北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数3 复数的三角表示本节综合与测试随堂练习题

第五章　复数

*§3　复数的三角表示

基础过关练

题组一　辐角

1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值为(　　)

A.1 B.-1 C.- D.-

2.复数z=2cos +isin 的辐角的主值是　　　　. 

3.已知复数z满足等式=,且arg z=,则z=　　　　. 

4.写出下列复数的辐角的主值.

(1)--i;

(2)-ai(a≠0).

题组二　复数的三角形式

5.下列是复数的三角形式的为(　　)

A.cos -isin  B.-cos +isin

C.sin +icos  D.cos +isin

6.复数z=4cos +isin 在复平面内对应的点在第　　象限. 

7.将复数3cos +isin 化为代数形式为　　　　. 

8.将以下复数表示为三角形式(辐角取主值):

(1)-i;(2)1+i;(3)2sin +icos .

题组三　复数乘除运算的几何意义

9.若复数z的模为2,辐角的主值为,则=(　　)

A.1+i B.1-i C.-i D.+i

10.设复数2-i和3-i的辐角的主值分别为α和β,则α+β等于(　　)

A.135° B.315° C.675° D.585°

11.设π<θ<,则复数的辐角的主值为(　　)

A.2π-3θ B.3θ-2π

C.3θ D.3θ-π

12.计算:cos +isin ·cos +isin =　　　　. 

13.设z=-2(sin 100°-icos 100°),求z3.

14.已知复数z1=-+i,z2=-2cos +isin ,求z1·z2的辐角的主值.

15.计算下列各式:

(1)(cos 36°+isin 36°)-5;

(2)2cos +isin -4.

答案全解全析

第五章　复数

*§3　复数的三角表示

基础过关练

1.B 5.D 9.D 10.C 11.B

1.B　z=(a+i)2=a2-1+2ai,arg z=3π/2,所以{■(a^2 "-" 1=0"," @2a<0"," )┤所以a=-1.

2.答案　3π/4

解析　根据复数的三角形式可知z的辐角的主值是3π/4.

3.答案　1+√3/3i

解析　设z=r cos π/6+isin π/6

=√3/2r+1/2ri(r>0),

则1/2= (z"-" 1)/z =(|√3/2 r"-" 1+1/2 ri|)/("|" z"|" )

=√((√3/2 r"-" 1) ^2+r^2/4)/r,即3r2-4√3r+4=0,

∴r=2/√3,∴z=1+√3/3i.

4.解析　(1)因为r=√("(-" √3 ")" ^2+"(-" 1")" ^2 )=2,所以cos θ=-√3/2,sin θ=-1/2.

又因为θ∈[0,2π),所以复数-√3-i的辐角的主值θ=7π/6.

(2)当a>0时,r=a,cos θ=0,sin θ=-1,复数-ai(a≠0)的辐角的主值θ=3π/2;

当a<0时,r=-a,cos θ=0,sin θ=1,复数-ai(a≠0)的辐角的主值θ=π/2.

5.D　由复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r≥0),可知只有D正确.

6.答案　一

解析　z=4 cos π/3+isin π/3 =4 1/2+√3/2i =2+2√3i,它在复平面内对应的点为(2,2√3),在第一象限.

7.答案　-(3√2)/2+(3√6)/2i

解析　3√2 cos 2π/3+isin 2π/3

=3√2 -1/2+√3/2i =-(3√2)/2+(3√6)/2i.

8.解析　(1)因为r=√("(" √3 ")" ^2+"(-" 1")" ^2 )=2,

cos θ=√3/2,sin θ=-1/2,所以θ=11π/6,

所以√3-i=2 cos 11π/6+isin 11π/6 .

(2)因为r=√(1+1)=√2,cos θ=sin θ=√2/2,所以arg(1+i)=π/4,所以1+i=√2 cos π/4+isin π/4 .

(3)原式=2 cos π/2-π/5 +isin π/2-π/5  =2 cos 3π/10+isin 3π/10 .

9.D　由已知得z=2 cos 2π/3+isin 2π/3 ,

所以z/i=(2(cos" "  2π/3+isin" "  2π/3))/(cos" "  π/2+isin" "  π/2)

=2 cos π/6+isin π/6 =√3+i.

10.C　根据题意有2-i=√5(cos α+isin α),3-i=√10(cos β+isin β),

则√5(cos α+isin α)•√10(cos β+isin β)

=5√2[cos(α+β)+isin(α+β)].

又(2-i)(3-i)=5-5i,

所以cos(α+β)=√2/2,sin(α+β)=-√2/2,

而270°<α<360°,270°<β<360°,

所以α+β=675°.

11.B　(cos2θ+isin2θ)/(cosθ"-" isinθ)=(cos2θ+isin2θ)/(cos"(-" θ")" +isin"(-" θ")" )

=cos 3θ+isin 3θ.

∵π<θ<5π/4,∴3π<3θ<15π/4,∴π<3θ-2π<7π/4,故选B.

12.答案　√3+√3i

解析　√2 cos π/12+isin π/12 •√3 cos π/6+isin π/6 =√6 cos π/4+isin π/4 =√3+√3i.

13.解析　z=-2(sin 100°-icos 100°)

=2(-sin 100°+icos 100°)

=2(cos 190°+isin 190°),

所以z3=8(cos 570°+isin 570°)=-4√3-4i.

14.解析　z1•z2= cos 2π/3+isin 2π/3 •2 cos 12π/7+isin 12π/7

=2 cos 50π/21+isin 50π/21 ,

arg(z1•z2)=50π/21-2π=8π/21.

15.解析　(1)(cos 36°+isin 36°)-5

=1/("(" cos36"°" +isin36"°" ")" ^5 )=1/(cos180"°" +isin180"°" )

=-1.

(2) 2 cos π/3+isin π/3  -4

=1/([2(cos π/3+isin" "  π/3)] ^4 )

=1/(2^4 (cos" "  4π/3+isin" "  4π/3))

=(cos0+isin0)/(16(cos" "  4π/3+isin" "  4π/3))

=1/16 cos -4π/3 +isin -4π/3 

=-1/32+√3/32i.