高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.1 获取数据的基本途径及相关概念习题

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

题组一　极差、方差、标准差的计算

1.下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大

B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小

C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和

D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高

2.(2020江苏沭阳高级中学高一期中)数据5,7,7,8,10,11的极差和标准差分别为(　　)

A.4,2 B.4,4 C.5,4 D.6,2

3.(2020江苏常州第一中学高一阶段测试)一组数据中的每一个数都减去60,得到一组新数据,若求得新数据的平均数为1.2,方差为4.4,则原来数据的平均数和方差分别为(深度解析)

A.61.2,4.4 B.58.8,4.4 C.61.2,64.4 D.58.8,55.6

4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”,近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析,每个城市中共享单车使用的人数分别为x1,x2,x3,…,x100,它们的平均数为,方差为s2;每个城市中扫码支付使用的人数分别为2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2x100+3,它们的平均数为',方差为s'2,则',s'2分别为(深度解析)

A.2+3,2s2+3 B.2,2s2

C.2+3,4s2+3 D.2+3,4s2

5.(2020江苏溧水第二高级中学期中)一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差为(　　)

A.9 B.4

C.3 D.2

题组二　极差、方差、标准差的简单应用

6.(2019广西桂平期末)甲、乙两人某项测试近五次成绩的得分情况如图所示,则(　　)

A.甲得分的平均数比乙大

B.甲的成绩的极差比乙小

C.甲得分的中位数比乙大

D.乙的成绩更稳定

7.在某次考试中,要对甲、乙两名同学的学习成绩进行比较,甲同学的平均分=76,方差=4,乙同学的平均分=77,方差=10,则　　　　同学的平均成绩好,　　　　同学的各科发展均衡. 

8.从甲、乙两种棉花苗中各抽10株,测得它们的株高分别如下(单位:cm):

(1)哪种棉花苗长得高一些?

(2)哪种棉花苗长得整齐一些?

9.甲、乙两名战士在相同条件下各射击10次,每次命中的环数分别是:

甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;

乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.

(1)分别求出两组数据的平均数;

(2)分别求出两组数据的方差;

(3)根据计算结果,分析两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛,选谁去合适?

能力提升练

题组一　方差、标准差的计算

1.(2020江苏六合高级中学高一期末,)在一个容量为5的样本5,7,8,■,■中(数据均为整数),已算出其平均数为8,但墨水污损了后面两个数据,其中一个数据的十位数字为1,那么这组数据的方差s2可能的最大值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.18 C.36 D.6

2.(2020江苏邳州第二中学高一期中,)一个样本由a,3,5,b构成,且a,b是方程x2-8x+5=0的两根,则这个样本的方差为(　　)

A.3 B.4

C.5 D.6

3.(2020重庆沙坪坝高一期中,)某工艺品厂要制作一批鼠年迎春徽章,每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现,每个工人每天制作的合格品个数平均值为300,方差为25,那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为(　　)

A.5 B.20 C.25 D.100

4.(2020江苏太湖高级中学高一期中,)记“1,2,3,4,5”这组数据的方差为,“98,99,100,102,x”这组数据的方差为,若=,则x为(　　)

A.97 B.101

C.101或98.5 D.103

5.(2020江苏沛县第一中学学情检测,)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有3个不同的实数根x1,x2,x3,则数据x1,x2,x3的标准差为　　　　. 

6.(2020江苏南京燕子矶中学阶段测试,)已知数据x1,x2,x3,…,x10的平均数为6,标准差为,则数据x1,x2,…,x5的平均数的取值范围是　. 

题组二　方差、标准差的应用

7.(2020江苏张家港外国语学校高一阶段测试,)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线图,则下列说法错误的是(　　)

A.这10天中PM2.5日均值的众数为33 μg/m3

B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32 μg/m3

C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

8.(2020江苏徐州第一中学高一阶段测试,)甲、乙、丙三名同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为(　　)

甲

乙

丙

A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2

C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1

9.(多选)(2020江苏海头高级中学阶段测试,)某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表:

则下列说法正确的是(　　)

A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差

B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数

C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

10.(2020江苏运河中学高一阶段测试,)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A、B两名同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试,他俩各加工的10件零件的相关数据如下图表所示.

