高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试课时作业

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-12 B.-6 C.6 D.12

2.已知两个单位向量a和b的夹角为60°,则向量a-b在向量a上的投影向量为(　　)

A.a B.a C.-a D.-a

3.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当·取最小值时,点P的坐标是(　　)

A.(2,0) B.(4,0) C. D.(3,0)

4.已知点P是△ABC所在平面上一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

5.已知点A(4,3)和点B(1,2),O为坐标原点,则|+t|(t∈R)的最小值为(　　)

A.5 B.5 C.3 D.

6.如图,在直角梯形ADCB中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)

A. B. C.2 D.

7.在平面内,⊥,||=||=1,=+,若||<,则||的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

8.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上的任意一点,实数x,y满足+x+y=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为(　　)

A.-1 B.1 C.- D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列命题错误的是(　　)

A.若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线

B.若向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线

C.若向量a≠b,则a与b一定不是共线向量

D.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

10.下列说法中正确的是(　　)

A.模相等的两个向量是相等向量

B.若2++3=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6

C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向

D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb

11.如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,则下列结论中正确的是(　　)

A.++=0

B.(-)·(-)=0

C.(·)·=·(·)

D.|+|=|+-|

12.如图,在4×6的方格纸(小正方形的边长均为1)中有一个向量(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则　(　　)

A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有11个

B.满足|-|=的格点B共有3个

C.存在格点B,C,使得=+

D.满足·=1的格点B共有4个

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,则点M的坐标为　　　　.

14.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为　　　　.

15.如图,在6×6的方格中,向量a,b,c的起点和终点均在格点上,且满足向量c=xa+yb(x,y∈R),那么x+y=　　　　.

16.设O为坐标原点,平面内的向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),P是直线OM上一个动点,且·=-8,则的坐标为　　　　,∠APB的余弦值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)如图所示,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用向量a,b表示,,.

18.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,·=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.

(1)求·的值;

(2)判断·的值是不是一个常数,并说明理由.

19.(本小题满分12分)如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.

(1)试用向量a,b表示,;

(2)设AM交DN于点O,求AO∶OM的值.

20.(本小题满分12分)在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P,连接AP.用向量法证明:

(1)BE⊥CF;

(2)AP=AB.

21.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.

(1)求||;

(2)已知D是AB上一点,满足=λ,E是CB上一点,满足=λ.

①当λ=时,求·;

②是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分12分)根据指令(r,θ)(r≥0,-180°<θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转时θ为正,按顺时针方向旋转时θ为负),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.

(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4);

(2)机器人在完成(1)中指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问:机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.D　由题意得2a-b=(5,2-k),

∵a·(2a-b)=0,

∴(2,1)·(5,2-k)=0,

∴10+2-k=0,解得k=12.

2.A　由两个单位向量a和b的夹角为60°,可得a·b=|a||b|cos 60°=1×1×=,(a-b)·a=a2-a·b=1-=,故向量a-b在向量a上的投影向量为·=a.

3.D　设点P的坐标是(x,0),则=(2-x,-1),=(4-x,2),∴·=(2-x)(4-x)-2=x2-6x+6=(x-3)2-3,∴当x=3时,·取得最小值,此时点P的坐标是(3,0).

4.B　由题意得||-|(-)+-)|=0,即||=|+|,∴|-|=|+|,两边平方并化简,得·=0,∴⊥,∴∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.

5.D　由题意得+t=(4+t,3+2t),

∴(+t)2=(4+t)2+(3+2t)2

=5t2+20t+25=5(t+2)2+5≥5,

∴当t=-2时,|+t|取得最小值.

6.B　以D为原点,DC,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),则=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).

∵=λ+μ,

∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),

∴解得则λ+μ=.

7.D　以A为原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.

设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则=(a,0),=(0,b),=(a-x,-y),=(-x,b-y),

则=+=(a,b),即P(a,b),

所以=(a-x,b-y).

由||=||=1,

得(a-x)2+(-y)2=(-x)2+(b-y)2=1.

所以(a-x)2=1-y2≥0,(b-y)2=1-x2≥0.

由||<,得(a-x)2+(b-y)2<,

即0≤1-x2+1-y2<.

所以<x2+y2≤2,

即<≤.

所以||的取值范围是,故选D.

8.D　由题意可得EF是△ABC的中位线,∴P到BC的距离等于△ABC的边BC上的高的一半,可得S1=S=S2+S3,故λ2+λ3=,∴λ2·λ3≤=,当且仅当S2=S3,即P为EF的中点时,等号成立,此时+=0,由向量加法的平行四边形法则可得+=2,+=2,两式相加,得2++=0,∵+x+y=0,∴x=y=,故2x+y=.∴当λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为.

二、多项选择题

9.ABC　当b=0时,A命题错误;

如图,作=a,=b,=c,a与b,b与c均不共线,但a与c共线,故B命题错误;

若向量a≠b,则a与b可能是共线向量,比如它们为相反向量,故C命题错误;

若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,∴a,b不共线时,一定有a与b都是非零向量,故D命题正确.故选ABC.

10.BC　相等向量是大小相等、方向相同的向量,向量的模相等,但方向不一定相同,故A选项错误;

设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为2++3=0,所以2×2+2=0,即2=-,所以O是线段MD上靠近点M的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的,根据三角形的面积公式可知B选项正确;

当a与b共线且反向时,可知|a-b|=|a|+|b|成立,当a与b不共线或共线方向相同时,结论不成立,故C选项正确;

D选项错误,例如b=0.故选BC.

