高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试测试题

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易混易错练

易错点1　遗忘或弄错对数函数的定义域而致错

1.()函数y=lo(x2-2x-3)的单调减区间为(　　)

A.(1,+∞) B.(3,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,-1)

2.()不等式lo(4-x)的解集为　　　　. 

3.()已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=　　　　. 

易错点2　遗忘对底数的讨论而致错

4.()若loga<1,则实数a的取值范围是　　　　. 

5.()求函数y=(a>0,a≠1)的定义域.

6.()若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值.

易错点3　换元时遗忘中间变量的取值范围而致错

7.()已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=f 2(x)+f(x2)的值域.

8.()求函数y=(lox+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.

易错点4　利用函数解决实际问题时忽略函数定义域而致错

9.(2019云南玉溪一中期中,)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市的收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市的收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)求f(x)的解析式及定义域;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?

思想方法练

一、分类讨论思想在对数函数中的应用

1.()若函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(-∞,-1]∪∪{1}

B.(-∞,-1)∪

C.(-∞,-1)∪

D.(-∞,-1]∪

2.()已知函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

3.()已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).

(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.

4.()已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值y随x的增大而减小,求满足(a+1的实数a的取值范围.

二、数形结合思想在求解不等式中的应用

5.()已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, f=0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　　　　. 

三、函数思想在实际应用题中的应用

6.()某种商品的进价为每件50元,据市场调查,当销售价格为每件x元(50≤x≤80)时,每天售出的件数为p=,若要使每天获得的利润最多,则销售价格应该定为多少元?

7.(2019湖南长沙长郡中学高一上学期期中,)某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30,则给予优惠:每多一人,每人的培训费用减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工为x人,每位员工的培训费用为y元,培训机构的利润为Q元.

(1)写出y与x(x∈N*)之间的函数关系式;

(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.

答案全解全析

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易混易错练

1.B　由x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,故函数的定义域为{x|x<-1或x>3}.根据复合函数的单调性可知求原函数的单调减区间,即求函数y=x2-2x-3在定义域内的单调增区间,易知y=x2-2x-3的增区间为(1,+∞),与原函数定义域取交集可得原函数的单调减区间为(3,+∞),故选B.

2.答案　(0,2)

解析　∵y=lox为(0,+∞)上的减函数,(4-x)⇔0<x<4-x,解得0<x<2,故解集为(0,2).

3.答案　4

解析　∵lg x+lg y=2lg(x-2y),

∴lg xy=lg(x-2y)2

⇔⇔

∴x=4y>0,∴=4.

4.答案　∪(1,+∞)

解析　当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是单调递增函数,

由loga<1=logaa,得a>,∴a>1;

当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是单调递减函数,

由loga<1=logaa得a<,∴0<a<.

综上所述,实数a的取值范围为∪(1,+∞).

5.解析　要使函数有意义,需满足ax-1≥0,即ax≥1.当a>1时,x≥0;当0<a<1时,x≤0,所以当a>1时,函数的定义域为[0,+∞);当0<a<1时,函数的定义域为(-∞,0].

6.解析　分情况讨论:

①当0<a<1时,函数f(x)=ax在[1,2]上单调递减,故f(x)max=f(1)=a1=a,f(x)min=f(2)=a2,∴a-a2=,解得a=或a=0(舍去);

②当a>1时,函数f(x)=ax在[1,2]上单调递增,故f(x)max=f(2)=a2,f(x)min=f(1)=a1=a,∴a2-a=,解得a=或a=0(舍去).综上所述,a=或a=.

7.解析　因为函数f(x)的定义域是[1,9],

所以解得1≤x≤3,

故函数y=f 2(x)+f(x2)的定义域为[1,3].

由题意知y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,

令t=log3x,则t∈[0,1],

y=t2+6t+6=(t+3)2-3,

由二次函数的图象(图略)可知此函数在[0,1]上递增,故所求函数的值域是[6,13].

8.解析　因为2≤x≤4,所以lo2≥lox≥lo4,即-1≥lox≥-2.

设t=lox,则-2≤t≤-1,y=t2-t+5,其图象的对称轴为直线t=,所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;当t=-1,即x=2时,ymin=.

9.解析　(1)由题意知,甲城市投资x万元,则乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=3·(120-x)+2=-+26.

依题意得解得40≤x≤80,

故f(x)=-+26(40≤x≤80).

(2)令t=,则t∈[2],

所以y=-≤t≤4).

所以当t=6,即x=72时,y取得最大值,为44万元.

所以当甲城市投资72万元,乙城市投资120-72=48万元时,总收益最大,且最大总收益为44万元.

思想方法练

1.D　由题意知(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对x∈R恒成立.

当a2-1=0时,解得a=±1,经检验,a=-1符合题意,a=1不符合题意,舍去;

当a2-1≠0时,有

解得a<-1或a>.

综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪,故选D.

2.C　f(a)>f(-a)

⇒或

⇒或

⇒a>1或-1<a<0.

故选C.

3.解析　(1)∵f(x)的值域为R,

令y=ax2+2x+1,则y=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),

当a<0时,显然不成立;

当a=0时,y=2x+1∈R,符合题意;

当a>0时,若y=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),

则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,故0<a≤1.

综上所述,a的取值范围是[0,1].

(2)由题意知y=ax2+2x+1的值恒为正,

则解得a>1,

故a的取值范围是(1,+∞).

4.解析　由题意得,函数在(0,+∞)上单调递减,

∴3m-9<0,解得m<3.

又∵m∈N*,∴m=1或m=2.

∵函数图象关于y轴对称,

∴函数y=x3m-9为偶函数,故m=1.

原不等式为(a+1.

y=在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减,

当a+1和3-2a都在区间(0,+∞)上时,

则解得即;

当a+1和3-2a都在区间(-∞,0)上时,

则解得解集为⌀;

当a+1和3-2a在不同单调区间时,

则解得即a<-1.

综上,a∈(-∞,-1)∪.

5.答案　∪(2,+∞)

解析　∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数.作出函数f(x)的大致图象如图所示.

由f=0,得f=0.

∴f(lox)>0⇒lo或lo⇒x>2或0<x<,∴不等式f(lox)>0的解集为∪(2,+∞).

6.解析　设每天获得的利润为y元,

则y=·(x-50)

=

=105×(50≤x≤80),

令t=,因为50≤x≤80,

所以10≤x-40≤40,≤≤,

所以y=105(-10t2+t),t∈,

所以当t=时,y有最大值,此时,即x=60,

所以销售价格应该定为每件60元.

7.解析　(1)当1≤x≤30且x∈N*时,y=850;

当30<x≤60且x∈N*时,

y=850-10(x-30)=1 150-10x.

故y=

(2)当1≤x≤30且x∈N*时,Q=850x-12 000,故Qmax=850×30-12 000=13 500;

当30<x≤60且x∈N*时,Q=1 150x-10x2-12 000,其图象(图略)的对称轴为直线x==57.5,

故当x=57或x=58时,Qmax=21 060.

因为13 500<21 060,所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.