高中人教B版 (2019)第九章 解三角形本章综合与测试练习

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式中成立的是(　　)

A.asin B=bsin A     B.c=

C.=          D.a+b-c=sin A+sin B-sin C

2.在△ABC中,a=3,b=2,A=60°,则tan B=(　　)

A.         B.     C.      D.

3.我舰在岛A处南偏西50°方向的B处,且A,B距离为12千米,发现敌舰正离开岛A沿北偏西10°的方向以每小时10千米的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为(　　)

A.28千米/时       B.14千米/时

C.14千米/时    D.20千米/时

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(π-C)-ccos(π+B)=0,则tan B=(　　)

A.    B.    C.-     D.-

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC外接圆的面积为(　　)

A.4π    B.8π   C.9π     D.36π

6.为测出所住小区的面积,某人进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则该小区的面积是(　　)

A. km2   B. km2   C. km2   D. km2

7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S表示三角形的面积,若asin A+bsin B=csin C,S=(a2+c2-b2),则△ABC的形状是(　　)

A.直角三角形       B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形

8.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2=2c2,如果c=2,那么△ABC的面积等于(　　)

A.tan A   B.tan B    C.tan C      D.以上都不对

9.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,且B=2A,则cos 2A的值等于(　　)

A.       B.-    C.     D.-

10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)=3sin Bsin C,且a=2,则△ABC的面积的最大值是(　　)

A.    B.    C.2      D.4

二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a,b,c满足a≤(b+c),那么下列结论中正确的是(　　)

A.sin A≤(sin B+sin C)   B.△ABC不可能是直角三角形

C.角A一定是锐角          D.角A一定是钝角

12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2C=tan A(2sin2C+cos C-2),则下列结论中错误的是(　　)

A.△ABC可能是直角三角形

B.角B可能是钝角

C.必有A=2B

D.可能有a=2b

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知△ABC中,AB=,BC=1,sin B+cos B=0,则△ABC的面积为　　　　. 

14.在△ABC中,B=120°,AB=,∠BAC的平分线AD=,则AC=　　　　. 

15.如图所示,飞机的航线和山顶在同一铅垂面内,若飞机的高度为18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度约为　　　　(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732). 

16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=,则b2+c2的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且=.

(1)求角C的大小;

(2)若c=,且△ABC的面积为,求a2+b2的值.

18.(本小题满分12分)已知在△ABC中,B=45°,点N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=,MN=.

(1)求A;(2)求BM.

19.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+-=.

(1)求角B;

(2)若△ABC的面积为,其外接圆半径为,且c>a,求c.

20.(本小题满分12分)如图所示,某景区内景点D位于景点A的北偏东30°方向上,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上.已知AB=5 km,AD=8 km.

(1)求景点B与景点D之间的距离;

(2)求景点C与景点D之间的距离.

(结果精确到0.1 km)

21.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a+b+c=8.

(1)若a=2,b=,求cos C的值;

(2)若sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.

22.(本小题满分12分)如图所示,某旅游景区内有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花两个小时的时间进行徒步攀登,已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1 km,AC=3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米,请问:两位登山爱好者能否在两个小时内登上山峰(即从B点出发到达C点)?

答案全解全析

一、单项选择题

1.A　由正弦定理可得=,所以asin B=bsin A必成立.

2.C　由正弦定理得=,所以sin B==,因为a>b,A=60°,所以B为锐角,故cos B==,故tan B==.

3.B　如图,设我舰在C处追上敌舰,速度大小为v千米/时,在△ABC中,AC=10×2=20(千米),AB=12千米,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784,则BC=28千米,故v=14千米/时.

4.D　由已知得bsin C+ccos B=0,即sin Bsin C+sin Ccos B=0,因为sin C≠0,所以sin B+cos B=0,故tan B=-.

5.C　设△ABC外接圆的半径为R,由题意及余弦定理的推论得b·+a·=2,即=2,整理得c=2,由cos C=得sin C=,再由正弦定理可得2R==6,所以△ABC外接圆的面积为πR2=9π.

6.D　连接AC,根据余弦定理可得AC= km,故△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,∠BAC=30°,故△ADC为等腰三角形,设AD=DC=x km,易得∠ADC=150°,根据余弦定理得x2+x2+x2=3,即x2==6-3,所以小区的面积为×1×+×(6-3)×==(km2).

7.D　由asin A+bsin B=csin C得a2+b2=c2,所以三角形ABC是直角三角形.又由三角形的面积公式得acsin B=(a2+c2-b2),即acsin B=×2accos B,因此B=45°,故△ABC是等腰直角三角形.

8.C　由已知得a2+b2=8,又由余弦定理的推论得cos C===,所以△ABC的面积S=absin C=··sin C=tan C.

9.A　因为a=b,所以sin A=sin B,即sin A=sin 2A=sin Acos A,因为sin A≠0,所以cos A=,故cos 2A=2cos2A-1=.

