2021学年第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试课后复习题

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.计算:sin 17°sin 223°+cos 17°cos(-43°)=(　　)　　　　　　　　

A.-    B.      C.-       D.

2.设单位向量a=,则cos 2α的值为(　　)

A.       B.-    C.-      D.

3.函数y=2cos2 -1是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数

4.函数y=·cos-sin在一个周期内的图像是(　　)

5.2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin-cos=(　　)

A.      B.       C.        D.

6.若向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为(　　)

A.等腰非直角三角形      B.等边三角形

C.直角非等腰三角形       D.等腰直角三角形

7.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为(　　)

A.     B.      C.      D.

8.设||=2,||=1,·=0,=λ+μ,且λ+μ=1,则向量在上的投影的数量的取值范围是(　　)

A.         B.

C.            D.

9.已知函数f(x)=2sincos+2cos2x-,若x1,x2∈[-2π,2π],且满足f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4,则x1-2x2的最大值为(　　)

A.        B.       C.       D.

10.已知在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AD=1,AB=2,点E为边CD上的动点,则·的最小值为(　　)

A.        B.-       C.         D.

二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

11.下列命题中正确的是(　　)

A.非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°

B.若a·b>0,则a, b的夹角为锐角

C.若=·+·+·,则△ABC一定是直角三角形

D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影的数量为

12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,则(　　)

A.函数f(x)在区间上为增函数

B.直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴

C.函数f(x)的图像可由函数y=sin 2x的图像向右平移个单位得到

D.对任意x∈R,恒有f+f(-x)=-1

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(1,-cos θ),若a·b=0,则tan θ=　　　　. 

14.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=1,且|a-4b|≤,则a·b的最小值为　　　　. 

15.函数f(x)=sin x+cos x在[0,π]上的单调递减区间为　　　　. 

16.已知函数f(x)=cos2 +sin x-,则函数f(x)的最小正周期为　　　　;若f(α)=,则sin=　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知A,B,C是△ABC的内角,cos A=,sin B=,求cos(A-B).

18.(12分)已知同一平面上的三个向量a,b,c,其中a=(1,2).

(1)若|c|=2,且a∥c,求c的坐标;

(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(2a-b),求a与b的夹角的余弦值.

19.(12分)已知函数f(x)=sin+sin+cos x.

(1)求函数f(x)的最大值;

(2)若f=-,当<x<时,求的值.

20.(12分)已知O为坐标原点,=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),若f(x)=·+2.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)当x∈时,若方程f(x)+m=0有实数根,求实数m的取值范围.

21.(12分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在x=处取得最大值2,其图像与x轴的相邻的两个交点的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=的值域.

22.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.

(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;

(2)若x∈R,求·的最大值及对应的x值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　原式=sin 17°(-sin 43°)+cos 17°cos 43°=cos(43°+17°)=cos 60°=.故选B.

2.A　∵|a|==1,∴sin2α=,∴cos 2α=1-2sin2α=.故选A.

3.B　y=2cos2x--1=cos 2x-=cos(2x-π)=-cos 2x,

故函数y=2cos2 x--1是最小正周期为π的偶函数.故选B.

4.B　∵函数y=cosx++sinx+·cosx+-sinx+

=cos2x+-sin2x+

=cos2x+=-sin 2x,

∴最小正周期为π,且函数图像与函数y=sin 2x的图像关于x轴对称,

∴满足条件的只有选项B.故选B.

5.B　根据大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,

可得每个直角三角形的面积为(25-1)÷4=6.

设三角形的两条直角边长分别为a,b,

则有ab=6,又a2+b2=52,

联立得解得

或(负值舍去)

所以cos θ=,sin θ=,

所以sinθ+-cosθ-=cos θ-cos θ-sin θ=cos θ-sin θ=×-×=.故选B.

6.C　∵=(4,-3),=(2,-4),

∴=-=(-2,-1),

∴·=(2,1)·(-2,4)=0,

∴∠C=90°.

又||=,||=2,||≠||,

∴△ABC是直角非等腰三角形.

7.C　∵(a+2b)·(5a-4b)=5a2+6a·b-8b2=0,|a|=|b|=1,∴6a·b=3,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.故选C.

8.C　因为·=0,所以⊥.

因为||=2,||=1,所以||=.

因为=λ+μ,且λ+μ=1,所以P、A、B三点共线.当⊥时,||=,

此时过点O作共线的向量,当⊥时,易得||=||=,

从而||=,所以当点P沿的方向无限远离点B时,在上的投影的数量无限趋近于-.

当点P与点A重合时,投影的数量最大为2.

故向量在上的投影的数量的取值范围为.

9.B　由三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式,化简得f(x)=2sin,

所以f(x)∈[-2,2].

由f(x1)+f(x2)<0, f(x1)·f(x2)≥4,

得f(x1)=f(x2)=-2.

当f(x)=2sin=-2时,

2x+=2kπ+(k∈Z),

解得x=+kπ(k∈Z).

由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2∈,

则(x1-2x2)max=(x1)max-2(x2)min=-2×=,所以x1-2x2的最大值为.故选B.

