必修第一册综合测评

这是一份必修 第一册全册综合当堂达标检测题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|x2>4},N={x|lg2x≥1},则M∩N=( )
A.[-2,2]B.(-∞,-2)
C.(2,+∞)D.(-2,+∞)
2.下列函数中,既是偶函数,又在(-∞,0)上单调递增的函数是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=2|x|
C.f(x)=lg21|x|D.f(x)=x|x|
3.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
则可估计这批产品的质量指标的众数(以中点值代替),中位数分别为( )
A.30,4313B.40,43C.40,4313D.30,43
4.下列命题是真命题的是( )
A.若x>y>z,则|xy|>|yz|B.若1a<1b<0,则ab>b2
C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a2x>a2y,则x>y
5.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.12,+∞B.12,+∞
C.14,+∞D.14,+∞
6.函数g(x)=|lga(x+1)|(a>0且a≠1)的图象大致为( )
7.如图,从上往下向一个球状空容器内注水,注水速度恒定不变,直到t0时刻水灌满容器时停止注水,此时水面高度为h0.若水面高度h是时间t的函数,则这个函数图象只可能是( )
8.定义一种新运算:a⊗b=b,a≥b,a,aA.(1,2]B.(1,2)
C.(0,2)D.(0,1)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.设全集为U,下列选项中是B⊆A的充要条件的为( )
A.A∪B=A B.(∁UA)∩B=⌀
C.(∁UA)⊆(∁UB)D.A∪(∁UB)=U
10.下列命题为真命题的是( )
A.∃x0∈(0,+∞),12x0<13x0
B.∃x0∈(0,1),lg12x0>lg13x0
C.∀x∈(0,+∞),12x>lg12x
D.∀x∈0,13,12x11.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题是真命题的是( )
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)-12=0有无数个根
12.在某年的足球甲A联赛上,一队每场比赛平均失球数是1.6,全年比赛失球个数的标准差是1.2;二队每场比赛平均失球数是2.2,全年比赛失球个数的标准差是0.5.下列说法正确的是( )
A.平均说来,一队比二队防守技术好
B.二队比一队防守技术水平更稳定
C.一队有时表现很差,有时表现又非常好
D.二队很少不失球
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知集合A={2,3},B={1,2,3},从集合A,B中各任意取一个数,则这两个数之和等于4的概率是 .
14.若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 .
15.若函数f(x)=x(x+2)(x-a)为奇函数,则实数a的值为 ,且当x≥4时,f(x)的最大值为 .
16.在实数集R中定义一种运算“*”,具有下列性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.
则函数f(x)=x*1x(x>0)的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知命题p:实数x满足x2-6x+5≤0,命题q:实数x满足m-1≤x≤m+1.
(1)当m=5时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分条件,求实数m的取值范围.
18.(12分)国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米, PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,如下:
(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有1天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(2)求样本平均数,并利用样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进,并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
19.(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+2x.
(1)求当x≤0时,f(x)的解析式;
(2)求证:f(x)在[1,+∞)上为增函数;
(3)解关于x的不等式f(2x+6)>f(4x+3×2x+3).
20.(12分)某中学对高三年级的学生进行体能测试,已知高三(一)班共有学生30人,测试立定跳远的成绩(单位:cm)用茎叶图表示如图:
男生成绩不低于185 cm的定义为“合格”,成绩低于185 cm的定义为“不合格”;女生成绩不低于175 cm的定义为“合格”,成绩低于175 cm的定义为“不合格”.
(1)求女生立定跳远成绩的中位数;
(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样,抽取6人,求抽取成绩“合格”的男生人数;
(3)若从(2)中所抽取的6人中任选2人,求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.
21.(12分)已知函数f(x)=x2,对任意实数t,gt(x)=-tx+1.
(1)若函数h(x)=xf(x)-gt(x)在(0,2]上是单调递减的,求实数t的取值范围;
(2)若f(x)22.(12分)已知函数f(x)=lga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)(3)当a=2时,若不等式f(x)-lg2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 因为M={x|x2>4}={x|x>2或x<-2},
N={x|lg2x≥1}={x|lg2x≥lg22}={x|x≥2},所以M∩N={x|x>2}.故选C.
2.C 对于A,y=x2为二次函数,其图象的对称轴为y轴,在其定义域内是偶函数,但在(-∞,0)上单调递减,不符合题意;
对于B,y=2|x|=2x,x≥0,2-x,x<0,在其定义域内是偶函数,但在(-∞,0)上单调递减,不符合题意;
对于C,f(x)=lg21|x|=-lg2|x|=
-lg2x,x>0,-lg2(-x),x<0,在其定义域内是偶函数,又在(-∞,0)上单调递增,符合题意;
对于D,y=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0,在其定义域内是奇函数,不符合题意.故选C.
