高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示课时作业

第二章　平面向量及其应用

§5　从力的做功到向量的数量积

5.1　向量的数量积

5.2　向量数量积的坐标表示

基础过关练

题组一　向量的数量积的定义

1.△ABC中,若·>0,则△ABC是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

2.(2020陕西宝鸡高三高考模拟检测(三))已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4,则a·b=(　　)

A.12 B.-12 C.5 D.12或-12

3.(2020广西柳州高级中学二模)若等边△ABC的边长为4,则·=(　　)

A.8 B.-8 C.8 D.-8

4.(2020陕西西安第二中学高三上学期期中)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,则·的值为　　　　. 

题组二　投影

6.(2020吉林长春六中、八中、十一中等省重点中学联考)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且a·b=4,则向量a在b方向上的投影数量是(　　)

A. B. C.2 D.1

7.已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为,求:

(1)a在b方向上的投影数量;

(2)(a-2b)·(a+b).

题组三　向量数量积的运算性质与应用

8.(2020河南、河北两省重点高中高三考前预测)在△ABC中,·=0,·=2,则||=(　　)

A.1 B. C. D.2

9.(2020贵州贵阳普通高中高三上学期期末检测)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

10.(多选)(2020山东济南外国语学校高一上期末)下面给出的关系式中,正确的有(　　)

A.0·a=0 B.a·b=b·a

C.a2=|a|2 D.(a·b)·c=a·(b·c)

11.(2020广东湛江高三调研)(1)已知非零向量m、n满足|n|=4|m|,且m⊥(2m+n),求m、n的夹角;

(2)在△ABC中,AB⊥AC,=(-1),·=4,求||.

12.(2020四川遂宁高一下学期期中)已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.

(1)求向量a与b的夹角θ;

(2)求向量a在a+b方向上的投影数量.

13.如图所示,在▱ABCD中,已知AB=3,AD=2,∠BAD=120°.=,=,求·.

题组四　平面向量数量积的坐标表示

14.已知a=(1,m),b=(1,2-m),则a·b的最大值为(　　)

A.1 B.2 C. D.4

15.已知a=(2,0),b=(-3,3),则向量a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

16.(2020陕西咸阳实验中学高一下学期期中)若向量a=(1,2),b=(0,-2),则a·(a-b)=(　　)

A.-6 B.-7 C.8 D.9

17.(2020陕西渭南富平中学高三上学期第一次摸底考试)已知向量a=(2,1),b=(0,1),(a+kb)·b=3,则实数k的值为(　　)

A.-2 B.2 C.-4 D.4

18.(2020福建南平高级中学高一下期中)已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是(　　)

A.{2,3} B.{-1,6}

C.{2} D.{6}

19.(2020重庆第十八中学高一下学期期末)已知点A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),则在e方向上的投影数量为(　　)

A.2 B.1 C.-1 D.-2

20.(2020河北邯郸大名一中高三上学期期中)已知向量a=(x,6),b=(3,4),且a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围为(　　)

A.[-8,+∞) B.∪

C.∪ D.(-8,+∞)

21.(2020辽宁普通高中高三上学期学业水平测试)(1)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),求a·b的值;

(2)设向量a=(1,2),|b|=2,cos<a,b>=-,求a·(a+b)的值.

能力提升练

题组一　求数量积

1.(2020河北邢台第一中学高一下学期期末,)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=BD,AD=1,则·=(　　)

A. B.3 C.-1 D.-3

2.(2020天津和平高一下学期期中,)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,e是与向量a+b方向相同的单位向量,则a在向量a+b上的投影向量为(　　)

A.e B.e C.e D.e

3.(2020湖南师范大学附属中学高三下学期模拟,)已知向量a,b满足|a|=2,且a+4b=λa(λ>0),则当λ变化时,a·b的取值范围是(　　)

A.(-∞,0) B.(-∞,-1)

C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

4.(2020湖南郴州高一下期末联考,)如图,在直角梯形ABCD中,AB=8,CD=4,AB∥CD,AB⊥AD,E是BC的中点,则·(+)=(　　)

A.32 B.48 C.80 D.64

5.(2020江西景德镇高三第一次质检,)在△ABC中,AB=1,AC=2,点D为BC中点.若点M为△ABC的外心,则·=　　　　. 

6.(2020江苏连云港高一上学期期末,)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,=2,=2.

(1)试用和表示;

(2)求·的值.

题组二　向量数量积的性质与应用

7.(2020辽宁沈阳东北育才学校高三下学期第三次模拟,)已知e1,e2为单位向量,且满足(2e1+e2)·e2=0,则<e1,e2>=(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

8.(2020江西临川一中、南昌二中等九校重点中学协作体高三第一次联考,)已知扇形AOB,∠AOB=θ(0<θ<π),扇形半径为,C是弧上一点,若=+,则θ=(　　)

A. B. C. D.

9.(2020黑龙江鹤岗第一中学高三上学期一诊,)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=,则AB的长为　　　　. 

