数学第四章 对数运算和对数函数本章综合与测试课时训练

这是一份数学第四章 对数运算和对数函数本章综合与测试课时训练，共16页。试卷主要包含了计算，已知函数f=lga等内容，欢迎下载使用。

易错点1 忽视隐含条件致错
1.()设lg a+lg b=2lg(a-2b),则lg4ab= .
2.()计算:5lg25(1-3)2+3lg9(1+3)2.
易错点2 忽视定义域与值域致错
3.()已知函数f(x)=lg(kx-1)在[10,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.k>0B.0C.k>110D.k≥110
4.()已知函数y=f(x),x,y满足lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),求函数y=f(x)的关系式,定义域及值域.
易错点3 忽视对底数的讨论致错
5.()若lga23<1,则实数a的取值范围是 .
6.()若函数f(x)=ax+lga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .
7.()已知函数f(x)=lga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性.
易错点4 画图不准确致错
8.()已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)
9.()当0易错点5 函数单调性的应用不当致错
10.()已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(lg2x)>2的解集是( )
A.0,12∪(2,+∞)B.(2,+∞)
C.0,22∪(2,+∞)D.(2,+∞)
11.()已知函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1,则使得f(x)>f(2x-2)的x的取值范围是( )
A.23,2B.-∞,13∪(1,+∞)
C.13,1D.-∞,23∪(2,+∞)
12.()已知lga12>0,若alg2x≥1a,则x的取值范围为 .
易错点6 忽略分段函数的定义域分界点致错
13.(2019江苏南京高一期末,)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=3-x,x≤2,lgax,x>2的值域为[1,+∞),则实数a的取值范围是 .
思想方法练
一、函数与方程思想在函数性质中的应用
1.()函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②如果存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为a2,b2,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=lgc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则实数t的取值范围为( )
A.(0,1)B.(0,1]C.-∞,18D.0,18
2.()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于任意给定的两个非负数a,b,且a>b,不等式af(a)f(1)的解集为( )
A.1e,1B.1e,eC.(0,e)D.(e,+∞)
二、数形结合思想在对数型函数中的应用
3.()函数f(x)=2x+x3-2的图象在区间(0,1)内与x轴交点的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
4.()已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, f13=0,则不等式f(lg18x)>0的解集为 .
5.()已知x0是方程ax=lgax(06.()已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 .
7.()形如y=b|x|-a(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称之为“囧函数”.若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|的交点个数为n,则n= .
8.()已知函数f(x)=12x+1,x≤0,lnx,x>0.若存在四个不同的实数a,b,c,d,使得|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|,记S=abcd,则S的取值范围是 .
三、转化与化归思想在对数型函数中的应用
9.()求y=lg12(3+2x-x2)的值域.
10.()设a>0且a≠1,函数y=ax2-2x+3有最大值,求函数f(x)=lga(3-2x)的单调区间.
四、分类讨论思想在函数性质中的应用
11.()若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a= .
12.()求函数f(x)=lga(a-ax)(a>0,a≠1)的定义域和值域.
13.()设a>0,且a≠1,若P=lga(a3+1),Q=lga(a2+1),试比较P、Q的大小.
答案全解全析
易混易错练
1.答案 1
解析 依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,
原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,则ab2-5×ab+4=0,
∴ab=4或ab=1.
∵a-2b>0,∴ab>2,∴ab=4,
∴lg4ab=1.
2.解析 原式=25lg25(3-1)+9lg9(1+3)=3-1+1+3=23.
3.C 设g(x)=kx-1,
∵f(x)=lg(kx-1)在[10,+∞)上单调递增,
∴g(x)=kx-1在[10,+∞)上单调递增,
∴k>0,g(10)>0,∴k>110.
4.解析 因为lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),
所以3x>0,3-x>0,lgy>0,即01.
又lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3x(3-x)],
所以lg y=3x(3-x),所以y=103x(3-x).
又3x(3-x)=-3x-322+274,0所以0<3x(3-x)≤274,
所以y=103x(3-x)∈(1,10274],
所以函数y=f(x)=103x(3-x)的定义域为(0,3),值域为(1,10274].
5.答案 0,23∪(1,+∞)
解析 由lga23<1得lga23当a>1时,有a>23,即a>1;
当0综上,实数a的取值范围是0,23∪(1,+∞).
6.答案 12
解析 当a>1时,y=ax与y=lga(x+1)在[0,1]上都是增函数,∴f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上是增函数,
∴f(x)max=f(1)=a+lga2, f(x)min=f(0)=a0+lga1=1,
∴a+lga2+1=a,∴lga2=-1=lga1a,解得a=12(舍去);
当0∴f(x)max=f(0)=a0+lga(0+1)=1, f(x)min=f(1)=a+lga2,
∴a+lga2+1=a,∴lga2=-1=lga1a,解得a=12.
综上所述,a=12.
7.解析 (1)要使函数f(x)有意义,需满足ax-1>0,
当a>1时,x>0;当0∴当a>1时, f(x)的定义域为(0,+∞);
当0(2)当a>1时,易知y=lgax在(0,+∞)上为增函数.任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∴lga(ax1-1)∴当a>1时, f(x)在(0,+∞)上是增函数.
