高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率本章综合与测试同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率本章综合与测试同步训练题，共18页。试卷主要包含了3B等内容，欢迎下载使用。

易错点1 样本空间的样本点列举重复或遗漏致错
1.()一个三位数,其个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.23B.13C.16D.112
2.(2019辽宁沈阳高一段考,)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊,为庆祝兄弟相聚,甲发了一个9元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人抢到的钱数均为整数,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数多于其他两人)的概率是( )
A.13B.310C.25D.34
3.(2019吉林长春高一模考,)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是( )
A.736B.12C.1936D.518
4.(2019上海杨浦段考,)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至耄耋老人,下至垂髫小儿,将他们按照年龄(单位:岁)分组,各组人数统计如表:
(1)用分层随机抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,求从这三个不同年龄组的成员中分别抽取的挑战者的人数;
(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛,求这2人来自同一年龄组的概率.
5.(2019山东莱芜一模,)某市举行了一次初一学生调研考试,为了解本次考试学生的数学学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为100分,得分取正整数,抽取学生的分数均在[50,100]内)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组方法作出频率分布直方图,如图1所示,并作出了样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在[50,60),[80,90)内的数据),如图2所示.
(1)求频率分布直方图中x,y的值,并估计学生分数的中位数;
(2)在选取的样本中,从成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中恰有1人的分数在[90,100]内的概率.
易错点2 不会应用对立事件求解相关的概率问题致错
6.(2019浙江杭州高级中学调考,)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则只用非现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
7.()在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则下列事件的概率为710的是( )
A.恰有1件一等品B.至少有1件一等品
C.至多有1件一等品D.都不是一等品
8.(2019山东省实验中学高一模拟,)现有6名志愿者(他们都只通晓一门外语),其中志愿者A1,A2,A3通晓英语,志愿者B1,B2,B3通晓韩语,从中选出通晓英语、韩语的志愿者各1名,组成一个小组,其中A1被选中的概率为13,A1和B3全被选中的概率为19.
(1)求A1不被选中的概率;
(2)求A1和B3不全被选中的概率.
9.(2019湖北武汉高一调研,)某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
10.(2019陕西汉中高二模拟,)一个盒子里装有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.现随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
易错点3 混淆事件的互斥与独立致错
11.(2019广东深圳中学模拟,)甲、乙两人独立地解决同一问题,甲能解决这个问题的概率是p1,乙能解决这个问题的概率是p2,那么恰好有一人能解决这个问题的概率是( )
A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
C.1-p1p2D.1-(1-p1)(1-p2)
12.(2019山东烟台模拟,)抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的面的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一个发生的概率是( )
A.512B.12C.712D.34
13.(2019广西桂林模考,)已知甲、乙两人各进行一次射击,若两人击中目标的概率都是0.6,求其中恰好有一人击中目标的概率.
思想方法练
一、数形结合思想
1.(2019江西赣州高一模拟,)三张卡片上分别写有字母E,E,B,将这三张卡片摆正并随机排成一行,求恰好排成BEE的概率.
2.()用红、黄、蓝三种颜色给图中3个正方形随机涂色,每个正方形只涂一种颜色,求:
(1)3个正方形颜色都相同的概率;
(2)3个正方形颜色都不同的概率.
二、函数与方程思想
3.()有3个两两互斥的事件A,B,C,已知事件A∪B∪C是必然事件,事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍,事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A,B,C发生的概率.
4.(2019四川宜宾高一模拟,)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利润50元,若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利润30元.
(1)若商店一天购进商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,n∈N)的函数解析式;
(2)商店记录了该商品50天内的日需求量n(单位:件),将数据整理后得到下表:
若商店一天购进10件该商品,以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润(单位:元)在[400,550]内的概率.
答案全解全析
易混易错练
1.B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的有132,142,143,231,241,243,341,342,共8个结果,所以这个三位数是“凸数”的概率为824=13.故选B.
2.B 设乙、丙、丁分别抢到x元、y元、z元,记三人抢到钱数的结果为(x,y,z),
则所有的样本点有(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,4),(2,4,3),(3,2,4),(3,4,2),(4,3,2),
(4,2,3),(3,3,3),共10个,其中符合丙获得“手气最佳”的样本点有3个,所以丙获得“手气最佳”的概率P=310.故选B.
3.C 方程ax2+bx+1=0共有36种可能.易知a,b>0,则方程ax2+bx+1=0有实数解,必有Δ=b2-4a≥0,
若a=1,则b可能的取值为2,3,4,5,6;
若a=2,则b可能的取值为3,4,5,6;
若a=3,则b可能的取值为4,5,6;
若a=4,则b可能的取值为4,5,6;
若a=5,则b可能的取值为5,6;
若a=6,则b可能的取值为5,6,
所以事件“方程ax2+bx+1=0有实数解”包含的样本点共有5+4+3+3+2+2=19,所以所求的概率为1936.故选C.
4.解析 (1)因为样本容量与总体个数的比是6108=118,
所以从年龄在[7,20)的成员中抽取的挑战者人数为118×18=1,
从年龄在[20,40)的成员中抽取的挑战者人数为118×54=3,
从年龄在[40,80]的成员中抽取的挑战者人数为118×36=2,
所以从年龄在[7,20),[20,40),[40,80]的成员中抽取的挑战者的人数分别为1,3,2.