10.(2020四川成都外国语学校高三一模,)向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且|a-2b|∈(2,2],则a,b的夹角θ的取值范围是　　　　. 

11.(2020重庆巴蜀中学高二上学期期中,)(1)若·+=0,试判断三角形ABC的形状;

(2)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,试判断△ABC的形状.

答案全解全析

§5　从力的做功到向

量的数量积

5.1　向量的数量积

5.2　向量数量积的坐标表示

基础过关练

1.B 2.D 3.A 4.A 6.A

8.B 9.B 10.BC 14.B 15.C

16.D 17.B 18.C 19.B 20.B

1.B　易知(AB) ⃗与(BC) ⃗的夹角为π-B,

则(AB) ⃗•(BC) ⃗=|(AB) ⃗|•|(BC) ⃗|cos(π-B)>0,

得cos(π-B)>0,∴cos B<0,∴角B为钝角,∴△ABC为钝角三角形,故选B.

2.D　∵向量a与向量b平行,∴向量a与向量b的夹角θ=0°或θ=180°,

当θ=0°时,a•b=3×4×cos 0°=12,

当θ=180°时,a•b=3×4×cos 180°=-12,

故选D.

3.A　根据条件,得(AB) ⃗•(AC) ⃗=|(AB) ⃗||(AC) ⃗|•cos 60°=4×4×1/2=8.故选A.

4.A　∵m,n为非零向量,且存在负数λ,使得m=λn,∴向量m,n共线且方向相反,∴m•n<0.

当非零向量m,n的夹角为钝角时,满足m•n<0,但m=λn不成立,

∴“存在负数λ,使得m=λn”是“m•n<0”的充分不必要条件.故选A.

5.答案　-3

解析　∵AB=2,AD=1,

∴(AC) ⃗•(BD) ⃗=((AB) ⃗+(AD) ⃗)•((AD) ⃗-(AB) ⃗)

=(AD) ⃗^2-(AB) ⃗^2=1-4=-3.

故答案为-3.

6.A　设向量a与b的夹角是θ,

则向量a在b方向上的投影数量为|a|cos θ=(a"•" b)/("|" b"|" )=4/3.故选A.

7.解析　(1)由题意得a在b方向上的投影数量为|a|•cos 2π/3=4× -1/2 =-2.

(2)(a-2b)•(a+b)=a2-2b2-a•b=16-8-4×2× -1/2 =12.

8.B　因为(CA) ⃗•(CB) ⃗=|(CA) ⃗||(CB) ⃗|cos C=0,所以∠C=90°,所以△ABC为直角三角形,

所以(BC) ⃗•(BA) ⃗=|(BC) ⃗|•|(BA) ⃗|•cos∠ABC=|(BC) ⃗|2=2,所以|(BC) ⃗|=√2.故选B.

9.B　非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,将等式两边同时平方可得(a+b)2=(a-b)2,

展开可得a2+2a•b+b2=a2-2a•b+b2,

化简可得a•b=0,

由向量数量积的定义可知a•b=|a|•|b|•cos<a,b>=0.

因为a,b为非零向量,所以cos<a,b>=0,

即a与b垂直,其夹角为π/2.故选B.

10.BC　对于A,因为数与向量相乘为向量,所以0•a=0,A错误;对于B,向量的数量积运算满足交换律, 所以a•b=b•a,B正确;对于C,根据数量积的定义知a2=|a|•|a|•cos 0°=|a|2,所以a2=|a|2,C正确;对于D,根据数量积的定义知,数量积为一实数,所以(a•b)•c为mc(m∈R),表示与c共线的向量或零向量,而a•(b•c)为na(n∈R),表示与a共线的向量或零向量,所以(a•b)•c=a•(b•c)不一定成立,D错误.

11.解析　(1)∵m⊥(2m+n),∴m•(2m+n)=0,即2m2+m•n=0.

又∵|n|=4|m|,∴2|m|2+|m|•4|m|•cos<m,n>=0,解得cos<m,n>=-1/2,

结合0≤<m,n>≤π,得<m,n>=2π/3.

(2)∵(CD) ⃗=(√2-1)(BC) ⃗,∴(BD) ⃗=√2 (BC) ⃗.

∴(AC) ⃗•(AD) ⃗=(AC) ⃗•((AB) ⃗+(BD) ⃗)=(AC) ⃗•(BD) ⃗=√2 (AC) ⃗•(BC) ⃗=√2 (AC) ⃗•((AC) ⃗-(AB) ⃗)=√2|(AC) ⃗|2=4√2,∴|(AC) ⃗|=2.

