北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用本章综合与测试课堂检测

第二章　平面向量及其应用

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若向量a=(1,-2),b=(3,-1),则与a+b共线的向量是(　　)

A.(-1,1) B.(-3,-4)

C.(-4,3) D.(2,-3)

2.在△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,则∠A=(　　)

A.45° B.15°或105°

C.45°或135° D.105°

3.已知等腰梯形ABCD中,=2,E,F分别为AD,BC的中点,G为EF的中点,若记=a,=b,则=(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

4.△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知sin A∶sin B=3∶5,c=2b-a,则cos B=(　　)

A. B.- C. D.

5.已知平面向量a、b,若a+b与a的夹角为,a+b与b的夹角为,则=(　　)

A. B. C. D.

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,B=30°,△ABC的面积为,则b=(　　)

A. B.1 C.2 D.4

7.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km,5 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B的距离为(　　)

A.6 km B.4 km C.7 km D.5 km

8.△ABC中,AB=5,AC=4,=λ+(1-λ)(0<λ<1),且·=16,则·的最小值等于(　　)

A.- B.- C.- D.-21

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=0成立的是(　　)

A.a=-2b B.a+b=0

C.a∥b D.a⊥b

10.△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有(　　)

A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形

B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形

C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形

D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形

11.如图,已知正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则下面选项正确的是(　　)

A.+=

B.·=-

C.+=-

D.在方向上的投影数量为-

12.已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的值可能是(　　)

A.-2a2 B.-a2 C.-a2 D.-a2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.若e为非零向量,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　　. 

14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=3,则·的值是　　　　. 

15.在锐角△ABC中,D是线段BC的中点,若AD=2,BD=,∠BAD=30°,则角B=　　　　,AC=　　　　.参考数据:cos 75°=(本题第一空2分,第二空3分) 

16.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=2,=,则△ABC的面积的最大值为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(3,4).

(1)求a·(b+c);

(2)若(a+λb)∥c,求实数λ的值.

18.(本小题满分12分)已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.

(1)求向量a与b的夹角θ;

(2)求|a+b|.

19.(本小题满分12分)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,已知tan A=,b=2.

(1)若a=2,求B;

(2)若a=2c,求△ABC的面积.

20.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,=,=,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.

(1)用和分别表示和;

(2)如果=+λ=+μ,求实数λ和μ的值;

(3)在(2)的条件下,确定点P在边BC上的位置.

21.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:

(1)BE⊥CF;

(2)AP=AB.

22.(本小题满分12分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin A+.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值以及周长的最大值.

答案全解全析

 本章达标检测

1.C 2.B 3.B 4.A 5.D

6.C 7.C 8.C 9.AB 10.BCD

11.BC 12.BCD   

一、单项选择题

1.C　a+b=(4,-3),

设与a+b平行的向量是c=(x,y),

则4y-(-3)x=0,

即3x+4y=0,

满足条件的只有(-4,3).

2.B　由正弦定理得AB/sinC=AC/sinB,得sin C=(AB"•" sinB)/AC=(√2×1/2)/1=√2/2,

所以∠C=45°或135°,经检验,均满足题意.

当∠C=45°时,由三角形的内角和定理得∠A=180°-∠B-∠C=105°;

当∠C=135°时,由三角形的内角和定理得∠A=180°-∠B-∠C=15°.

因此,∠A=15°或∠A=105°.

3.B　由题意得,(AG) ⃗=(AE) ⃗+(EG) ⃗=1/2 (AD) ⃗+1/2 (EF) ⃗=1/2 (AD) ⃗+1/4((AB) ⃗+(DC) ⃗)=1/2 (AD) ⃗+1/4 (AB) ⃗+1/2•(AB) ⃗ =1/2 (AD) ⃗+3/8 (AB) ⃗,

∵(AB) ⃗=a,(AD) ⃗=b,∴(AG) ⃗=1/2b+3/8a,

故选B.

4.A　∵sin A∶sin B=3∶5,

∴由正弦定理可得a/b=3/5,可得a=3/5b,

∴c=2b-a=7/5b,

∴cos B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=((3b/5) ^2+(7b/5) ^2 "-" b^2)/(2×3b/5×7b/5)=11/14.