10.B　因为sin(B+C)=sin A,且(sin B+sin C)2-sin2(B+C)=3sin Bsin C,所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得cos A==,所以sin A=,又a=2,所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4(当且仅当b=c=2时,等号成立),故S△ABC=bcsin A≤×4×=,即△ABC的面积的最大值为.

二、多项选择题

11.AC　由正弦定理结合已知条件易知A选项正确;当△ABC是直角三角形且a是较短的直角边时,a≤(b+c)成立,故B选项错误;将不等式两边平方得a2≤,利用余弦定理的推论得,cos A=≥=≥=(当且仅当b=c时,等号成立),因为A为三角形的内角,所以0°<A<60°,A一定是锐角,故C选项正确;D选项错误.

12.BC　依题意得2sin Ccos C=(2-2cos2C+cos C-2)=·cos C·(1-2cos C),整理得cos C·[2(sin Acos C+cos Asin C)-sin A]=0,即cos C·(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或sin A=2sin B.因此当cos C=0时,△ABC是直角三角形,故A选项正确;

而当sin A=2sin B时,由正弦定理可得a=2b,因此选项D正确;选项C错误;无论是cos C=0还是sin A=2sin B,均可得角B为锐角,故B错误.故选BC.

三、填空题

13.答案　

解析　由sin B+cos B=0可得tan B=-,所以B=120°,于是△ABC的面积为S=·AB·BC·sin B=××1×sin 120°=.

14.答案　

解析　在△ABD中,由正弦定理,得=,∴sin∠ADB=,

∴∠ADB=45°.∴∠BAD=180°-45°-120°=15°,

∴∠BAC=30°,C=30°,∴BC=AB=.

在△ABC中,由正弦定理,得=,∴AC=.

15.答案　6.6 km

解析　因为AB=1 000×=,C=75°-30°=45°,所以BC=·sin 30°=,因此山顶到航线的距离d=×sin 75°=≈11.4,所以山顶的海拔高度约18-11.4=6.6(km).

16.答案　(3,6]

解析　由正弦定理可得===2,所以b=2sin B,c=2sin C,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos 2B+1-cos 2C)=4-2cos 2B-2cos 2C=4-2cos[(B+C)+(B-C)]-2cos[(B+C)-(B-C)]=4-4cos(B+C)·cos(B-C)=4+4cos Acos=4+2cos.又0<B<,则-<2B-<,即-1<2cos≤2,所以3<4+2cos≤6,即b2+c2的取值范围是(3,6].

四、解答题

17.解析　(1)∵==,∴sin C=.

∵△ABC是锐角三角形,∴C=.

(2)由题意可得,S△ABC=absin C=,∵C=,∴ab=6.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =7,∴a2+b2=13.

18.解析　(1)如图所示,因为点N是AC边的中点,且MN⊥AC,所以MC=MA.

在Rt△AMN中,MA==,所以MC=.

在△MBC中,由正弦定理可得=,而∠BMC=2A,

所以=,即=,所以cos A=,故A=60°.

(2)由(1)知MC=MA==2,∠BMC=2A=120°.

在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,

所以()2=BM2+22-2BM×2×cos 120°,

解得BM=-1(BM=--1舍去).

19.解析　(1)在△ABC中,由余弦定理的推论,得=2cos B,

所以+-=+-==,于是=,

由正弦定理,得==.

又因为A+C=π-B,所以2cos Bsin B=sin B,

又sin B≠0,所以cos B=.由于B∈(0,π),故B=.

(2)由题意,得=2,所以b=3.

由△ABC的面积为,得acsin B=ac=,因此ac=6.

由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2-6=9,所以a2+c2=15.

所以解得或

又c>a,所以a=,c=2.

20.解析　(1)设BD=x km,则在△ABD中,由余弦定理得52=82+x2-2×8xcos 30°,即x2-8x+39=0,解得x=4±3.因为4+3>8,应舍去,所以x=4-3≈3.9,即景点B与景点D之间的距离约为3.9 km.

(2)在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin∠ABD=sin∠CBD=·sin∠ADB==0.8,所以cos∠CBD=0.6.在△CBD中,sin∠DCB=sin(∠CBD+∠BDC)=sin(∠CBD+75°)=0.8×0.26+0.6×0.97≈0.79,由正弦定理得CD=sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.

21.解析　(1)由题意可知,c=8-(a+b)=.

由余弦定理的推论得cos C===-.

(2)由sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C可得,

sin A·+sin B·=2sin C,

化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.

因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,

所以sin A+sin B=3sin C,

由正弦定理可知a+b=3c,

又因为a+b+c=8,所以a+b=6①.

由于S=absin C=sin C,所以ab=9②,

由①②可得a=3,b=3.

22.解析　在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1 km,

由正弦定理得=,解得AD= km.

在△ACD中,由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 150°,得9=3+CD2+2×CD,

即CD2+3CD-6=0,解得CD=(负值舍去),

BC=BD+CD= km,

小王和小李在两个小时内可徒步攀登1 250×2=2 500米,即2.5千米,

而<==2.5,

所以两位登山爱好者可以在两个小时内登上山峰.