数学第12章 复数本章综合与测试测试题

专题强化练2　复数的四则混合运算

一、选择题

1.(2020江苏宜兴中学期中,)已知复数z满足(1-i)z=2i(i为虚数单位),则=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i

2.(2019四川宜宾高三模拟,)欧拉公式:eix=cos x+isin x(i为虚数单位)由瑞士数学家欧拉得出,它建立了三角函数与指数函数的关系,根据欧拉公式计算()2=(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

3.(2020江苏射阳中学期中,)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实数根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)

A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i

4.(2020安徽蚌埠二中高二月考,)已知m为实数,i为虚数单位,若m+(m2-4)i>0,则=(　　)

A.i B.1 C.-i D.-1

5.(2020江苏宝应高级中学高一阶段检测,)现有下列命题:

p1:若z满足z∈C,则z·∈R;

p2:若虚数a+bi(a,b∈R)是方程x3+x2+x+1=0的根,则a-bi也是该方程的根;

p3:已知复数z1,z2,则z1=的充要条件是z1z2∈R;

p4:若复数z1>z2,则z1,z2∈R.

其中真命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

6.(2020江苏江浦高级中学期中,)已知i为虚数单位,计算:÷=　　　　.

7.(2020江苏海州高级中学高一学情检测,)-=　　　　　　　　.

三、解答题

8.(2019江苏连云港高级中学阶段测试,)复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.

9.(2019江苏江安高级中学高一检测,)已知复数z的共轭复数是,且满足z·+2iz=9+2i(i是虚数单位),求z.

10.(2019上海徐汇中学高一期末,)已知方程x2-kx+100=0,k∈C.

(1)若1+i是方程的一个根,求k的值;

(2)若k∈N*,求满足方程的所有虚数的和.

答案全解全析

专题强化练2　复数的四则混合运算

一、选择题

1.A　由(1-i)z=2i,可得z===-1+i,所以=-1-i.故选A.

2.B　由eix=cos x+isin x,得()2==i2=-1.故选B.

3.A　由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的根,可得b2+(4+i)b+4+ai=0,

整理可得(b2+4b+4)+(b+a)i=0,

所以解得

所以z=2-2i,故选A.

4.A　因为m+(m2-4)i>0,

所以m+(m2-4)i是实数,

则⇒m=2,

故==i.故选A.

5.C　对于p1,设z=a+bi(a,b∈R),则z·=a2+b2∈R,

故p1是真命题;

对于p2,若虚数a+bi(a,b∈R)是方程的根,则a-bi也一定是该方程的根,故p2是真命题;

对于p3,例如z1=z2=i,此时z1z2=-1∈R,但z1≠,

故p3是假命题;

对于p4,若z1>z2,则z1,z2必为实数,故p4是真命题.故选C.

二、填空题

6.答案　-+i

解析　原式=÷(1-i)=·=·=-+i.

7.答案　-8-8+(-8+8)i

解析　原式=-

=+

=2=2

=2[(1+i)2]3·(1+i)·(-i)7·

=2·(-8i)·(1+i)·i·

=-8-8+(-8+8)i.

三、解答题

8.解析　z====1-i,

∵a为纯虚数,

∴设a=mi(m≠0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i<0,

∴∴m=4,∴a=4i.

9.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.

因为z·+2iz=9+2i,

所以(a+bi)(a-bi)+2i(a+bi)=9+2i,

即a2+b2-2b+2ai=9+2i,

所以

由②得a=1,代入①,得b2-2b-8=0,

解得b=-2或b=4.所以z=1-2i或z=1+4i.

10.解析　(1)设k=a+bi(a,b∈R),

∵1+i是方程x2-kx+100=0的一个根,

∴(1+i)2-(a+bi)(1+i)+100=0,

∴b-a+100+(2-a-b)i=0,

∴解得

∴k=51-49i.

(2)∵方程x2-kx+100=0有虚根,

∴Δ=k2-4×100<0,解得-20<k<20.

∵k∈N*,∴k=1,2,3,…,19,

又∵虚根是成对出现的,∴所有的虚根之和为1+2+…+19=190.

∴满足方程的所有虚数的和为190.