根据测试得到的有关数据,试解答下列问题:

(1)考虑平均数与完全符合要求的件数,你认为谁的成绩好些?

(2)计算出的大小,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;

(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件件数远远超过10件的实际情况,你认为派谁去参赛较合适?说明你的理由.

11.(2020甘肃西北师大附中高三月考,)某种治疗新型冠状病毒肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,为了提高产品质量,我国医疗科研专家攻坚克难,新研发出A、B两种新配方,从两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本,测量这些产品的质量指标值,规定指标值小于85时为废品,指标值在[85,115)内为一等品,大于115为特等品.现把测量数据整理如下,其中B配方的废品有6件.

A配方的频数分布表

(1)求a,b的值;

(2)试确定A配方和B配方哪一种好.(说明:在统计图中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)

答案全解全析

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

1.B　选项A中平均值的大小与方差的大小无必然联系;选项C中求和后还需取平均数;选项D中方差越大,成绩越不稳定,水平越低;易知选项B正确.

2.D　数据5,7,7,8,10,11的极差是11-5=6,

平均数=×(5+7+7+8+10+11)=8,

方差s2=×[(-3)2+(-1)2+(-1)2+02+22+32]=4,

标准差s=2.

3.A　设原来数据的平均数为,方差为s2,新数据的方差为,则-60=1.2,s2==4.4,则=60+1.2=61.2,s2=4.4.

方法技巧　若一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为+b,方差为s2.

4.D　由题意得'=2+3;s'2=22s2=4s2.

方法技巧　若一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b,方差为a2s2.

5.C　由题意得该组数据的中位数为(2+x)=1+,众数为2.

∴1+=2×=3,

∴x=4,

∴该组数据的平均数=×(1+2+2+4+5+10)=4,

∴该组数据的方差s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,

∴该组数据的标准差为3.故选C.

6.D　由题图可得甲的五次成绩依次为10,13,12,14,16,乙的五次成绩依次为13,14,12,12,14,

则甲得分的平均数=13,乙得分的平均数=13,故A错;

甲的成绩的极差为16-10=6,乙的成绩的极差为14-12=2,故B错;

甲得分的中位数为13,乙得分的中位数也为13,故C错;易知D正确.

故选D.

7.答案　乙;甲

解析　代表平均水平,因为<,所以乙同学的平均成绩好.s2表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小,因为<,所以甲同学的各科发展均衡.

8.解析　设甲种棉花苗株高的平均数为,方差为,乙种棉花苗株高的平均数为,方差为.

(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30(cm),

=×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31(cm),

∵<,∴乙种棉花苗长得高一些.

(2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=104.2,

=×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=128.8,

∵<,

∴甲种棉花苗长得整齐一些.

9.解析　(1)甲战士命中环数的平均数=×(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环),

乙战士命中环数的平均数=×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环).

(2)甲战士命中环数的方差=×[(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+…+(7-7)2]=3,

乙战士命中环数的方差=×[(6-7)2+(7-7)2+…+(5-7)2]=1.2.

(3)=,说明甲、乙两战士的平均水平相当.

>,说明甲战士射击情况波动比乙大.

因此,乙战士比甲战士射击情况稳定,从成绩的稳定性考虑,应选择乙参加比赛.

能力提升练

1.C　设这组数据的最后2个数分别是10+x(0≤x≤9,x∈N),y,

则5+7+8+10+x+y=8×5,

得x+y=10,故y=10-x.

∴s2=[9+1+0+(2+x)2+(2-x)2]

=(2x2+18),

当x=9时,s2最大,最大值为36.

2.D　由x2-8x+5=0,得x1=4+,x2=4-,

∵a、b是方程x2-8x+5=0的两个根,

∴此样本是4+,4-,3,5,

则平均数是×(4++4-+3+5)=4,

方差是×[++(3-4)2+(5-4)2]=6.

3.B　设每个工人每天制作的合格品个数为x1,x2,…,xn,则==300,

s2==25,

每个工人每天制作的合格品利润(单位:元)为4x1,4x2,…,4xn,则利润的平均数

'==4=1 200,

方差s'2=

=16×

=16×25=400,故s'===20.

4.C　数据1,2,3,4,5的平均数==3,

则=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.

