高中苏教版 (2019)10.1 两角和与差的三角函数课时作业

第10章　三角恒等变换

10.1　两角和与差的三角函数

10.1.1　两角和与差的余弦

基础过关练

题组一　给角求值

1.计算cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23°的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C.1 D.

2.sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°)=(　　)

A.- B.-

C. D.

3.(2020江苏连云港高级中学高一期中)计算:cos 15°+sin 15°=　　　　.

4.计算:coscos+cossin=　　　　.

5.(2020江苏宜兴中学月考)=　　　　.

题组二　给值求值

6.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为(　　)

A.0 B.1 C.±1 D.-1

7.已知sin x+cos x=,则cos=(　　)

A.- B.

C.- D.

8.(2020江苏板浦高级中学高一阶段检测)已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　)

A.- B.-

C. D.

9.(2020江苏锡山高级中学高一月考)在△ABC中,sin A=,cos B=-,则cos C的值为(　　)

A. B.

C. D.

10.(2020江苏海门实验学校高一期末)已知点P(1,)是角α终边上一点,则cos=　　　　.

11.(2020江苏宿迁高一上学期期末)已知在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P.

(1)求的值;

(2)若β∈,且sin(α+β)=-,求cos β的值.

题组三　给值求角

12.已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,则β=(　　)

A. B. C. D.

13.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是　　　　.

14.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,求α+β的值.

能力提升练

题组一　利用两角和与差的余弦公式求值

1.()将射线y=x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-x(x≤0)的位置所转过的角度为θ,则cos θ=(　　)

A.± B.- C.± D.-

2.(2020江苏宿迁中学学情检测,)已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)=(　　)

A.1 B.-1 C. D.-

3.(2019江苏如皋中学期中,)已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,则cos(α+β)=(　　)

A.1 B.0 C.-1 D.-

4.()计算:cos 263°cos 203°+sin 83°sin 23°=　　　　.

5.(2020江苏海州高级中学月考,)已知sin α=-,π<α<,<β<π,cos(α-β)=,则sin β=　　　　.

6.(2019江苏扬州高三上期中,)在△ABC中,已知·=||||,设∠BAC=α.

(1)求tan α的值;

(2)若cos β=,β∈,求cos(β-α)的值.

7.()(1)已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α和cos 2β的值;

(2)设cos=-,sin=,且<α<π,0<β<,求cos的值.深度解析

题组二　利用两角和与差的余弦公式求角

8.(2020江苏东台中学高一学情检测,)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(深度解析)

A. B.

C.或 D.或

9.()若cos(α-β)=,cos 2α=,且α,β均为锐角,α<β,则α+β的值为　　　　.

10.(2020江苏武进高级中学高一期中,)设A,B为锐角△ABC的两个内角,向量a=(2cos A,2sin A),b=(3cos B,3sin B).若a,b的夹角的弧度数为,则A-B=　　　　.

11.(2020江苏南京秦淮高一下学期期中,)在△ABC中,cos A=,tan B=,则C的值是　　　　.

12.()已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).

(1)求证:a+b与a-b互相垂直;

(2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α 的值.

答案全解全析

第10章　三角恒等变换

10.1　两角和与差的三角函数

10.1.1　两角和与差的余弦

基础过关练

1.A　cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23°=cos(83°-23°)=cos 60°=.

2.B　原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°·cos 280°

=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°

=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)

　=-cos 60°=-.

3.答案　

解析　∵cos 60°=,sin 60°=,

∴cos 15°+sin 15°

=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°

=cos(60°-15°)=cos 45°=.

4.答案　

解析　coscos+cossin

=coscos+sinsin

=cos=cos=.

5.答案　

解析　原式=

=

==.

6.B　由sin αsin β=1,得cos αcos β=0,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B.

7.B　∵sin x+cos x=,

∴cos=coscos x+sinsin x

=cos x+sin x=(cos x+sin x)

=×=.

8.A　∵α为锐角,且cos α=,

∴sin α==.

∵β为第三象限角,且sin β=-,

∴cos β=-=-,

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.

9.C　∵在△ABC中,cos B=-<0,

∴B为钝角,∴A为锐角,

∴cos A==,

sin B==,

∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=.

10.答案　

解析　由题意可得sin α=,cos α=,

故cos=coscos α-sinsin α=×-×=.

11.解析　(1)由题意知sin α=,cos α=,

故==10.

(2)∵α∈,β∈,

∴α+β∈,

∴cos(α+β)===,

∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.