12.解析　(1)因为(2a-3b)•(2a+b)=4|a|2-3|b|2-4a•b=9,|a|=2,|b|=1,

所以a•b=1,所以cos θ=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=1/2,

又θ∈[0,π],所以θ=π/3.

(2)因为a•(a+b)=a2+a•b=5,|a+b|=√("(" a+b")" ^2 )=√(a^2+b^2+2a"•" b)=√(4+1+2×1)=√7,所以向量a在a+b方向上的投影数量为(a"•(" a+b")" )/("|" a+b"|" )=5/√7=(5√7)/7.

13.解析　因为(AF) ⃗=(AB) ⃗+(BF) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗,(DE) ⃗=(AE) ⃗-(AD) ⃗=1/3 (AB) ⃗-(AD) ⃗,所以(AF) ⃗•(DE) ⃗=((AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗ )• 1/3 (AB) ⃗-(AD) ⃗ =1/3 (AB) ⃗^2-5/6 (AB) ⃗•(AD) ⃗-1/2 (AD) ⃗^2=1/3|(AB) ⃗|2-5/6|(AB) ⃗|•|(AD) ⃗|cos∠BAD-1/2|(AD) ⃗|2

=1/3×9-5/6×3×2× -1/2 -1/2×4

=3+5/2-2=7/2.

14.B　因为a•b=1×1+m(2-m)=-(m-1)2+2,所以其最大值为2,故选B.

15.C　记a与b的夹角为θ,则cos θ=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=(2×"(-" 3")" +0×3)/(2×3√2)=-√2/2,又θ∈[0,π],所以θ=3π/4.

16.D　因为a=(1,2),b=(0,-2),所以a-b=(1,4),所以a•(a-b)=1+8=9.故选D.

17.B　(a+kb)•b=a•b+kb2=(2,1)•(0,1)+k=1+k=3⇒k=2,

故选B.

18.C　因为向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,所以a•b=2(x-5)+3x=5x-10=0,

解得x=2,故选C.

19.B　由A(1,0),B(-2,1),可得(AB) ⃗=(-3,1),

所以(AB) ⃗在e方向上的投影数量为((AB) ⃗"•" e)/("|" e"|" )=("-" 3×0+1×1)/1=1.故选B.

20.B　若a∥b,则4x=18,解得x=9/2.

因为a与b的夹角为锐角,所以x≠9/2.

由a与b的夹角为锐角,

得a•b=3x+24>0,解得x>-8.

又因为x≠9/2,

所以x∈("-" 8","  9/2)∪(9/2 "," +"∞" ).

故选B.

21.解析　(1)因为a=(2,4),b=(-1,1),

所以a•b=2×(-1)+4×1=2.

(2)因为|a|=√(1^2+"(" 2√2 ")" ^2 )=3,

所以a•b=3×2×("-"  1/3)=-2,

所以a•(a+b)=a2+a•b=9-2=7.

能力提升练

1.C 2.A 3.D 4.C 7.C

8.D    

1.C　依题意得(DC) ⃗•(AD) ⃗=((BC) ⃗-(BD) ⃗)•(AD) ⃗=(√3-1)•(BD) ⃗•(AD) ⃗=(√3-1)•((AD) ⃗-(AB) ⃗)•(AD) ⃗=(√3-1)•((AD) ⃗^2-(AB) ⃗•(AD) ⃗)=(√3-1)•(12-0)=√3-1.故选C.

2.A　∵|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为2π/3,

∴|a+b|=√("(" a+b")" ^2 )

=√(a^2+2"|" a"||" b"|" cos 2π/3+b^2 )=√3,

a•(a+b)=a2+|a||b|cos 2π/3=3,

∴向量a在向量a+b方向上的投影数量为(a"•(" a+b")" )/("|" a+b"|" )=3/√3=√3,

∵e是与向量a+b方向相同的单位向量,

∴a在向量a+b上的投影向量为√3e.

故选A.

3.D　由已知得,(λ-1)a=4b,则(λ-1)a2=4a•b,

因为|a|=2,λ>0,所以a•b=λ-1>-1,故选D.

4.C　(AB) ⃗•((AC) ⃗+(AE) ⃗)=(AB) ⃗•(AC) ⃗+(AB) ⃗•(AE) ⃗.由数量积的几何意义可得,(AB) ⃗•(AC) ⃗的值为|(AB) ⃗|与(AC) ⃗在(AB) ⃗方向上的投影数量的乘积,又(AC) ⃗在(AB) ⃗方向上的投影数量为1/2AB=4,

∴(AB) ⃗•(AC) ⃗=32,同理(AB) ⃗•(AE) ⃗=8×6=48,

∴(AB) ⃗•((AC) ⃗+(AE) ⃗)=32+48=80.故选C.

