高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试课后复习题

专题强化练1　扇形弧长或面积公式的应用

一、单项选择题

1.(★★☆)已知扇形的周长为12 cm,圆心角为4 rad,则此扇形的弧长为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.4 cm        B.6 cm      C.8 cm       D.10 cm

2.(★★☆)若扇形的周长是面积的4倍,则该扇形的面积的最小值为(　　)

A.4           B.3         C.2          D.1

3.(★★☆)如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=(　　)

A.          B.        C.          D.1

4.(★★☆)已知扇形的周长为C,当该扇形面积取得最大值时,圆心角为(　　)

A. rad     B.1 rad     C. rad      D.2 rad

二、填空题

5.(★★☆)如图，分别以边长为1的正方形ABCD的

顶点B,C为圆心,1为半径作圆弧AC,BD,两弧交于

点E,则曲边三角形ABE的周长为　　　　. 

6.(★★☆)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　　　　 cm2. 

三、解答题

7.(★★☆)某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角∠AOB=,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图,其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点A,B分别建有监测站,A与B之间的直线距离为100海里.求海域ABCD的面积.

8.(★★☆)已知扇形的圆心角为α,弧长为l,所在圆的半径为r.

(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;

(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C　由题意,设扇形所在圆的半径为R,则扇形的弧长为l=4R,

所以l+2R=4R+2R=6R=12,

解得R=2,所以扇形的弧长为l=4×2=8(cm).

2.   D　设扇形所在圆的半径为r,弧长为l,

则4×rl=2r+l,2rl=2r+l≥2,≥,rl≥2,rl≥1,

所以该扇形的面积的最小值为1,故选D.

3.B　∵正八边形的内角和为α1=(8-2)×180°=6×180°=1 080°=6π,

∴正八边形外侧八个扇形(题图中阴影部分)的内角和为α2=360°×8-1 080°=2 880°-1 080°=

1 800°=10π,

设题图中等圆的半径为r,

∴ = = =.

4.D　设扇形的圆心角大小为α rad,半径为r,

则扇形的周长C=2r+αr,得到r=,且0<α<2π,

∴S扇形=αr2=α= = ,

2α+ ≥2 =8,当且仅当2α=,即α=2(负值舍去)时,等号成立,

此时S扇形取得最大值,对应的圆心角α=2 rad.

二、填空题

5.答案　1+

解析　连接BE,CE.因为两圆弧半径都是1,正方形边长也是1,

所以△BCE为正三角形,圆心角∠EBC,∠ECB都是,

弧长BE=×1=,∠EBA=-=,弧长AE=×1=,

所以曲边三角形ABE的周长为1++=1+.

6.答案　

解析　由题设可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=60°,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故空白图形AC'B'的面积为S1=-,而扇形C'OC和Rt△BOC的面积和为S2=××+=+,由此可得空白图形的面积为S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,

所以所求阴影部分的面积为-=(cm2).

三、解答题

7.解析　∵∠AOB=,在海岸线外侧20海里内为海域ABCD,AB=100,

∴AD=BC=20,OA=OB=AB=100,

∴OD=OA+AD=100+20=120,

∴S海域ABCD=××(OD2-OA2)

=π×(1202-1002)=(平方海里).

8.解析　(1)∵α=120°=120×=,r=6,

∴扇形的弧长l=α·r=×6=4π.

(2)由题知l+2r=24,即l=24-2r(0<r<12),扇形的面积S=l·r=(24-2r)·r=-r2+12r=-(r-6)2+36,

∴当且仅当r=6时,S有最大值36,此时l=24-2×6=12,∴α===2.