3.C 根据题中频率分布表可知,频率最大的分组为[30,50),∴众数为40.设中位数为x,则0.1+x-3050-30×0.6=0.5,解得x=4313,即中位数为4313.故选C.
4.D A中,不妨取x=1,y=-2,z=-3,此时|1×(-2)|<|(-2)×(-3)|,所以A是假命题;B中,若1a<1b<0,则bab,所以B是假命题;C中,不妨取a=-1,b=-2,c=
-3,d=-4,则-1×(-3)<-2×(-4),所以C是假命题;D中,若a2x>a2y,则a2(x-y)>0,则x-y>0,即x>y,所以D是真命题.故选D.
5.D 由题意可得,函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,故有a>0,--12a≤2,解得a≥14.
6.C 函数g(x)=|lga(x+1)|的定义域为{x|x>-1},从而排除D;
由g(x)=|lga(x+1)|≥ 0,排除B;当x=0 时,g(x)=0,排除A.故选C.
7.C 容器是球形,在一开始,单位时间内高度的增长速度越来越慢,超过球心后高度的增长速度越来越快,观察各图象可得对应的图象是C.
8.B f(x)=1+2x⊗lg2x=1+2x,x>2,lg2x,0作出函数f(x)的图象如图,
函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点可转化为函数f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,故1二、多项选择题
9.ABCD 如图,由Venn图可知,A、B、C、D都是B⊆A的充要条件.故选ABCD.
10.BD 对于A选项,构造幂函数y=xx0(x0>0),因为x0>0,所以幂函数在(0,+∞)上单调递增.因为12>13,所以12x0>13x0恒成立,故A是假命题;
对于B选项,如图所示,函数y=lg12x的图象为虚线部分,函数y=lg13x的图象为实线部分,显然∃x0∈(0,1),使得lg12x0>lg13x0,故B是真命题;
对于C选项,∀x∈(0,+∞),0<12x<1恒成立,而当x=14时,lg1214=2,所以12x>lg12x不恒成立,故C是假命题;
对于D选项,∀x∈0,13,由指数函数y=12x的图象(图略)知,函数值恒小于1,由对数函数y=lg13x的图象(图略)知,函数值恒大于1,所以12xACD 由题意得f(-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,
f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,A是真命题;由题意可画出f(x)的图象,如图:
由图可得,f(x)的最小值为0,无最大值,f(x)-12=0有无数个根,故B错误,C正确,D正确.故选ACD.
12.ABCD 一队每场比赛平均失球数是1.6,二队每场比赛平均失球数是2.2,所以从平均数的角度来说一队比二队防守技术好,A正确;
一队全年比赛失球个数的标准差为1.2,二队全年比赛失球个数的标准差是0.5,所以二队比一队防守技术水平更稳定,B正确;
一队全年比赛失球个数的标准差为1.2,二队全年比赛失球个数的标准差是0.5,所以一队有时表现很差,有时表现又非常好,C正确;
二队每场比赛平均失球数是2.2,全年比赛失球个数的标准差是0.5,所以二队很少不失球,D正确.故选ABCD.
三、填空题
13.答案 13
解析 ∵集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各任意取一个数有2×3=6 种情况,其两数之和为4的情况有两种:2+2,1+3,∴这两个数之和等于4的概率P=26=13 .
14.答案 (-1,3)
解析 因为不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以a<0且ba=1,故a=b<0.所求不等式可化为(-x-1)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)<0,解得-115.答案 2;13
解析 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即-x(-x+2)(-x-a)+x(x+2)(x-a)=0,即(4-2a)x2(x+2)(-x+2)(x+a)(x-a)=0,故4-2a=0,即a=2,所以f(x)=xx2-4.当x≥4时,f(x)=1x-4x,注意到y=x-4x在[4,+∞)上单调递增,故x-4x≥4-44=3,所以0<1x-4x≤13,故当x≥4时,f(x)的最大值为13.
16.答案 3
解析 在(3)中,对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c,令c=0,得(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),
由(1)中a*b=b*a可得(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),
由(2)中a*0=a,化简可得(a*b)*0=a*b=ab+a+b,
所以f(x)=x*1x=1+x+1x.因为x>0,
所以由基本不等式可得f(x)=1+x+1x≥3,当且仅当x=1时,等号成立,所以最小值为3.