12.B　∵0<β<α<,∴0<α-β<.

又∵cos(α-β)=,

∴sin(α-β)==.

∵cos α=,0<α<,∴sin α=.

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.

∵0<β<,∴β=.

13.答案　

解析　由已知得coscos-sin·sin=cos x=0,

∵x∈[0,π],∴x=.

14.解析　因为α,β为锐角,sin α=,cos β=,

所以cos α==,

sin β==,

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=×-×=,

由0<α<,0<β<,得0<α+β<π,

又cos(α+β)>0,

所以0<α+β<,所以α+β=.

能力提升练

1.B　设射线y=x(x≥0)与x轴正方向的夹角为α,则tan α=,α为第一象限角,

∴sin α=,cos α=.

设射线y=-x(x≤0)与x轴正方向的夹角为β,则tan β=-,β为第二象限角,

∴sin β=,cos β=-.

又θ=β-α,

∴cos θ=cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-×+×=-.

2.D　由题意得cos α+cos β=-cos γ,sin α+sin β=-sin γ,

∴cos2α+cos2β+2cos αcos β=cos2γ,①

sin2α+sin2β+2sin αsin β=sin2γ,②

①+②得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=2+2cos(α-β)=1,

∴cos(α-β)=-.

3.B　因为<α<,0<β<,

所以<2α-β<π,-<α-2β<.

因为cos(2α-β)=-,

所以sin(2α-β)=.

因为sin(α-2β)=,

所以cos(α-2β)=.

所以cos(α+β)=cos [(2α-β)-(α-2β)]

=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0.

4.答案　

解析　∵cos 263°=cos(180°+83°)=-cos 83°,cos 203°=cos(180°+23°)=-cos 23°,

∴原式=cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23°=cos(83°-23°)=cos 60°=.

5.答案　

解析　∵sin α=-,且π<α<,

∴cos α=-=-.

∵<β<π,∴-π<-β<-,∴0<α-β<π.

又cos(α-β)=,∴sin(α-β)===,

∴cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

　=-×+×=-,

又∵<β<π,∴sin β==.

6.解析　(1)由 ·=||||,

得||·||cos α=||·||,

∵||·||≠0,∴cos α=.

又0<α<π,

∴sin α===.

∴tan α=.

(2)∵cos β=,β∈,∴sin β=.

由(1)知sin α=,cos α=,

∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α

=×+×

=.

7.解析　(1)∵<β<α<,

∴0<α-β<,π<α+β<.

∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,

∴sin(α-β)=

==,

cos(α+β)=-

=-=-.

∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)

　=-×-×=-,

cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

　=-×+×=-.

(2)∵<α<π,0<β<,

∴<α-<π,-<-β<,

又cos=-,sin=,

∴sin=,cos=,

∴cos=cos

=coscos+sinα-·sin

=-×+×=.

方法技巧　在用两角和与差的余弦公式求值时,常将所求角进行拆分或组合,常见的变换有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=[(β+α)-(β-α)]等.

8.A　∵α∈,∴2α∈.

又0<sin 2α=<,∴2α∈,

∴cos 2α=-=-,α∈,

又∵β∈,

∴α+β∈,β-α∈,

∵sin(β-α)=,

∴cos(β-α)=-=-,

∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]

=cos 2α·cos(β-α)-sin 2αsin(β-α)

　=-×-×=.

又α+β∈,∴α+β=.

答题模板　已知三角函数值求角的解题步骤:①求出角的某一三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定角.

9.答案　

解析　∵α,β∈,α<β,

∴α-β∈,2α∈(0,π),α+β∈(0,π),

∵cos(α-β)=,cos 2α=,

∴sin(α-β)=-,sin 2α=,

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)

=×+×=-,

∵α+β∈(0,π),∴α+β=.

10.答案　±

解析　由题意得cos==

=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=,

∵A,B∈,

∴-<A-B<,∴A-B=±.

11.答案　

解析　因为cos A=,所以A∈,sin A==,

因为tan B=,所以B∈,

则解得

在△ABC中,A+B+C=π,

所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=-,故C=.

12.解析　(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),

∴|a|2=cos2α+sin2α=1,

|b|2=cos2β+sin2β=1,

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,

∴(a+b)⊥(a-b).

(2)∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β)=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),

∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1.

同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1.

又∵|ka+b|=|a-kb|,

∴|ka+b|2=|a-kb|2,

∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β).

∵k≠0,∴cos(α-β)=0,∴cos(β-α)=0.

又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=.