故选A.

5.D　如图所示,作平行四边形OABC,使得(OA) ⃗=a,(OC) ⃗=b,且∠AOB=π/6,∠BOC=π/4,

由图可知(AB) ⃗=(OC) ⃗=b,在△OAB中,("|" a"|" )/("|" b"|" )=("|" (OA) ⃗"|" )/("|" (AB) ⃗"|" )=(sin∠OBA)/(sin∠AOB)=(sin" "  π/4)/(sin" "  π/6)=√2,故选D.

6.C　∵a=2,B=30°,△ABC的面积为√3,∴√3=1/2acsin B=1/2×2×c×1/2,∴c=2√3,

∴由余弦定理可得b=√(a^2+c^2 "-" 2accosB)=√(2^2+"(" 2√3 ")" ^2 "-" 2×2×2√3×√3/2)=2.

故选C.

7.C　由题意作出示意图如下.

由题意可得∠ACB=180°-20°-40°=120°,

由余弦定理可得,AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos 120°=9+25-2×3×5×cos 120°=49,

所以AB=7 km.

故选C.

8.C　由向量(AD) ⃗=λ(AB) ⃗+(1-λ)(AC) ⃗(0<λ<1),且(AD) ⃗•(AC) ⃗=16,

可得点D在边BC上,|(AD) ⃗|•|(AC) ⃗|•cos∠DAC=16,

所以|(AD) ⃗|cos∠DAC=4=|(AC) ⃗|,

所以∠BCA=90°,即BC⊥AC,

所以△ABC是以C为直角的直角三角形.

如图建立平面直角坐标系,设A(x,4)(0<x<3),则B(x-3,0),(DA) ⃗=(x,4),(DB) ⃗=(x-3,0),

则(DA) ⃗•(DB) ⃗=x(x-3)(0<x<3),当x=3/2时,(DA) ⃗•(DB) ⃗最小,最小值为-9/4.

故选C.

二、多项选择题

9.AB　由题意知,a/("|" a"|" )是与a同向的单位向量,b/("|" b"|" )是与b同向的单位向量,这两个向量互为相反向量,所以a、b方向相反.

因此,使得a/("|" a"|" )+b/("|" b"|" )=0成立的条件为a+b=0和a=-2b.

故选AB.

10.BCD　若a•b>0,则cos(π-∠C)>0,即cos C<0,即角C是钝角,所以△ABC是钝角三角形,故A为假命题;

若a•b=0,则(BC) ⃗⊥(CA) ⃗,所以△ABC为直角三角形,故B为真命题;

若a•b=c•b,则b•(a-c)=0,即(CA) ⃗•((BC) ⃗-(AB) ⃗)=0,(CA) ⃗•((BC) ⃗+(BA) ⃗)=0,取AC的中点D,则(CA) ⃗•(BD) ⃗=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,故C为真命题;

若(a+c-b)•(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b•c,所以cos A=(b^2+c^2 "-" a^2)/(2"|" b"||" c"|" )=-cos A,

所以cos A=0,即A=π/2,所以△ABC为直角三角形,故D为真命题.

故选BCD.

11.BC　对于A,|(OA) ⃗+(OC) ⃗|=√2,|(OB) ⃗|=1,故A错误;

对于B,(OA) ⃗,(OD) ⃗的夹角为135°,所以(OA) ⃗•(OD) ⃗=|(OA) ⃗||(OD) ⃗|cos 135°=-√2/2,故B正确;

对于C,((OB) ⃗+(OH) ⃗)2=(OB) ⃗^2+(OH) ⃗^2+2(OB) ⃗•(OH) ⃗=2,所以|(OB) ⃗+(OH) ⃗|=√2,|-√2 (OE) ⃗|=√2,利用向量的加法法则,结合题图可知,(OB) ⃗+(OH) ⃗的方向与√2 (OE) ⃗方向相反,所以(OB) ⃗+(OH) ⃗=-√2 (OE) ⃗,故C正确;

对于D,(AH) ⃗在(AB) ⃗方向上的投影数量为|(AH) ⃗|•cos 135°,因为|(AH) ⃗|≠1,所以|(AH) ⃗|cos 135°≠-√2/2,故D错误.

