苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解课后复习题

第8章　函数应用

8.1　二分法与求方程近似解

8.1.1　函数的零点

基础过关练

题组一　函数的零点与方程的根

1.(2020广东珠海高三上学期期末)已知函数f(x)的图象是连续的,且f(x)=x2+bx+c,b、c∈R,则“c<0”是“函数f(x)有零点”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点为　　　　. 

3.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.

(1)f(x)=-x2-4x-4;

(2)f(x)=;

(3)f(x)=4x+5;

(4)f(x)=log3(x+1);

(5)f(x)=

题组二　函数零点(方程的根)所在的区间

4.(2019江苏徐州高一上学期期中考试)函数f(x)=2x+3x的零点所在的区间是(　　)

A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(1,2)

5.(2019江苏启东中学高一上学期期中考试)函数f(x)=-log2x的零点所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+∞)

6.(2020江苏南通高一上学期教学质量调研)若函数f(x)=2x-x2(x<0)的零点为x0,且x0∈(a,a+1),a∈Z,则a的值为(　　)

A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

题组三　确定函数的零点个数

7.(2019江苏如皋中学高一上学期期中考试)已知符号函数sgn x=则函数f(x)=sgn(ln x)-ln x的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.函数f(x)=3x-log2(-x)有　　　　个零点. 

9.函数f(x)=log2(x-x2+2)的零点个数为　　　　. 

10.已知0<a<1,则函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为　　　　. 

11.(2020江西南昌新建一中高一上学期第二次月考)已知函数f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+1,a∈R.证明:函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.

题组四　根据零点(方程根)情况求参数值或范围

12.(2020江苏淮安高中校协作体高一上学期期中)设f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(　　)

A.0<a<1 B.0≤a<1

C.0<a≤1 D.0≤a≤1

13.(多选)(2020山东临沂罗庄高一上学期期中)若关于x的方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,则实数a的值可能是(　　)

A. B. C. D.

14.(2020江苏连云港高一上学期期中)已知关于x的方程3x2-(m+2)x-m+3=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是　　　　. 

15.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上只有一个零点,求实数a的取值范围.

能力提升练

题组一　函数零点(方程的根)的个数及应用

1.()已知函数f(x)在定义域(-∞,0),(0,+∞)上的图象是不间断的,若f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数, f(2)=0,则函数f(x)的零点(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有一个 B.有两个

C.至少有两个 D.无法判断

2.(2019江苏宿迁高一上学期期末,)已知函数f(x)=|1-|x-1||,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)=0(a∈R)有n个不同的实数根,则n的值不可能是　(　　)

A.3 B.4

C.5 D.6

3.(多选)(2020江苏陆慕高级中学高一上学期月考,)已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,则实数a的值为(　　)

A.-1 B.1 C. D.0

4.(2018上海交通大学附属中学高一期末,)已知定义在R上的偶函数y=f(x)的图象是不间断的,当x≥0时, f(x)=lg(x2+3x+2),则函数f(x)在R上的零点个数为　　　　. 

题组二　根据零点(方程根)情况求参数范围

5.()已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)=若f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪ D.

6.(2020四川绵阳高中高三第二次诊断性测试,)若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间上恰有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.[3,+∞)

C.[2,3] D.[2,3)

7.(2020江西上饶重点中学高三六校联考,)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-2m+1在区间[-2,4]内有3个零点,则实数m的取值范围是(　　)

A.

B.

C.

D.

8.(2020江苏盐城中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=若函数g(x)=2f(x)-mx恰有2个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　　　　. 

9.(2020江苏盐城射阳中学高一上学期联合测试,)若关于x的函数f(x)=x2+(m-2)x+2m-1在区间(0,1)内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是　　　　　　　　. 

10.(2019江苏江阴四校高一上学期期中考试,)已知函数f(x)=lo为奇函数.

(1)求实数k的值;

(2)设h(x)=,证明:函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数;

(3)若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间[3,4]上没有零点,求实数m的取值范围.

11.(2020江苏南通如皋高一上学期教学质量调研,)已知函数f(x)=其中m>1,且f.

(1)求实数m的值;

(2)若函数g(x)=f(x)-a有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),其中a∈,求x1+log4x2的取值范围.

答案全解全析

第8章　函数应用

8.1　二分法与求方程近似解

8.1.1　函数的零点

基础过关练

1.A　若c<0,则Δ=b2-4c>0,此时函数f(x)有零点,则“c<0”⇒“函数f(x)有零点”;

若c>0,取b=2,c=1,则f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,此时函数f(x)有零点,则“函数f(x)有零点”⇒/“c<0”.故“c<0”是“函数f(x)有零点”的充分不必要条件.

2.答案　2

解析　函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点即为方程log2(x2-4x+5)=0的根,即方程x2-4x+5=1的根,解得x1=x2=2,故函数的零点为2.

