北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台精练

第六章　立体几何初步

§1　基本立体图形

1.1　构成空间几何体的基本元素

1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

基础过关练

题组一　空间几何体的基本元素

1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是(　　)

A.点 B.线

C.曲面 D.多边形(不包括内部的点)

2.图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是(　　)

A.4,5,3 　　　B.4,5,4

C.4,6,4 　　　D.4,6,3

题组二　棱柱的结构特征

3.(2019安徽合肥高一下期末)下列关于四棱柱的说法:

①四条侧棱互相平行且相等;

②两对相对的侧面互相平行;

③侧棱必与底面垂直.

其中正确的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

4.(2020湖北孝感高一下期末)下列说法中正确的是(　　)

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.四棱柱的底面一定是平行四边形

C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面

D.棱柱的各条棱都相等

5.(2020北京四中高一下期末)下列几何体中,哪些是棱柱?

题组三　棱锥的结构特征

6.(2020陕西西安中学高一期末)某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则①、②、③处的字可能为(　　)

A.快、新、乐 B.乐、新、快

C.新、乐、快 D.乐、快、新

7.(2020福建泉州泉港第一中学高一期中)用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能是 (　　)

A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形

8.判断下列说法的正误,并说明理由.

(1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

(2)正棱锥的侧面是等边三角形;

(3)底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

题组四　棱台的结构特征

9.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离,且各边长度缩短为原来的,则形成的几何体为(　　)

A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体

10.有下列三个说法:

①两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台;

②有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;

③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中正确的有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体ABC-A1EF是什么几何体,并指出它的底面与侧面.

12.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形,各侧棱长均相等,且侧棱长为,求这个四棱台的高.

题组五　多面体中的有关计算

13.一个正三棱锥的底面边长为3,高为,则它的侧棱长为(　　)

A.2 B.2 C.3 D.4

14.一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,夹角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是　　　　. 

15.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(深度解析)

A. B. C. D.

16.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面,则截面的面积为　　　　. 

17.正三棱台的高为3,上、下底面边长分别为2和4,求这个棱台的侧棱长和斜高.

答案全解全析

第六章　立体几何初步

§1　基本立体图形

1.1　构成空间几何体的基本元素

1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

基础过关练

1.D 2.C 3.B 4.C 6.A

7.D 9.C 10.A 13.C 15.C

1.D　空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,只有多边形(不包括内部的点)不属于构成空间几何体的基本元素.

2.C　根据几何体的顶点、棱和面的概念求解.

3.B　根据棱柱的结构特征,知四棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等,故①正确;②不正确,如下图;侧棱垂直于底面的四棱柱叫作直四棱柱,本题说的是“四棱柱”,不一定是“直四棱柱”,所以③不正确.故选B.

4.C　棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;四棱柱的底面是四边形,不一定是平行四边形,所以B不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确;易知C正确.

5.解析　①为三棱柱;②中没有两个面互相平行,不符合棱柱的结构特征,故②不是棱柱;③是平行六面体,为四棱柱;④为棱锥;⑤为棱台.故①③为棱柱.

6.A　易知灯旋转时看到的面依次为②年①③或①年②③,结合选项知A正确.故选A.

7.D　一般情况下,截面与几何体的几个面相交就得到几条交线,截面就是几边形,而四棱锥最多有5个面,所以截面形状不可能是六边形,故选D.

8.解析　(1)错误.根据棱锥的结构特征:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,故此说法是错误的.如图所示的几何体满足此说法,但它不是棱锥,理由是△ADE和△BCF无公共顶点.

(2)错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.

(3)错误.由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD.满足底面BCD为等边三角形,三个侧面ABD,ABC,ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等.

9.C　一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离,各边长度缩短为原来的1/2,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,平移后的多边形与原多边形相似,且相对应的顶点的连线能相交于一点,符合棱台的结构特征,故形成的几何体为棱台,故选C.

10.A　①当两个平行的正方形全等时,不是棱台,故①错;②③可用反例去检验,如图(1)(2)所示,故②③错.

11.解析　∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,

∴(A_1 E)/AB=(A_1 F)/AC=EF/BC=1/2.

∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.

又面A1B1C1与面ABC平行,

∴面A1EF与面ABC平行,

∴几何体ABC-A1EF是三棱台.

其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.

12.解析　由题意可知该四棱台为正四棱台,连接AC,A1C1,过A1作A1E⊥AC于E点(图略),

易知AC=8√2,A1C1=4√2.在△A1EA中,A1A=√17,AE=(8√2 "-" 4√2)/2=2√2,

∴A1E=√(17"-" 8)=3,即这个四棱台的高为3.

13.C　如图所示,正三棱锥S-ABC中,点O为△ABC的中心,SO为正三棱锥的高,则SO=√6,AB=3,易知OA=√3,故在Rt△SOA中,SA=√(SO^2+OA^2 )=√(6+3)=3,即侧棱长为3.

14.答案　3√13和3√21

解析　直平行六面体的体对角线有4条,共2对,分别相等,底面菱形的对角线长分别是6和6√3,由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是√(9^2+6^2 )=3√13、√(9^2+"(" 6√3 ")" ^2 )=3√21.

15.C　如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=√(h^2 "-"  a^2/4),

∴以|PO|为边长的正方形面积为h2-a^2/4,

又正四棱锥的一个侧面三角形的面积为1/2ah,

∴h2-a^2/4=1/2ah,

∴4h2-2ah-a2=0,

两边同除以a2可得4(h/a)^2-2•h/a-1=0,解得h/a=(1±√5)/4,

又∵h/a>0,∴h/a=(√5+1)/4.故选C.

解题关键

利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积,求得底面边长a与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键.

16.答案　1/2a2

解析　不妨连接AC,则截面为△SAC.取AC的中点O,连接SO,则SO⊥AC,如图所示.

∵正四棱锥 S-ABCD的所有棱长都等于a,

∴AC=√2a,SO=√(a^2 "-" (√2/2 a)^2 )=√2/2a,

则△SAC的面积为1/2×√2a×√2/2a=1/2a2.

17.解析　如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,两底面中心分别为O,O1,AB和A1B1的中点分别是E,E1,连接OO1,EE1,O1A1,OA,O1E1,OE,则四边形OAA1O1,四边形OEE1O1都是直角梯形.

在等边△ABC中,AB=4,则OA=(4√3)/3,OE=(2√3)/3.在等边△A1B1C1中,A1B1=2,则O1A1=(2√3)/3,O1E1=√3/3.

在直角梯形OAA1O1中,OO1=3,

所以AA1=√(OO_1^2+"(" OA"-" O_1 A_1 ")" ^2 )

=√(3^2+((4√3)/3 "-"  (2√3)/3)^2 )=√93/3,

即棱台的侧棱长为√93/3.

在直角梯形OEE1O1中,

EE1=√(OO_1^2+"(" OE"-" O_1 E_1 ")" ^2 )

=√(3^2+((2√3)/3 "-"  √3/3)^2 )=(2√21)/3,

即棱台的斜高为(2√21)/3.