四、解答题
17.解析 (1)由题意知p:1≤x≤5,当m=5时,q:4≤x≤6,(2分)
∵“p且q”为真,∴p,q都为真命题,(3分)
∴4≤x≤5.(5分)
(2)∵q是p的充分条件,∴{x|m-1≤x≤m+1}是{x|1≤x≤5}的子集,(7分)
∴m-1≥1,m+1≤5,(9分)
∴2≤m≤4.(10分)
18.解析 (1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天分别记为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天分别记为B1,B2,
所以从5天中随机抽取2天的情况有
A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种,(2分)
其中符合条件的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6种,(4分)
所以所求的概率P=610=35.(6分)
(2)随机抽取的该居民区去年20天PM2.5的平均浓度为12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米).(8分)
该居民区的环境需要改进.(10分)
理由:利用样本估计总体的思想,估计该居民区去年PM2.5的年平均浓度为42.5微克/立方米.
因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,所以该居民区的环境需要改进.(12分)
19.解析 (1)已知定义域为R的奇函数f(x),则f(0)=0.(1分)
当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2-2x,f(x)=-f(-x)=-x2+2x.(2分)
综上所述,当x≤0时,f(x)=0,x=0,-x2+2x,x<0.(3分)
(2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=x22+2x2-x12-2x1=(x22-x12)+2x2-2x1
=(x2-x1)x2+x1-2x1x2,(6分)
∵1≤x10,x2+x1>2,2x1x2<2,
∴x2+x1-2x1x2>0,
∴(x2-x1)x2+x1-2x1x2>0,(7分)
即f(x2)>f(x1),∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.(8分)
(3)2x+6>6,4x+3×2x+3>3,
设2x=t(t>0),根据(2)及f(2x+6)>f(4x+3×2x+3),
可得t+6>t2+3t+3,即t2+2t-3<0,t>0,
∴0即0<2x<1,(10分)
解得x<0.(11分)
因此不等式的解集为{x|x<0}.(12分)
20.解析 (1) 女生立定跳远成绩的中位数为175+1782=176.5 cm.(3分)
(2)男生中成绩“合格”和“不合格”的人数比为2∶1,用分层抽样的方法抽取6人,
则抽取成绩“合格”的人数为6×22+1=4.(5分)
设(2)中成绩“合格”的4人分别为A,B,C,D,成绩“不合格”的2人分别为a,b,从中选出2人有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),
(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种情况,(8分)
其中恰有1人成绩“合格”的有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种情况,(10分)
故所求事件的概率为815.(12分)
21.解析 (1)由已知得h(x)=xf(x)-gt(x)=1x+tx-1,(1分)
任取x1,x2∈(0,2],且x1则h(x1)-h(x2)=1x1+tx1-1-1x2+tx2-1=(x2-x1)(1-tx1x2)x1x2,(3分)
要使h(x)在(0,2]上单调递减,只需h(x1)-h(x2)>0恒成立. (4分)
∵x2-x1>0,0∴只需1-tx1x2>0,即t<1x1x2,x1,x2∈(0,2]恒成立.(5分)
又∵1x1x2>14,∴t≤14,
∴实数t的取值范围是-∞,14.(6分)
(2)解法一:由f(x)0,
又m>0,∴1m<1x2-2x.(8分)
又∵f(x)∴1m<1x2-2xmin,x∈0,13.(9分)
∵1x2-2x=1x-12-1,∴当x=13时,函数y=1x2-2x取得最小值3,(10分)
∴1m<3.又m>0,∴m>13,
∴正数m的取值范围是13,+∞.(12分)
解法二:由f(x)令F(x)=x2+2mx-m,则
F(x)<0对任意x∈0,13恒成立,(8分)
∴F(0)≤0,F13<0, 即-m≤0,19+23m-m<0,解得m>13.(10分)
∴正数m的取值范围是13,+∞.(12分)
22.解析 (1)当a=12时,f(x)=lg1212x-1,(1分)
令12x-1>0,解得x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0).(3分)
(2)由题意知,f(x)=lga(ax-1)(a>1),定义域为x∈(0,+∞),易知f(x)为x∈(0,+∞)上的增函数,(4分)
由f(x)0,x<1,∴x∈(0,1).∴不等式f(x)设g(x)=f(x)-lg2(1+2x)=lg22x-12x+1,x∈[1,3],设t=2x-12x+1=1-22x+1,
因为x∈[1,3],所以2x+1∈[3,9],故t=1-22x+1∈13,79,(8分)
故g(x)min=lg213.(10分)
又∵f(x)-lg2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
∴m∴实数m的取值范围为m质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70)
频率
0.1
0.6
0.3
组别
PM2.5浓度
(微克/立方米)
频数(天)
频率
第一组
(0,25]
3
0.15
第二组
(25,50]
12
0.6
第三组
(50,75]
3
0.15
第四组
(75,100)
2
0.1
男
女
7
16
5 7 8 9 9
9 8
17
1 8 4 5 2 9
3 5 6
18
0 2 7 5 4
1 2 4
19
0 1
1
20
8
21
5
22