高中人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步本章综合与测试一课一练

本章复习提升

易混易错练

易错点1　不能正确分析空间几何体的结构致错

1.(★★☆)已知正四面体ABCD的表面积为S,四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH的表面积为T,则等于(　　)

A. B. C. D.

2.(★★☆)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的几何体的底面半径为　　　　. 

3.(★★★)如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为D,H,G,若将△ABC绕AD所在直线旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.

易错点2　平面几何知识与立体几何知识相混淆

4.(★★☆)如图所示,在多面体A1B1D1-DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于点F.证明:EF∥B1C.

5.(★★☆)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.

证明:Q为BB1的中点.

易错点3　忽略判定定理或性质定理的必备条件致错

6.(★★☆)已知平面α∥平面β,AB、CD是夹在α、β间的两条线段,A、C在α内,B、D在β内,点E、F分别在AB、CD上,且AE∶EB=CF∶FD=m∶n.求证:EF∥平面α.

7.(★★★)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

(1)求证:C1C⊥BD;

(2)当的值为多少时,可使A1C⊥平面C1BD?

易错点4　判断线面、面面位置关系时依赖图形致错

8.(★★☆)如图,已知ABCD-A1B1C1D1为长方体,且底面ABCD为正方形,试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?

9.(★★☆)如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,点E为垂足.

(1)求证:PA⊥平面ABC;

(2)当点E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

易错点5　对有关平行、垂直的概念和定理理解不透彻致错

10.(★★☆)已知两个平面垂直,给出下列命题:

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;

③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;

④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确命题的个数是(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

思想方法练

一、函数与方程思想在求表面积、体积中的应用

1.(2018湖北八校高三第一次联考,★★☆)如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D,E分别为AB,BB'上的点,且=.

(1)当D为AB的中点时,求证:A'B⊥CE;

(2)当D在线段AB上运动时(不含端点),求三棱锥A'-CDE体积的最小值.

2.(★★☆)把一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与等腰三角形的底边边长x的函数关系式,并求出函数的定义域.

二、转化与化归思想在求体积或距离中的应用

3.(★★☆)如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB垂直于平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.

4.(★★☆)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.

5.(★★☆)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求点A到平面A1BD的距离d.

三、函数与方程思想在立体几何中的应用

6.(2017河北定州中学高一月考,★★☆)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点M为A1C1的中点,点N为AB1上一动点.

(1)是否存在点N,使得线段MN∥平面BB1C1C?若存在,指出点N的位置,若不存在,请说明理由;

(2)若点N为AB1的中点,且CM⊥MN,求三棱锥M-NAC的体积.

四、转化与化归思想在平行关系中的应用

7.(2018辽宁沈阳教学质量监测,★★☆)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.

(1)求证:BM∥平面PAD;

(2)若AD=2,PD=3,∠BAD=60°,求三棱锥P-ADM的体积.

五、转化与化归思想在空间垂直关系中的应用

8.(2018陕西西安八校高三联考,★★☆)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点为M,已知PA=AB=4,AD=CD,∠CDA=120°,N是CD的中点.

(1)求证:平面PMN⊥平面PAB;

(2)求点M到平面PBC的距离.

9.(★★☆)如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证:EF⊥PC.

答案全解全析

易混易错练

1.A　设正四面体ABCD的棱长为a,如图所示.

则EF=MN=BD=a,所以=.故选A.

2.答案　

解析　底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4+π×22×8=.

设新的圆锥和圆柱的底面半径为r,则π×r2×4+π×r2×8=r2=,解得r=.

3.解析　所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的.

由题意得,BD=DC=2,AB=AC=4,HD=DG=1,EH=FG=.

∵S锥表=π·BD2+π·BD·AB=4π+8π=12π,S柱侧=2π·DG·FG=2π,

∴所求几何体的表面积S=S锥表+S柱侧=12π+2π=2(6+)π.