故选BC.

12.BCD　以BC的中点作为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

则A(0,√3a),B(-a,0),C(a,0),

设P(x,y),

则(PA) ⃗=(-x,√3a-y),(PB) ⃗=(-a-x,-y),(PC) ⃗=(a-x,-y).

所以(PA) ⃗•((PB) ⃗+(PC) ⃗)

=(-x,√3a-y)•[(-a-x,-y)+(a-x,-y)]

=(-x,√3a-y)•(-2x,-2y)

=2x2+2y2-2√3ay

=2x2+2(y"-"  √3/2 a)^2-3/2a2≥-3/2a2.

故选BCD.

三、填空题

13.答案　等腰梯形

解析　因为(AB) ⃗=3e,(CD) ⃗=-5e,

所以(AB) ⃗=-3/5 (CD) ⃗,

所以AB∥CD,AB≠CD,

因为|(AD) ⃗|=|(BC) ⃗|,所以AD=BC,

所以四边形ABCD是等腰梯形.

14.答案　-9/2

解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),E 3,√3/2 ,

设F(x,√3),则(AB) ⃗=(3,0),(AF) ⃗=(x,√3),

∴(AB) ⃗•(AF) ⃗=3x=3,解得x=1,

∴(BF) ⃗=(-2,√3),又(AE) ⃗= 3,√3/2 ,

∴(AE) ⃗•(BF) ⃗=3×(-2)+√3/2×√3=-9/2.

15.答案　45°;√(8"-" 2√3)

解析　在三角形ABD中,由正弦定理得AD/sinB=BD/(sin∠BAD),解得sin B=√2/2,由于三角形ABC为锐角三角形,故B=45°.又∠BAD=30°,所以∠ADC=75°,在三角形ADC中,由余弦定理得AC=√(AD^2+DC^2 "-" 2AD"•" DC"•" cos75"°" )=√(8"-" 2√3) .

16.答案　√3

解析　因为sinA/a=(√3 cosB)/b,由正弦定理可得sinA/sinA=(√3 cosB)/sinB,所以sin B=√3cos B,所以tan B=√3.

又B∈(0,π),所以B=π/3,

由b2=a2+c2-2accos B可得,4=a2+c2-ac,即4=a2+c2-ac≥2√(a^2 c^2 )-ac=ac,当且仅当a=c=2时取等号,即ac≤4,

又S△ABC=1/2acsin B,

所以S△ABC≤1/2×4×√3/2=√3,

即△ABC的面积的最大值为√3.

四、解答题

17.解析　(1)因为b=(3,-2),c=(3,4),

所以b+c=(6,2),(2分)

又a=(2,-1),

所以a•(b+c)=2×6+(-1)×2=10.(5分)

(2)a+λb=(2+3λ,-1-2λ),(6分)

因为(a+λb)∥c,

所以(2+3λ)×4=(-1-2λ)×3,(8分)

解得λ=-11/18.(10分)

18.解析　(1)∵(a-b)•(a+b)=1/2,

∴a2-b2=1/2,即|a|2-|b|2=1/2,

∵|a|=1,∴|b|2=1/2,∴|b|=√2/2.(2分)

∴cos θ=(a"•" b)/("|" a"|•|" b"|" )=(1/2)/(1×√2/2)=√2/2.(4分)

又θ∈[0,π],∴θ=π/4.(6分)

(2)∵|a+b|2=a2+2a•b+b2=1+2×1/2+1/2=5/2,(9分)

∴|a+b|=√(5/2)=√10/2.(12分)

19.解析　因为tan A=√3,所以A=π/3.(1分)

(1)由a/sinA=b/sinB,得sin B=bsinA/a=1/2.(2分)

解得B=π/6或5π/6,(4分)

又b<a,所以B<A,所以B=π/6.(6分)

(2)由余弦定理,得(2c)2=22+c2-2×2×c×cos π/3,(7分)

即3c2+2c-4=0,

解得c=("-" 1+√13)/3(负根舍去),(9分)

故△ABC的面积为1/2bcsin A=1/2×2×("-" 1+√13)/3×sin π/3=(√39 "-" √3)/6.(12分)

