高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数本章综合与测试课后作业题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对纯虚数的概念把握不准而出错

1.(★★☆)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为(　　)

A.2 B.-2   C.-   D.

2.(★★☆)实数m取何值时,复数z=+(m2+5m+6)i是纯虚数?

易错点2　混淆实数的绝对值与复数的模而出错

3.(★★☆)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点的轨迹是(　　)

A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆

4.(★★★)在复数范围内求方程x2-5+6=0的解.

易错点3　不会运用复数的四则混合运算法则而出错

5.(★★☆)计算:(1)+(5+i)2-;

(2);

(3)-.

易错点4　对于复数及其运算的几何意义理解不透彻而出错

6.(★★☆)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为(　　)

A.1+i B.-1+i  C.-1-i D.-1±i

7.(★★★)在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.

易错点5　不考虑一元二次方程的求根公式的条件而出错

8.(★★☆)当m∈R时,方程(1-i)x2+mx-(1+i)=0有(　　)

A.两个不等实数根     B.一对共轭虚数根

C.两个非共轭虚数根  D.一个实数根和一个虚数根

9.(★★★)已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.

思想方法练

FL(H4-DK6mm〗一、函数与方程思想在复数中的应用

1.(★★☆)关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是　　　　　.  

2.(★★★)已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,求复数z的模的最小值.

二、数形结合思想在复数中的应用

3.(★★☆)若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点Z在(　　)

A.实轴上  B.虚轴上   C.第一象限  D.第二象限

4.(★★★)已知i为虚数单位,如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(　　)

A.1 B.   C.2 D.

5.(★★☆)如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好为平行四边形的四个顶点,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则zA-zC=　　　　. 

三、整体思想在复数中的应用

6.(★★☆)若ω=-+i,计算+.

7.(★★☆)如果虚数z满足z3=8,求z3+z2+2z+2的值.

四、分类讨论思想在复数中的应用

8.(★★☆)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(　　)

A.a=-1 B.a≠-1且a≠2   C.a≠-1 D.a≠2

9.(★★★)设方程x2-2x+k=0的根分别为α、β,且|α-β|=2,求实数k的值.

五、转化与化归思想在复数中的应用

10.(★★☆)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(　　)

A.-2 B.4 C.-6 D.6

11.(★★☆)已知复数z满足方程z-3i·=1+3i,求复数z.

答案全解全析

易混易错练

1.A　==,由于该复数为纯虚数,所以2-a=0且2a+1≠0,所以a=2.

2.解析　因为复数z是纯虚数,所以实部为0,虚部不为0,即=0且m2+5m+6≠0,解得m=1.故当m=1时,复数z是纯虚数.

3.A　由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,∵|z|≥0,∴|z|=3,故复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆.

4.解析　因为x∈C,所以设x=a+bi(a,b∈R),代入方程得(a+bi)2-5+6=0,

所以解得或所以原方程有6个解,分别为i,-i,2,-2,3,-3.

5.解析　(1)+(5+i)2-

=+(25+10i-1)-

=i+24+10i-i=24+10i.

(2)原式=

==

=(2i)2i=-4i.

(3)-

=[(1+2i)·(i2)50+(-i)5]2-i10

=(1+2i-i)2-i10

=(1+i)2-i10=1+2i.

6.D　设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a,b),根据题意可画图形如图所示,

∵|z|=2,且与实轴正方向的夹角为120°,∴a=-1,b=±,

即点Z的坐标为(-1,)或(-1,-).

∴z=-1+i或z=-1-i.

7.解析　由复数减法的几何意义,得

对应的复数为z3-z1,

对应的复数为z2-z1,

对应的复数为z4-z1,

根据向量的平行四边形法则,得=+,

所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),

所以z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,

所以AD的长为||=|z4-z1|

=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.

8.C　解法一:令m=0,则x2==i,所以x=+i或x=--i,排除A、B、D.故选C.

解法二:设x=a+bi,a,b∈R,则(1-i)(a+bi)2+m(a+bi)-(1+i)=0,所以a2-b2+2ab+ma-1+i(b2-a2+2ab+mb-1)=0,由复数相等的定义得a2-b2+2ab+ma-1=0,b2-a2+2ab+mb-1=0,解得a=b=,所以方程的根为(1+i),所以A、B、D错误,C正确.

9.解析　由z1-4=(3-2z1)i,得z1(1+2i)=4+3i,所以z1==2-i,所以z=+|-i|=3+i.

若实系数一元二次方程有虚数根z=3+i,

则必有共轭虚数根=3-i.

因为z+=6,z=10,

所以所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.

思想方法练

1.答案　z=4+3i

解析　设z=x+yi(x,y∈R),则+2x+2yi=13+6i,于是

解得或

因为13-2x≥0,所以x≤,

故x=舍去,故z=4+3i.

2.解析　设x∈R,且x≠0,则

z=-=--i,

|z|=

=≥3,

当且仅当x2=,

即x=±时取等号,

故|z|min=3.

3.B　∵|z-1|=|z+1|,∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线,即虚轴上.故选B.

4.A　设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为线段Z1Z2(包括端点),如图所示.

问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于点Z0,则Z3与Z0之间的距离即为所求的最小值,即|Z0Z3|=1.故选A.

5.答案　2-4i

解析　因为+=,所以4+ai+(a+bi)=6+8i.

因为a,b∈R,所以解得

所以zA=4+2i,zC=2+6i,所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.

6.解析　由ω=-+i,得ω2=--i,ω3=1,

所以原式=+=(-i)6·+(-i)6·

=i6[ω6+(ω2)6]=-2.

7.解析　因为z3=8,所以(z-2)(z2+2z+4)=0,

因为z是虚数,所以z≠2,所以z2+2z+4=0,即z2+2z+2=-2.故z3+z2+2z+2=8-2=6.

8.C　①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2.

②当a2-a-2=0且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得a=2.

综上,当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.

9.解析　对于方程x2-2x+k=0,有Δ=4-4k.

当Δ≥0,即k≤1时,方程有两个实数根,

∴|α-β|===2,解得k=-1;

当Δ<0,即k>1时,方程有两个虚数根,即

α=1+i,β=1-i,∴|α-β|=|2i|=2=2,

解得k=3.综上,实数k的值为-1或3.

10.C　因为复数===+i是纯虚数,所以=0且≠0,解得a=-6.

11.解析　设z=x+yi(x,y∈R),则方程可化为(x-3y)+(y-3x)i=1+3i.

由复数相等的定义,得

解得所以z=--i.