11.BC　++=2,故A错误;

∵-=-=,-=-=,由正六边形的性质知OF⊥AE,∴(-)·(-)=0,故B正确;

设正六边形的边长为1,则·=1×1×cos 120°=-,·=1×1×cos 60°=,∴(·)·=-=,·(·)=,故C正确;

设正六边形的边长为1,|+|=||=1,|+-|=|+-|=|-|=||=,故D错误.故选BC.

12.BCD　分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有18个,故A错误;

|-|=,即||=,符合条件的格点B共有3个,故B正确;

因为存在格点B,C,使得四边形OBAC是以OA为对角线的平行四边形,故存在格点B,C,使得=+,故C正确;

以O为坐标原点,向右为x轴的正方向,向上为y轴正方向建立平面直角坐标系,则O(0,0),A(1,2),设B(x0,y0),由·=1,得x0+2y0=1,格点B(x0,y0)在直线y=-x+上,该直线正好经过图中4个格点,故D正确.故选BCD.

三、填空题

13.答案　(0,20)

解析　由题意得=(-2+3,4+4)=(1,8),所以=3=(3,24).

设M(x,y),则=(x+3,y+4)=(3,24),∴解得

故点M的坐标为(0,20).

14.答案　

解析　因为E为CD的中点,

所以=+=-=-.

因为=+,

所以·=(+)·=-+·=1,

即1-+||cos 60°=1,

所以-+||=0,

所以||=(||=0舍去).

所以AB的长为.

15.答案　3

解析　设方格中每个小正方形的边长为1,分别设方向向右和向上的单位向量为i,j,则a=2i-j,b=i+2j,c=4i+3j,

因为c=xa+yb=(2x+y)i+(2y-x)j,

所以解得所以x+y=3.

16.答案　(4,2);-

解析　设=(x,y).∵点P在直线OM上,

∴与共线,

又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).

∵=-=(1-2y,7-y),

=-=(5-2y,1-y),

∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12,

又·=-8,∴5y2-20y+12=-8,

∴y=2,则x=4,

此时=(4,2),=(-3,5),=(1,-1),

∴||=,||=,

∴cos∠APB===-.

四、解答题

17.解析　∵=-=a-b,

∴=+=+=+=a+b.(3分)

∵=+=a+b,

∴=+==a+b,(6分)

∴=-=a+b-a-b=a-b.(10分)

18.解析　(1)∵·=0,∴⊥,

∴∠BAC=90°,∴BC==10.

以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,l所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,(2分)

此时=,=(-10,0),(4分)

∴·=-×(-10)+×0=14.(6分)

(2)是常数,理由如下:

设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时=,(8分)

∴·=-×(-10)+×0=14,

故·的值是一个常数.(12分)

19.解析　(1)∵AN=AB,

∴==a,

∴=-=a-b.(3分)

∵BM=BC,

∴===b,

∴=+=a+b.(6分)

(2)∵A,O,M三点共线,∴∥,

∴存在实数λ,使得=λ,

则=-=λ-=λ-b=λa+b.(8分)

∵D,O,N三点共线,∴∥,

∴存在实数μ,使得=μ,

则λa+b=μ.(10分)

∵向量a,b不共线,

∴解得

∴=,=,

∴AO∶OM=3∶11.(12分)

20.证明　如图,建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(2分)

(1)∵=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴⊥,即BE⊥CF.(6分)

(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(x-2,y),由(1)知=(-2,-1),=(-1,2).

∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.

同理,由∥,得y=-2x+4.(8分)

∴解得

即P,.(10分)

∴=2+2=4=,

∴||=||,即AP=AB.(12分)

21.解析　(1)由题意得=-,且=4,=1,·=2×1×cos 60°=1,

∴||=|-|===.(4分)

(2)①当λ=时,=,=,

∴D,E分别是AB,BC的中点,

∴=+=+,

=(+),(6分)

∴·=·(+)

=·+·+·+

=-×12+×1×2×cos 120°+×1+×22=.(8分)

②假设存在非零实数λ,使得⊥,

由=λ,得=λ(-),

∴=+=+λ(-)

=λ+(1-λ),

又=λ,

∴=+=(-)+λ(-)

=(1-λ)-,(10分)

∴·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)

=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)

=-3λ2+2λ=0,

解得λ=或λ=0(不合题意,舍去),

即存在非零实数λ,使得⊥,此时λ的值为.(12分)

22.解析　(1)如图,设点A(4,4),所以||=4,(1分)

因为与x轴正方向的夹角为45°,

所以r=4,θ=45°,故指令为(4,45°).(4分)

(2)设B(17,0),机器人最快在点P(x,0)(x>0)处截住小球,

由题意知||=2||,

即17-x=2,

整理得3x2+2x-161=0,

即(x-7)(3x+23)=0,

所以x=7或x=-(舍去),

即机器人最快可在点P(7,0)处截住小球.(6分)

设与的夹角为θ,

易知||=5,=(4,4),=(3,-4),

cos θ==-=-cos 81.87°,

所以θ=180°-81.87°=98.13°.(10分)

因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转,所以指令为(5,-98.13°).(12分)