20.解析　(1)(BQ) ⃗=(AQ) ⃗-(AB) ⃗=1/2 (AC) ⃗-(AB) ⃗,(1分)

(CR) ⃗=(AR) ⃗-(AC) ⃗=1/3 (AB) ⃗-(AC) ⃗.(2分)

(2)由(1)知,(AI) ⃗=(AB) ⃗+λ(1/2 (AC) ⃗"-" (AB) ⃗ )

=(1-λ)(AB) ⃗+λ/2 (AC) ⃗,(3分)

(AI) ⃗=(AC) ⃗+μ(1/3 (AB) ⃗"-" (AC) ⃗ )=μ/3 (AB) ⃗+(1-μ)(AC) ⃗,(4分)

∴(1-λ)(AB) ⃗+λ/2 (AC) ⃗=μ/3 (AB) ⃗+(1-μ)(AC) ⃗,

∵(AB) ⃗,(AC) ⃗不共线,(5分)

∴{■(1"-" λ=μ/3 "," @λ/2=1"-" μ"," )┤(6分)

解得{■(λ=4/5 "," @μ=3/5 "." )┤(7分)

(3)设(BP) ⃗=m(BC) ⃗,(AP) ⃗=n(AI) ⃗.

由(2)知,(AI) ⃗=1/5 (AB) ⃗+2/5 (AC) ⃗,

∴(BP) ⃗=(AP) ⃗-(AB) ⃗=n(AI) ⃗-(AB) ⃗=n 1/5 (AB) ⃗+2/5•(AC) ⃗ -(AB) ⃗= n/5-1 (AB) ⃗+2n/5 (AC) ⃗.(8分)

又(BP) ⃗=m(BC) ⃗=m((AC) ⃗-(AB) ⃗)=m(AC) ⃗-m(AB) ⃗,

∴ n/5-1 (AB) ⃗+2n/5 (AC) ⃗=m(AC) ⃗-m(AB) ⃗,

∵(AB) ⃗,(AC) ⃗不共线.(9分)

∴{■(n/5 "-" 1="-" m"," @2n/5=m"," )┤解得{■(m=2/3 "," @n=5/3 "." )┤(10分)

∴(BP) ⃗=2/3 (BC) ⃗,即BP/PC=2.(11分)

∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点.(12分)

21.证明　如图,建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1分)

(1)易得(AE) ⃗=(1,2),(AB) ⃗=(2,0),(AF) ⃗=(0,1),(AC) ⃗=(2,2).(2分)

∵(BE) ⃗=(AE) ⃗-(AB) ⃗=(1,2)-(2,0)=(-1,2),(CF) ⃗=(AF) ⃗-(AC) ⃗=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∴(BE) ⃗•(CF) ⃗=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,(4分)

∴(BE) ⃗⊥(CF) ⃗,即BE⊥CF.(5分)

(2)设P(x,y),则(FP) ⃗=(x,y-1),(BP) ⃗=(x-2,y),由(1)知(CF) ⃗=(-2,-1),(BE) ⃗=(-1,2),

∵(FP) ⃗∥(CF) ⃗,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.(7分)

同理,由(BP) ⃗∥(BE) ⃗,得y=-2x+4.(8分)

∴{■(x=2y"-" 2"," @y="-" 2x+4"," )┤解得{■(x=6/5 "," @y=8/5 "," )┤

即P 6/5,8/5 .(10分)

∴(AP) ⃗^2= 6/5 2+ 8/5 2=4=(AB) ⃗^2,

∴|(AP) ⃗|=|(AB) ⃗|,即AP=AB.(12分)

22.解析　(1)依题意得,sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,故b2+c2=a2+bc,

即(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=1/2,即cos A=1/2,(3分)

因为A∈(0,π),故A=π/3.(5分)

(2)由a2=b2+c2-2bccos A得,12=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c=2√3时,等号成立.

故△ABC的面积S=1/2bcsin A=√3/4bc≤3√3,故△ABC面积的最大值为3√3.(8分)

而12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(3"(" b+c")" ^2)/4=("(" b+c")" ^2)/4,

故b+c≤4√3,当且仅当b=c=2√3时,等号成立.(10分)

故△ABC的周长L=a+b+c≤6√3,

故周长的最大值为6√3.(12分)