3.解析　(1)令-x2-4x-4=0,解得x1=x2=-2,所以函数f(x)存在零点,且零点为-2.

(2)令=0,解得x=1,

所以函数f(x)存在零点,且零点为1.

(3)令4x+5=0,显然方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点.

(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,

所以函数f(x)存在零点,且零点为0.

(5)当x≤1时,令2x-2=0,解得x=1;

当x>1时,令2+log2x=0,解得x=(舍去),所以函数f(x)存在零点,且零点为1.

4.B　因为f(-1)=<0, f(0)=1>0,且函数f(x)在R上单调递增,其图象在[-1,0]上是不间断的,所以函数f(x)的零点在区间(-1,0)上.

5.C　因为f(3)=2-log23>0,f(4)=<0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,其在区间[3,4]上的图象是不间断的,所以函数f(x)的零点所在的区间为(3,4).

6.C　当x<0时,f(-1)=2-1-<0,所以x0∈(-3,-2),所以a=-3.故选C.

7.C　当ln x>0,

即x>1时,f(x)=1-ln x,存在零点,零点为e;当ln x=0,即x=1时,f(x)=0,即1是f(x)的零点;当ln x<0,即0<x<1时,f(x)=-1-ln x,存在零点,零点为.

故函数f(x)有3个零点.

8.答案　1

解析　因为f(-1)=<0,且函数f(x)在定义域为增函数,其在区间[-2,-1]上的图象是不间断的,

所以函数f(x)有且仅有1个零点.

9.答案　2

解析　令x-x2+2=1,

即x2-x-1=0,因为Δ=1+4=5>0,

所以方程有两个实数根,所以函数f(x)有2个零点.

10.答案　2

解析　求函数f(x)=ax-|logax|(0<a<1)的零点个数,即求函数y=ax(0<a<1)和函数y=|logax|(0<a<1)的图象的交点个数.

画出函数y=ax(0<a<1)和y=|logax|(0<a<1)的大致图象,如图所示,

由图象可知有2个交点,

故0<a<1时,函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为2.

11.证明　H(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-1.

因为Δ=4a2-12(a-1)=4(a2-3a+3)=4>0,且H(x)在R上的图象是不间断的,

所以函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.

12.C　由题意,函数f(x)的大致图象如下:

f(x)-a=0有三个不同的实数根等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点,由图可知,0<a≤1.故选C.

13.BCD　在方程ax2-|x|+a=0中,当a=0时,方程只有一个解x=0,

∵方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,∴a≠0,x≠0,

∴方程可变为.

方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解等价于函数y=|x|+的图象和y=有4个不同的交点.

作出函数y=|x|+和y=的大致图象,如图所示,

易知函数y=|x|+的最小值为2,因此当>2,即0<a<时,

直线y=与函数y=|x|+的图象有4个不同的交点,

即原方程有4个不同的实数解,

所以满足要求的有B、C、D.故选BCD.

14.答案　(2,3)

解析　设函数f(x)=3x2-(m+2)x-m+3,

因为函数f(x)的一个零点在区间(0,1)上,另一个零点在区间(1,2)上,

又因为该函数图象开口向上,所以即解得2<m<3.

故实数m的取值范围是(2,3).

15.解析　若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,

所以a≠0.由题意可知f(x)在(-1,1)上是单调函数,且其在区间[-1,1]上的图象是不间断的,所以f(-1)·f(1)=-4×(6a-4)<0,解得a>,

故实数a的取值范围为.

能力提升练

1.B　因为f(x)在(0,+∞)上的图象是不间断的,且是减函数, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点,为2.

又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点,为-2,

所以函数f(x)在定义域内有两个零点.

2.A　令[f(x)]2+af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=-a,作出函数f(x)的大致图象如图所示,

由图象可知方程f(x)=0的实数根的个数是2,方程f(x)=-a的实数根的个数可能是0、2、3、4,所以n的值可能是2、4、5、6,不可能是3,故选A.

3.BC　∵集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=

0}中有且仅有一个元素,

∴方程(a2-1)x2+(a+1)x+1=0有且只有一个实数根或有两个相等的实数根.

当a2-1=0,a+1≠0,即a=1时,满足题意;当a2-1=0,a+1=0,即a=-1时,不满足题意,舍去;

当a2-1≠0,即a≠±1时,需满足Δ=(a+1)2-4×(a2-1)=0,

解得a=-1(舍去)或a=.∴a=1或a=.故选BC.

4.答案　0

解析　由题意知,当x≥0时, f(x)=lg(x2+3x+2),

令lg(x2+3x+2)=0,即x2+3x+2=1,解得x=(舍去).

因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数且其图象是不间断的,所以函数f(x)在R上的零点个数为0.

