.

综上所述,实数m的取值范围是.

8.解析　∵x<,∴5-4x>0,∴4x-2++3≤-2+3=1,

当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,

故当x=1时,4x-2+取得最大值1.依题意得1<m,因此m的取值范围是{m|m>1}.

9.解析　(1)当1≤x≤2时,x2-2ax+1>0⇔2ax<x2+1⇔2a<x+,

又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,

故x+的最小值为2.

依题意得2a<2,即a<1.

因此,a的取值范围是{a|a<1}.

(2)假设q为真,可得Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.

由(1)知,当p为真时,a<1.

∵p,q一真一假,

∴当p真q假时,a的取值范围是-1≤a<1;

当p假q真时,a的取值范围是a>3.

综上,a的取值范围是{a|-1≤a<1或a>3}.