(2)设从年龄在[7,20)的成员中抽取的1人为a,从年龄在[20,40)的成员中抽取的3人分别为b,c,d,从年龄在[40,80]的成员中抽取的2人分别为e, f.
从这6人中任取2人的所有可能结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a, f),(b,c),(b,d),(b,e),(b, f),(c,d),(c,e),(c, f),(d,e),(d, f),(e, f),共15个样本点.
又每人被抽到的机会均等,所以这些样本点的出现是等可能的,
记事件A为“2人来自同一年龄组”,其包含的样本点有(b,c),(b,d),(c,d),(e, f),共4个,则P(A)=415,
故这2人来自同一年龄组的概率为415.
5.解析 (1)由题意可知,样本容量n=80.016×10=50,则y=550×10=0.010,
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.030=0.040.
因为(0.016+0.030)×10=0.46<0.5,
所以学生分数的中位数在[70,80)内.
设中位数为a分,则0.46+0.04×(a-70)=0.5,解得a=71,
所以估计学生分数的中位数为71分.
(2)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2,从这7名学生中随机抽取2名学生的所有情况有21种,分别为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中2名学生中恰有1人的分数在[90,100]内的情况有10种,
故所抽取的2名学生中恰有1人的分数在[90,100]内的概率P=1021.
B 设事件M为“只用非现金支付”,事件N为“既用现金支付也用非现金支付”,事件H为“只用现金支付”,则P(M)=1-P(N)-P(H)=1-0.15-0.45=0.4.
故选B.
7.C 将3件一等品分别编号为1,2,3,2件二等品分别编号为4,5,从中任取2件共有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有6种,所以恰有1件一等品的概率为35;2件都不是一等品的取法有1种,所以都不是一等品的概率为110,其对立事件是至少有1件一等品,概率为1-110=910;2件都是一等品的取法有3种,故2件都是一等品的概率为310,其对立事件是至多有1件一等品,概率为1-310=710.故选C.
8.解析 (1)设事件M为“A1不被选中”,因为A1被选中的概率为13,即P(M)=13,所以A1不被选中的概率为P(M)=1-P(M)=1-13=23.
(2)设事件N为“A1和B3不全被选中”,则其对立事件N为“A1和B3全被选中”,因为A1和B3全被选中的概率为19,即P(N)=19,所以A1和 B3不全被选中的概率为P(N)=1-P(N)=1-19=89.
9.解析 (1)设“派出2人或2人以下外出家访”为事件A,“派出3人外出家访”为事件B,“派出4人外出家访”为事件C,“派出5人外出家访”为事件D,“派出6人或6人以上外出家访”为事件E,则有4人或5人外出家访即事件C或事件D发生,又事件C与D为互斥事件,所以由互斥事件的概率加法公式可知
P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人或2人以下外出家访,所以由对立事件的概率公式可知所求概率P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.解析 由题意知,(a,b,c)所有可能的情况有(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),
(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),
(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),
(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
(1)设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,
所以P(A)=327=19.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.
11.B 甲能解决乙不能解决的概率为p1(1-p2),乙能解决甲不能解决的概率为p2(1-p1),
故恰好有一人能解决的概率为p1(1-p2)+p2(1-p1),故选B.
12.C “硬币正面向上”的概率P(A)=12,“骰子向上的面的点数是3”的概率P(B)=16,则事件A,B中至少有一个发生的概率是1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-12×56=712,故选C.
13.解析 恰好有一人击中目标的概率为0.6×0.4+0.4×0.6=0.48.
思想方法练
1.解析 记写有E的两张卡片分别为E1,E2,画树状图如下:
故该试验的样本空间Ω={E1E2B,E1BE2,E2E1B,E2BE1,BE1E2,BE2E1},共6个样本点,记事件A为“恰好排成BEE”,则A={BE1E2,BE2E1},共2个样本点,故P(A)=26=13.
2.解析 易知该试验中的样本点共有27个,画树状图如图所示.
(1)记“3个正方形颜色都相同”为事件A,由树状图可知,事件A包含的样本点有3个,故P(A)=327=19.
(2)记“3个正方形颜色都不同”为事件B,由树状图可知,事件B包含的样本点有6个,故P(B)=627=29.
3.解析 设P(B)=x(0≤x≤1),则P(A)=2P(B)=2x,P(C)=P(B)+0.2=x+0.2.
由题意知P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=2x+x+(x+0.2)=4x+0.2=1,解得x=0.2.
所以P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(C)=0.4.
4.解析 (1)当n≥10时,y=50×10+(n-10)×30=30n+200;当n<10时,y=50×n-(10-n)×10=60n-100,
所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为
y=30n+200(n≥10,n∈N),60n-100(n<10,n∈N).
(2)记录的50天内有9天获得的利润为380元,有11天获得的利润为440元,有15天获得的利润为500元,有10天获得的利润为530元,有5天获得的利润为560元.
若当天的利润在[400,550]内,则该商品的日需求量可以为9件、10件、11件,其对应的频数分别为11、15、10,则当天的利润在[400,550]内的概率P=11+15+1050=3650=1825.
年龄/岁
[7,20)
[20,40)
[40,80]
人数
18
54
36
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
日需求量(单位:件)
8
9
10
11
12
频数(单位:天)
9
11
15
10
5