5.答案　5/4

解析　画出△ABC和外接圆,如图,作MF⊥AC交AC于点F,作ME⊥AB交AB于点E,

(AD) ⃗•(AM) ⃗=1/2((AB) ⃗+(AC) ⃗)•(AM) ⃗

=1/2 (AB) ⃗•(AM) ⃗+1/2 (AC) ⃗•(AM) ⃗

=1/2|(AB) ⃗|•|(AE) ⃗|+1/2|(AC) ⃗|•|(AF) ⃗|

=1/2×1×1/2+1/2×2×1=5/4.

故答案为5/4.

6.解析　(1)∵(CE) ⃗=2(EB) ⃗,∴(BE) ⃗=1/3 (BC) ⃗,

∴(AE) ⃗=(AB) ⃗+(BE) ⃗=(AB) ⃗+1/3 (BC) ⃗

=(AB) ⃗+1/3((AC) ⃗-(AB) ⃗)=2/3 (AB) ⃗+1/3 (AC) ⃗,

∵(DB) ⃗=2(AD) ⃗,∴(AD) ⃗=1/3 (AB) ⃗,

因此,(DE) ⃗=(AE) ⃗-(AD) ⃗=2/3 (AB) ⃗+1/3 (AC) ⃗-1/3 (AB) ⃗

=1/3((AB) ⃗+(AC) ⃗).

(2)∵AB=2,AC=3,∠BAC=60°,

∴(AB) ⃗•(AC) ⃗=2×3×1/2=3,

∴(AE) ⃗•(DE) ⃗= 1/3 (AC) ⃗+2/3 (AB) ⃗ •1/3((AC) ⃗+(AB) ⃗)=1/9 (AC) ⃗^2+2/9 (AB) ⃗^2+1/3 (AC) ⃗•(AB) ⃗=1/9×9+2/9×4+1/3×3=26/9.

7.C　因为(2e1+e2)•e2=0,

所以2e1•e2+e_2^2=0,

由向量数量积的定义可得2|e1|•|e2|•cos<e1,e2>+|e2|2=0,

又e1,e2为单位向量,所以2cos<e1,e2>+1=0,即cos<e1,e2>=-1/2.

由向量夹角的取值范围为[0,π],可得<e1,e2>=120°.故选C.

8.D　由(OC) ⃗=(2√3)/3 (OA) ⃗+√3/3 (OB) ⃗,两边同时平方得(OC) ⃗^2= (2√3)/3 (OA) ⃗+√3/3 (OB) ⃗ 2,

则有3=4+1+2×(2√3)/3 (OA) ⃗•√3/3 (OB) ⃗

=5+2×2cos θ,∴cos θ=-1/2,

又0<θ<π,∴θ=2π/3,故选D.

9.答案　2

解析　如图所示,(BE) ⃗=(BC) ⃗+(CE) ⃗=(AD) ⃗-1/2 (AB) ⃗,

所以(AD) ⃗•(BE) ⃗=(AD) ⃗• (AD) ⃗-1/2 (AB) ⃗

=(AD) ⃗^2-1/2 (AD) ⃗•(AB) ⃗

=1-1/2×1×|(AB) ⃗|×cos 60°=1/2,

解得|(AB) ⃗|=2,故答案为2.

10.答案　 π/3,2π/3

解析　因为|a-2b|∈(2,2√3],

所以(a-2b)2∈(4,12],

即a2+4b2-4a•b=4+4-8cos θ∈(4,12],

所以cos θ∈ -1/2,1/2 ,

又θ∈[0,π],所以θ∈ π/3,2π/3 .

11.解析　(1)∵(AB) ⃗•(BC) ⃗+(AB) ⃗^2=(AB) ⃗•((AB) ⃗+(BC) ⃗)=(AB) ⃗•(AC) ⃗=0,

∴(AB) ⃗⊥(AC) ⃗,即∠A=90°,

∴三角形ABC是直角三角形.

(2)由((MB) ⃗-(MC) ⃗)•((MB) ⃗+(MC) ⃗-2(MA) ⃗)=0,可得(CB) ⃗•((AB) ⃗+(AC) ⃗)=0.

又因为(AB) ⃗-(AC) ⃗=(CB) ⃗,

所以(CB) ⃗•((AB) ⃗+(AC) ⃗)=((AB) ⃗-(AC) ⃗)•((AB) ⃗+(AC) ⃗)=(AB) ⃗^2-(AC) ⃗^2=|(AB) ⃗|2-|(AC) ⃗|2=0,

即|(AB) ⃗|=|(AC) ⃗|,由此可得△ABC是等腰三角形.