2020-2021学年13.3 空间图形的表面积和体积课后作业题

13.3　空间图形的表面积和体积

13.3.1　空间图形的表面积

基础过关练

题组一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.22 B.20 C.10 D.11

2.(2020江苏如皋丁堰中学高一阶段测试)棱长都是3的三棱锥的表面积S为(　　)

A.9 B.6 C.3 D.5

3.(2020江苏昆山第一中学高一期中)如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,则正四棱台的表面积为(　　)

A.20 B.20+12

C.10+6 D.12

4.一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面边长为a,则它的表面积是　　　　. 

5.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为　　　　,表面积为　　　　. 

题组二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积

6.将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得几何体的侧面积是(　　)

A.2π B.π

C. D.3π

7.(2020江苏灌南第二中学高一期中)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(　　)

A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm

8.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A. B. C. D.

9.(2020江苏扬州第一中学高一期中)若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8∶3,则该圆台的表面积为(　　)

A.73π B.143π C.108π D.216π

10.(2020江苏东台时堰中学学情检测)若圆锥的母线长为2 cm,底面圆的周长为2π cm,则圆锥的表面积为　　　　cm2. 

题组三　简单组合体的表面积

11.如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,作CD⊥AB,垂足为D.以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,则所得旋转体的表面积为　　　　　. 

12.有一塔形几何体是由3个正方体构成的,其构成方式如图所示,上一层正方体下底面的四个顶点是下一层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为　　　　. 

13.某牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示(单位:m),请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布.(π取3.14,计算结果精确到0.01 m2)

14.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:

(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

能力提升练

题组一　柱体、锥体、台体的面积

1.(2020四川达州模拟,)如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的侧面积是(　　)

A.π B.π

C.π D.π

2.()若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,棱台的高为a,则此正三棱台的侧面积为(　　)

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

3.()在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个“羡除”如图所示,DA⊥平面AEFB,四边形AEFB,CDEF均为等腰梯形,四边形ABCD为正方形,AB∥EF,AB=2,EF=6,点F到平面ABCD的距离为2,则这个“羡除”的表面积为(　　)

A.10+12 B.12+12

C.12+14 D.12+10

4.()如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分后,剩下的部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧面积的取值范围为(　　)

A.(1,2) B.(1,2]

C.(0,2] D.(0,2)

5.(2020江苏句容实验高级中学期中,)若圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的表面积是　　　　cm2.(结果保留π) 

题组二　与空间图形面积有关的实际问题

6.(2020江苏沭阳高级中学期中,)用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是(　　)

A.16 B.8 C.6 D.2

7.()大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.数学家麦克劳林通过计算得到∠B'C'D'=109°28'16″.已知BB'=5,AB=2,tan 54°44'08″=,则此蜂房的表面积是　　　　. 

8.(2020苏北四市模拟,)如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99 m,AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元,另外,还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路,如图中EF,且EF=1 m,这部分建设造价为每平方米31.4元.

(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)

(2)试确定使得上述两项费用的和最低的大棚个数.(π取3.14)

答案全解全析

13.3　空间图形的表面积和体积

13.3.1　空间图形的表面积

基础过关练

1.A　所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.

2.A　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,

所以S=4××32=9.

3.B　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,

∴上底面、下底面的面积分别是4,16.

∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,

∴等腰梯形的高为=,

∴等腰梯形的面积为×(2+4)×=3,

∴正四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.

4.答案　6a2+3a2

解析　正六棱柱的侧面积为六个边长为a的正方形的面积之和,为6a2;底面积为正六边形的面积,为6×a2=a2,故所求正六棱柱的表面积为6a2+2×a2=6a2+3a2.

5.答案　160;160+40

解析　如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,

不妨令a>b,则体对角线A1C=15,B1D=9,

∴a2+52=152,b2+52=92,

∴a2=200,b2=56.

∵该直四棱柱的底面是菱形,

∴AB2=+===64,

∴AB=8.

∴直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160,

直四棱柱的底面积S底=ab=20.

∴直四棱柱的表面积S表=160+2×20=160+40.

6.A　旋转后所得几何体为圆柱,底面圆的半径为1,高为1,

则侧面积S=2π×1×1=2π.

7.B　设圆锥的底面半径、母线长分别为r cm、l cm,则S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,

∴r2=4,

∴r=2.故底面圆的半径为2 cm.

8.A　设圆柱的底面半径、母线长分别为r、l,由题意知l=2πr,S侧=l2=4π2r2.

S表=S侧+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1),

∴==.故选A.

9.D　设圆台上底面与下底面的半径分别为r,R(r<R),母线长为l,

由勾股定理可得R-r==5.