5.A　令g(x)=f(x)+f(-x),

则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),

又g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

∴g(x)为偶函数.

若x>0,则-x<0,

所以g(x)=f(x)+f(-x)=x2+2ax-x+1=x2+(2a-1)x+1.

方程f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解等价于g(x)=x2+(2a-1)x+1在x>0时有两个零点,

则解得a<-.

6.D　由题意得,函数f(x)在区间上有零点的充分条件为f(0)f≤0,即(1-loga2)(1-loga3)≤0,

则或

解得2≤a≤3.

当a=3时,f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),

显然函数f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且f=1-1=0, f(0)=1-log32>0,

f-log37<0,

所以函数f(x)在上有两个零点,不符合题意,

故实数a的取值范围为[2,3),

故选D.

7.D　当x∈[-2,-1]时,f(x)=x+2;当x∈(-1,0]时,f(x)=-x;当0<x≤1时,-2<x-2≤-1,此时f(x)=2f(x-2)=2x;

当1<x≤2时,-1<x-2≤0,此时f(x)=2f(x-2)=-2x+4;

当2<x≤3时,0<x-2≤1,此时f(x)=2f(x-2)=4x-8;

当3<x≤4时,1<x-2≤2,此时f(x)=2f(x-2)=-4x+16.

作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示.

函数g(x)=f(x)-x-2m+1在区间[-2,4]内有3个零点,

即函数y=f(x)的图象与y=x+2m-1的图象在区间[-2,4]内有3个不同的交点.由图象可得1-2m=-1或0<1-2m<2,

解得m=1或-.故选D.

8.答案　(-2,2)∪

解析　若x=0,则g(0)=0,故x=0是函数g(x)的一个零点.

若x≠0,则令g(x)=0,得当=1,

即m=2时,显然g(x)有无穷多个零点,故m≠2;

当=x2-5时,有x<m,

令h(x)=x2-5-,x<m,其大致图象如图所示,

观察h(x)的图象,当x<m时,若函数只有一个零点,则m应在线段NM上,

故h(m)=m2-5-≤0,

解得-2≤m≤,

当m=-2时,令h(x)=0,

则有x2-5+1=0,解得x=±2,不符合题意,

故-2<m≤.

综上,m∈(-2,2)∪.

9.答案　<m≤或m=6-2

解析　函数f(x)=x2+(m-2)x+2m-1在区间(0,1)内有且仅有一个零点等价于方程f(x)=0在(0,1)内有且仅有1个实数根.

当Δ=0,即(m-2)2-4(2m-1)=0时,解得m=6±2,

若m=6+2,方程f(x)=0的根为x1=x2=∉(0,1),不符合题意,舍去;

若m=6-2,方程f(x)=0的根为x1=x2=-2∈(0,1),符合题意.

当Δ>0,即(m-2)2-4(2m-1)>0时,解得m<6-2或m>6+2,

由题意可得f(0)f(1)<0,

即(2m-1)(1+m-2+2m-1)<0,

解得,

当f(0)=0时,m=,此时方程的另一根为x=∉(0,1),不符合题意,舍去;

当f(1)=0时,m=,此时方程的另一根为x=∈(0,1),符合题意.

综上所述,实数m的取值范围是<m≤或m=6-2.

10.解析　(1)因为函数f(x)=lo为奇函数,所以f(x)+f(-x)=lo =0,

即lo=0,

所以=1,

所以k2=1,

解得k=-1(当k=1时,函数无意义,舍去).故实数k的值为-1.

 (2)由(1)知h(x)=,

证明:任取x1,x2∈(2,+∞),

且x1<x2,

则h(x1)-h(x2)=>0,即h(x1)>h(x2),

所以函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数.

(3)由(1)知g(x)=lo+2x+m,因为g(x)在区间[3,4]上单调递增,且在区间[3,4]上的图象是不间断的,又g(x)在区间[3,4]上没有零点,

所以g(3)>0或g(4)<0,即lo+23+m>0或lo+24+m<0,解得m>log35-8或m<-15.

故实数m的取值范围为(-∞,-15)∪(log35-8,+∞).

11.解析　(1)f.

∵m>1,

∴>1,

∴0<<1,

∴f>0,

∴f,解得m=4.故实数m的值为4.

(2)由题意知,f(0)=0=1-40,所以函数f(x)在R上的图象是不间断的,

且f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,

所以x1<0<x2,所以f(x1)=1-,f(x2)=x2,所以1-=x2=a,

所以x1=log4(1-a),

所以x1+log4x2=log4(1-a)+log4a=log4[(1-a)a].

因为a∈,

所以(1-a)a=-a2+a=-∈,

所以log4[(1-a)a]∈,

即x1+log4x2的取值范围是.