同理,当08.D 作出函数y=f(x)的图象,如图所示,
因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,
所以y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,由图可得,实数a的取值范围为09.答案 116,1
解析 若x∴014,解得116即实数a的取值范围是116,1.
10.A 由于函数是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上递减,故函数在[0,+∞)上单调递增,因为f(1)=2,所以原不等式f(lg2x)>2转化为lg2x<-1或lg2x>1,即lg2xlg22,解得02.故选A.
11.A 由题可知函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1是定义域为R的偶函数,且在x≥0时,函数单调递增,
∴f(x)>f(2x-2)等价于f(|x|)>f(|2x-2|),
即|x|>|2x-2|,两边平方得x2>(2x-2)2,
即3x2-8x+4<0,解得23∴使得f(x)>f(2x-2)的x的取值范围是23,2.故选A.
12.答案 0,12
解析 由lga12>0得0由alg2x≥1a得alg2x≥a-1,
∴lg2x≤-1=lg212,解得013.答案 (1,2]
解析 因为函数f(x)=3-x,x≤2,lgax,x>2的值域为[1,+∞),
且当x≤2时,y=3-x≥1,所以x>2,lgax≥1,解得1思想方法练
1.D 显然f(x)是定义域上的增函数,若f(x)是“减半函数”,则f(a)=a2,f(b)=b2,
即f(x)=x2有两个不相等的实数根.
又lgc(2cx+t)=x2⇔2cx+t=cx2.
令cx2=u,则u>0,即2u2-u+t=0.
依题意知上述方程有两个不等正根,
∴Δ=1-4×2×t>0,t2>0,解得02.C 设F(x)=x·f(x),则F(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是减函数,从而F(x)在R上单调递减,则ln x·f(ln x)>f(1)⇔F(ln x)>F(1)⇔ln x<1=ln e,解得03.B 令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一平面直角坐标系中画出y=2x-2和y=-x3的图象(如图所示),由图可知两图象在区间(0,1)内只有一个交点,∴函数f(x)=2x+x3-2的图象在区间(0,1)内与x轴有一个交点,故选B.
4.答案 0,12∪(2,+∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.由f13=0,得f-13=0.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数,作出函数f(x)的大致图象如图所示.
由图可知,当f(lg18x)>0时,lg18x<-13或lg18x>13,解得x>2或00的解集为0,12∪(2,+∞).
5.答案 a解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=lgax(0a,∴a6.答案 x1解析 令x+2x=0,得2x=-x.
令x+ln x=0,得ln x=-x.
在同一平面直角坐标系内画出y=2x,y=ln x,y=-x的图象,如图所示,由图可知x1<0令h(x)=x-x-1=0,则(x)2-x-1=0,
解得x=1+52(负值舍去),所以x3=1+522>1.所以x17.答案 4
解析 由题意知,当a=1,b=1时,
y=1|x|-1=1x-1(x≥0且x≠1),-1x+1(x<0且x≠-1).
在同一平面直角坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.
8.答案 [0,4)
解析 作出函数y=|f(x)|和y=t的图象,不妨设a由图知,a+b=-4,即b=-4-a(-4≤a<-2),-ln c=ln d,即ln cd=0,则cd=1,
因此,S=abcd=a(-4-a)=-a2-4a=-(a+2)2+4(-4≤a<-2).
由二次函数的性质易知0≤S<4,
故S的取值范围是[0,4).
9.解析 设u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0,所以0又y=lg12u在(0,4]上为减函数,
所以lg12u≥lg124=-2,
所以y=lg12(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
10.解析 设t=x2-2x+3=(x-1)2+2.
当x∈R时,t有最小值,最小值为2.
∵y=ax2-2x+3有最大值,∴0由f(x)=lga(3-2x),得其定义域为-∞,32.
设u=3-2x,x∈-∞,32,
则y=lgau.
∵u=3-2x在-∞,32上是减函数,且0∴f(x)=lga(3-2x)的单调增区间为-∞,32,无单调减区间.
11.答案 14
解析 若a>1,则有a2=4,a-1=m,故a=2,m=12,此时g(x)=-x在[0,+∞)上为减函数,不符合题意;
若012.解析 因为a-ax>0,所以a>ax,
当a>1时,x<1,则函数f(x)的定义域为(-∞,1);
当01,则函数f(x)的定义域为(1,+∞).
因为ax>0,所以a-ax当a>1时,lga(a-ax)当0lgaa=1,函数f(x)的值域为(1,+∞).
综上所述,当a>1时,函数f(x)的定义域与值域均为(-∞,1);当013.解析 当0又y=lgax在区间(0,+∞)上单调递减,
∴lga(a3+1)>lga(a2+1),即P>Q;
当a>1时,有a3>a2,即a3+1>a2+1.
又y=lgax在区间(0,+∞)上单调递增,
∴lga(a3+1)>lga(a2+1),即P>Q.
综上,P>Q.