∵r∶R=3∶8,

∴r=3,R=8.

∴S侧=π(R+r)l=π×(8+3)×13=143π,

∴S表=143π+π×32+π×82=216π.故选D.

10.答案　3π

解析　因为底面圆的周长为2π cm,所以底面圆的半径为1 cm,所以圆锥的底面积为π cm2,圆锥的侧面积为×2×2π=2π(cm2),所以圆锥的表面积为π+2π=3π(cm2).

11.答案　π

解析　在△ABC中,由AC=3,BC=4,AB=5知AC2+BC2=AB2,

所以AC⊥BC.

又CD⊥AB,所以CD=,

将△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥,且底面半径r=,母线长分别是AC=3,BC=4,

所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π.故所求旋转体的表面积是π.

12.答案　36

解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1,

∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.

∴该几何体的表面积为36.

13.解析　设圆锥的侧面积为S1 m2,圆柱的侧面积为S2 m2.上部分圆锥的母线长为 m,其侧面积S1=π×2.5×(m2).

下部分圆柱的侧面积S2=π×5×1.8(m2).

∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S1+S2=π×2.5×+π×5×1.8

≈50.03(m2).

14.解析　(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,母线长为=13(cm).

所以该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线长为13 cm,又圆柱的母线长为4 cm,所以该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).

能力提升练

1.C　设四面体为P-ABC,如图所示,过点P作PE⊥平面ABC,E为垂足,

则点E为等边三角形ABC的中心,连接AE并延长交BC于点D,则AE=AD,易得AD=,

∴AE=×=.

∴PE==.

设圆柱的底面半径为R,

则2R==,

∴圆柱的侧面积为2πR·PE=π×=π.

2.C　如图,O1,O分别为上、下底面的中心,D,D1分别是AC,A1C1的中点,连接O1O,O1D1,DD1,OD,过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中,OD=××2a=a,O1D1=××a=a,∴DE=OD-O1D1=a.

在Rt△DED1中,D1E=a,

则D1D=

==a.

∴S侧=3×(a+2a)a=a2.

3.B　因为DA⊥平面AEFB,DA⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面AEFB,

根据面面垂直的性质定理,得点F到平面ABCD的距离为F到AB的距离,

所以等腰梯形AEFB的高为2,

腰AE==2.

因为DA⊥平面AEFB,AE⊂平面AEFB,

所以DA⊥AE.

因为四边形ABCD为正方形,且AB=2,

所以AD=2,

所以DE==2,

等腰梯形CDEF的高为

=2,

所以该“羡除”的表面积为2×2+×(2+6)×2+×(2+6)×2+2××2×2=12+12.

4.D　如图,设围成的正四棱锥的一个侧面为三角形APQ,∠APQ=x,则x∈,

过点A作AH⊥PQ于点H,

则AH=PQ×tan x===-PQ,

∴PQ=,AH=,

∴正四棱锥的侧面积S=4××PQ×AH=2×PQ×AH=2××=,x∈,

则S===<=2,

又S>0,∴S∈(0,2).

∴S的取值范围为(0,2),故选D.

5.答案　1 100π

解析　如图所示,O1,O分别为上、下底面的中心,AB是母线.

设圆台的上底面周长为c cm,

因为扇环的圆心角是180°,

故c=π×SA=2π×10,所以SA=20 cm.

同理可得SB=40 cm.

所以AB=SB-SA=20(cm),

所以S表=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).

故圆台的表面积为1 100π cm2.

6.B　如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.

7.答案　216

解析　如图所示,连接OC',B'D',BD,

由题意得BD∥B'D',BD=B'D'=6,

∵四边形OB'C'D'为菱形,∠B'C'D'=109°28'16″,tan 54°44'08″=,

∴OC'=2·=2×=6,

B'C'=3,

∴CC'=BB'-=4,

∴S梯形BCC'B'==27,

∴S表=6×27+3××6×6=216.

8.解析　设每个半圆柱形大棚的底面半径为r m.

(1)当n=20时,共有19个空地,所以r==2(m),所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=πr2+πr×AD=π×22+2π×49.5=103π(m2).故蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m2.

(2)设两项费用的和为f(n)元.

因为r==,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S'=πr2+πr×AD=π×+π×49.5×,

则f(n)=10nS'+31.4×1×49.5(n-1)

=10n+31.4×1×49.5(n-1)

=31.4×+49.5×+49.5(n-1)=×+99(100-n)+198(n-1)=×

=×

≥×

=90 290.7,

当且仅当=n,即n=10时,等号成立,此时f(n)取得最小值.

因此,当大棚的个数为10时,上述两项费用的和最低.