10. C　如图所示,以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.作BN⊥x轴于点N,BM⊥y轴于点M.∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AD=1,AB=2,

∴AN=ABcos 60°=1,DM=BN=ABsin 60°=,

∴DN=1+1=2,∴BM=2,

∴CM=BMtan 30°=,

∴DC=DM+CM=,

∴A(1,0),B(2,),C.

设E(0,m),0≤m≤,

∴=(-1,m),=(-2,m-),

∴·=2+m2-m=+,

当m=时,·取得最小值.故选C.

二、多项选择题

11.ACD　对于A,由向量减法法则及题意知,向量a,b,a-b可以组成一个等边三角形,向量a,b的夹角为60°,又由向量加法的平行四边形法则知,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,所以a与a+b的夹角为30°,故选项A中说法正确;对于B,当a=b≠0时,不成立,故选项B中说法错误;对于C,因为=·+·+·,所以=·(-)-·=·(-)-·=·-·,所以·=0,即⊥,所以△ABC是直角三角形,故选项C中说法正确;对于D,作图如下,其中四边形ABCD为平行四边形,因为+=2,所以O为AD、BC的交点,又||=||=||,所以三角形AOC为等边三角形,所以∠ACB=60°,且BC为外接圆的直径,所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中,BC=2,AC=1,所以AB=,则向量在向量方向上的投影的数量为||cos∠ABC=×=.故选项D中说法正确.故选ACD.

12.ABD　f(x)=sin 2x-

=sin2x--.当x∈时,2x-∈,函数f(x)为增函数,故A中说法正确;令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,显然直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴,故B中说法正确;函数y=·sin 2x的图像向右平移个单位得到函数y=·sin=sin2x-的图像,故C中说法错误;f+f(-x)=sin2x+-+sin-2x--=sin2x+-sin2x+-1=-1,故D中说法正确.故选ABD.

三、填空题

13.答案　

解析　∵a·b=(sin 2θ,cos θ)·(1,-cos θ)=sin 2θ-cos2θ=2sin θcos θ-cos2θ=0,

∴2sin θcos θ=cos2θ.

∵0<θ<,∴cos θ>0,

∴2tan θ=1,∴tan θ=.

14.答案　

解析　|a-4b|==≤,∴≤a·b≤,即a·b的最小值为.

15.答案　

解析　由题得f(x)=2sin,由2kπ+≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z).令k=0,则≤x≤π.

∵x∈[0,π],

∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.

16.答案　2π;-

解析　由题知f(x)=×+sin x-=sin x+cos x=sin.

∴f(x)的最小正周期为2π.

∵f(α)=,∴sin=,

∴cos=1-2sin2=.

又∵2α+=+,

∴sin=sin

=-cos=-.

四、解答题

17.解析　∵在△ABC中,cos A=,

∴sin A=,A为锐角.

∵sin B=,∴sin A>sin B,

∴A>B,∴B为锐角,∴cos B=.

∴cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B

=×+×=.

18.解析　(1)设c=(x,y),由题意得解得或

所以c=(2,4)或c=(-2,-4).

(2)设a与b的夹角为θ,由(a+2b)⊥(2a-b),知(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,

所以a·b=(b2-a2)=,

所以cos θ===.

19.解析　(1)f(x)=sin xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cos x

=2sin xcos+cos x=sin x+cos x

=sin.

∴函数f(x)的最大值为.

(2)∵f=sin,

∴sin=-,∴sin=-,sin x-cos x=-,

∴sin x-cos x=-,

∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,∴2sin xcos x=,

∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=.

当<x<时,sin x+cos x<0,∴sin x+cos x=-,

∴====.

20.解析　(1)∵=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),

∴f(x)=·+2=2cos xsin x+2cos2x-+2=sin 2x+cos 2x+2

=2sin+2.

令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

所以f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).

(2)∵x∈,∴2x+∈,

∴-<sin2x+≤1,

∴f(x)∈(-+2,4].

∵当x∈0,时,方程f(x)+m=0有实数根,∴m∈[-4,-2).

21.解析　(1)由题意可得f(x)max=A=2,=,即T=π,所以ω===2,

故f(x)=2sin(2x+φ),

由f(x)在x=处取得最大值2,可得2×+φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z),

又|φ|<π,所以φ=,

因此函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.

(2)由(1)可得f=2sin2++=2sin=2cos x,

故g(x)=

=

==

=cos2x+1,

则cos2x∈∪,

从而g(x)∈∪,

故函数g(x)的值域为∪.

22.解析　(1)因为点D为线段OA上的动点,且A(1,0),所以设点D(t,0)(0≤t≤1),又||=1,且∠AOC=x=,所以C,

所以+=,

所以|+|==(0≤t≤1),

所以当t=时,|+|取最小值.

(2)因为点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,

所以C(cos x,sin x),=(cos x+1,sin x),=(cos x,sin x),

所以·=(cos x+1,sin x)·(cos x,sin x)=cos2x+cos x+sin2x=1+cos x.

因为x∈R,所以-1≤cos x≤1,

所以当x=2kπ(k∈Z)时,cos x取得最大值1,

所以·的最大值为2,此时x=2kπ(k∈Z).