结合选项,当x=101时,数据98,99,100,101,102的平均数为100,

∴=×[(98-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(101-100)2+(102-100)2]=2,符合题意;

当x=98.5时,数据98,98.5,99,100,102的平均数为99.5,

∴=×[(98-99.5)2+(98.5-99.5)2+(99-99.5)2+(100-99.5)2+(102-99.5)2]=2,符合题意.

当x=97或103时均不符合题意,故选C.

5.答案　

解析　如图所示,作出函数f(x)=的图象和直线y=m(m∈R).

∵关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有3个不同的实数根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3.

∴只有当m=时,两个函数的图象才有3个不同的交点,∴x2=3.

令=,解得x=0或x=6,

∴x1=0,x3=6.

∴x1,x2,x3的平均数为=3.

∴数据x1,x2,x3的方差为×[(0-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=6.

∴数据x1,x2,x3的标准差为.

6.答案　[6-2,6+2]

解析　由[(x1-6)2+(x2-6)2+…+(x10-6)2]=20,

得++…+-12(x1+x2+…+x10)+360=200,即++…+=560,

设x1,x2,…,x5的平均数为a,x6,x7,…,x10的平均数为b,则b=12-a,

结合方差定义得(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x5-a)2≥0,

展开得++…+-2a(x1+x2+…+x5)+5a2≥0,

即++…+-2a·5a+5a2≥0,

即++…+≥5a2,

同理++…+≥5b2=5(12-a)2,

所以++…+≥5a2+5(12-a)2,即560≥5a2+5(12-a)2,a2-12a+16≤0,解得6-2≤a≤6+2,故数据x1,x2,…,x5的平均数的取值范围为[6-2,6+2].

7.C　由题图可知,众数为33 μg/m3,中位数为32 μg/m3,故A,B说法正确;因为受极端值128 μg/m3的影响,平均数应大于中位数,故C说法错误;前四天曲线比后四天曲线波动大,故D说法正确.

8.B　根据三个频率直方图知,甲数据的两端数字较多,绝大部分数字都处在两端,数据偏离平均数远,最分散,其方差最大;

乙数据绝大部分数字都在平均数左右,数据最集中,其方差最小;

丙数据是单峰的,每一个小矩形的差别比较小,数字分布均匀,数据不如甲偏离平均数大,方差比甲数据的方差小,比乙数据方差大.

综上可知s1>s3>s2.

9.BD　在A中,甲运动员得分的极差为34-9=25(分),

乙运动员得分的极差为35-10=25(分),

∴甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差,故A错误;

在B中,甲运动员得分的中位数为=21(分),

乙运动员得分的中位数为=22(分),

∴甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数,故B正确;

在C中,甲运动员得分的平均数为×(31+16+24+34+18+9)=22(分),

乙运动员得分的平均数为×(23+21+32+11+35+10)=22(分),

∴甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值,故C错误;

在D中,由题表得乙的数据相对分散,甲的数据相对集中,

∴甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定,故D正确.故选BD.

10.解析　(1)根据题表可看出,A,B的平均数相同,B的完全符合要求的件数多,

故B的成绩好些.

(2)∵=×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,

A的方差=0.026,

∴>,

∴在平均数相同的情况下,B的波动小,

∴B的成绩好些.

(3)从图中折线走势可知尽管A的成绩前面起伏大,但后来逐渐稳定,误差小,预测A的潜力大,而B比较稳定,潜力小,

∴派A去参赛较合适.

11.解析　(1)依题意,知A,B配方样本容量相同,设为n,B配方的废品有6件,由B配方的频率直方图,得废品的频率为=0.006×10,

解得n=100,

∴a=100-(8+36+24+8)=24.

由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1,得b=0.026,

因此,a的值为24,b的值为0.026.

(2)由(1)及A配方的频数分布表得A配方质量指标值的样本平均数=

=100(件),

质量指标值的样本方差

=×[(-20)2×8+(-10)2×24+0×36+102×24+202×8]=112(件2),

由B配方的频率直方图得

B配方质量指标值的样本平均数=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100(件),

质量指标值的样本方差

=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104(件2),

∵=,>,

∴两种配方质量指标值的样本平均数相等,但A配方质量指标值的稳定性比B差,

∴选择B配方比较好.