高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试课后复习题

专题强化练1　向量数量积及其应用

一、选择题

1.(2020安徽江淮十校高三考前最后一卷,)已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,则实数λ=(　　)

A.- B. C.-2 D.2

2.(多选)()已知a=(-3,4),|b|=2,a·b=0,则向量b的坐标可能为(　　)

A. B.

C. D.

3.(2020北京通州高三模拟试题,)设a,b均为单位向量,则“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2020山东烟台高三诊断性测试,)在矩形ABCD中,||=4,||=2.若M,N分别是CD,BC的中点,则·=(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

5.(2020江苏溧阳光华高级中学高一阶段测试,)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则·=(　　)

A. B. C. D.

6.(多选)()在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则实数k的值可能为(　　)

A.- B.

C. D.

二、填空题

7.()已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,|a+b|=,则向量a,b的夹角为　　　　.

8.(2020江苏郑集高级中学阶段测试,)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则向量a与b的夹角为　　　　,的值为　　　　.

9.(2019江苏南通高三一模,)在平面四边形ABCD中,AB=1,DA=DB,·=3,·=2,则|+2|的最小值为　　　　.

三、解答题

10.(2020江苏宿迁高一上学期期末,)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,-1),B(1,0),C(k,2).

(1)当k=3时,求|+|的值;

(2)是否存在实数k,使得与的夹角为45°?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

11.()已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x∈.

(1)求证:(-)⊥;

(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.

12.(2019黑龙江牡丹江第一中学高一上期末,)已知向量a,b满足|a|=,|b|=1.

(1)若|a-b|=2,试求a与b夹角的余弦值;

(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.

答案全解全析

专题强化练1　向量数量积及其应用

一、选择题

1.C　因为a=(1,2),b=(-2,3),

所以a+λb=(1-2λ,2+3λ),

又(a+λb)⊥c,

所以(a+λb)·c=0,

即4(1-2λ)+5(2+3λ)=0,解得λ=-2.

2.AB　解法一:设b=(x,y),

则解得或

所以b=或b=.

解法二:易知与a=(-3,4)垂直的一个单位向量e=(4,3)=,

∵|b|=2,b⊥a,

∴b=2e=或b=-2e=-,-.

3.D　若a与b的夹角为,

则|a+b|===1,

因此,由“a与b的夹角为”不能推出“|a+b|=”;

若|a+b|=,则|a+b|===(θ为a与b的夹角),

解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以a与b的夹角为,

因此,由“|a+b|=”不能推出“a与b的夹角为”.

因此,“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的既不充分也不必要条件.

故选D.

4.C　由题意作出图形,如图所示:

由图及题意,可得·=0,

=+=+,

=-=-=-+=-+.

∴·=+·-+

=-||2+||2

=-×4+×16=2.

5.B　如图,

由AB=3,AD=4得BD==5,AE==.

∵AE⊥BD,∴·=0,

又·=||||cos∠EAO=||||·=||2=,

∴·=·(+)=·+·=·+·=.

6.ABC　∵=(2,3),=(1,k),

∴=-=(-1,k-3).

若∠A=90°,则·=2×1+3×k=0,

∴k=-;

若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,∴k=;

若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,∴k=.

故所求实数k的值为-或或.

二、填空题

7.答案　120°

解析　设a,b的夹角为θ,

因为a=(2,0),|b|=1,|a+b|=,

所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+1=3,解得a·b=-1,

所以cos θ==-,

又0°≤θ≤180°,所以 θ=120°.

所以向量a,b的夹角为120°.

8.答案　180°;-

解析　设a,b的夹角为θ(0°≤θ≤180°),则a·b=|a||b|cos θ=-6,

∴cos θ=-1,∴θ=180°,

即a,b共线且反向,∴a=-b,

∴x1=-x2,y1=-y2,∴=-.

9.答案　2

解析　以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A-,0,B,设D(0,n),C(x,y),则=(1,0),=,=,

故+2=,

由得

所以|+2|==≥=2,

当且仅当y=2n时等号成立.

故|+2|的最小值为2.

三、解答题

10.解析　由题意得=(-1,1),=(k-2,3).

(1)当k=3时,=(1,3),+=(0,4),所以|+|==4.

(2)假设存在实数k,使得与的夹角为45°.

因为·=(-1)×(k-2)+1×3=5-k,

||=,

||==,

所以cos 45°=

==,

解得k=2.

所以存在实数k=2,使得与的夹角为45°.

11.解析　(1)证明:∵-=(0,2sin x),

∴(-)·=0×+2sin x×0=0,

∴(-)⊥.

(2)若△ABC是等腰三角形,

则AB=BC,|AB|=2sin x,

|BC|=,

∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,

整理得2cos2x-cos x=0,

解得cos x=0或cos x=,

∵x∈,∴cos x=,∴x=.

12.解析　(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2,所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,

即2-2a·b+1=4,所以a·b=-.

设a与b的夹角为θ,

则cos θ===-.

故a与b夹角的余弦值为-.

(2)设a与b的夹角为φ,由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,

因为|a|=,|b|=1,

所以x2+2xcos φ-2cos φ-1≥0对一切实数x恒成立.

所以Δ=8cos2φ+8cos φ+4≤0,

即(cos φ+1)2≤0,

故cos φ=-,

又因为φ∈[0,π],

所以φ=.

故a与b的夹角为.