∵V圆锥=π×BD2×AD=π×22×2=π,V圆柱=π×HD2×EH=π×12×=π,

∴所求几何体的体积V=V圆锥-V圆柱=π-π=π.

4.证明　由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE,于是B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.

5.证明　因为BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,所以平面QBC∥平面A1AD.

从而平面α与这两个平面的交线互相平行,即QC∥A1D.

又BC∥AD,BB1∥AA1,所以△QBC∽△A1AD.所以===,即Q为BB1的中点.

6.证明　(1)当AB,CD共面时(如图①),连接AC,BD.

因为平面α∥平面β,所以AC∥BD.因为AE∶EB=CF∶FD,

所以EF∥AC∥BD且EF在平面α外.因为AC⊂平面α,所以EF∥平面α.

(2)当AB,CD异面时(如图②),过点A作AH∥CD交β于点H,连接BH,DH,AC,BD.

在AH上取点G,使AG∶GH=m∶n,连接GF,GE,EF,由(1)可得FG∥HD.

因为AG∶GH=AE∶EB,所以EG∥BH,所以平面EFG∥平面β∥平面α.

又因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面α.

7.解析　(1)证明:如图,连接A1C1,AC,设AC和BD交于点O,连接C1O.

∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD.

又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C是公共边,∴△C1BC≌△C1DC,∴C1B=C1D.

∵DO=OB,∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O=O,∴BD⊥平面ACC1A1.

又∵C1C⊂平面ACC1A1,∴C1C⊥BD.

(2)当=1时,可使A1C⊥平面C1BD.理由如下:

由(1)知BD⊥平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1C.

当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形.同理,可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.故=1时,A1C⊥平面C1BD.

8.解析　垂直.因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.

因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥BB1.

又BD∩BB1=B,故AC⊥对角面BB1D1D.

又AC⊂截面ACB1,所以截面ACB1⊥对角面BB1D1D.

9.证明　(1)如图,在平面ABC内任取一点D,作DG⊥AB于点G,作DF⊥AC于点F.

∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.

∵PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.

∵DG,DF⊂平面ABC,且DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.

(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.∵点E是△PBC的垂心,∴PC⊥BE.

又AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,∴PC⊥AE.∵AE∩BE=E,∴PC⊥平面ABE.

又AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,

∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.

10.C　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1D1D⊥平面ABCD.

对于①,AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,且夹角为60°,故①错误;②显然正确;

对于③,AD1⊂平面AA1D1D,但AD1不垂直于平面ABCD,故③错误;

对于④,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,DC1过平面AA1D1D内一点D,AD⊥DC1,但DC1不垂直于平面ABCD,故④错误.所以正确命题的个数是1.

思想方法练

1.解析　(1)证明:因为D为AB的中点,=,所以E为B'B的中点.

因为三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,AA'=AB=6,所以四边形ABB'A'为正方形,所以DE⊥A'B.

因为AC=BC,D为AB的中点,所以CD⊥AB.因为平面ABB'A'⊥平面ABC,

且平面ABB'A'∩平面ABC=AB,所以CD⊥平面ABB'A',

又A'B⊂平面ABB'A',所以CD⊥A'B.因为CD∩DE=D,所以A'B⊥平面CDE,

又CE⊂平面CDE,所以A'B⊥CE.

(2)设AD=x(0<x<6),则BE=x,DB=6-x,B'E=6-x.

由已知可得,点C到平面A'DE的距离即△ABC的边AB上的高h,且h==4,

所以VA'-CDE=VC-A'DE=(S四边形ABB'A'-S△AA'D-S△DBE-S△A'B'E)·h

=36-3x-(6-x)x-3(6-x)·h=(x2-6x+36)=(x-3)2+18(0<x<6),

所以当x=3,即D为AB的中点时,VA'-CDE取得最小值,最小值为18.

2.解析　四棱锥的高可以用等腰三角形的底边边长x表示,从而容积V可以表示为x的函数,

在Rt△EOF中,EF=5,OF=x,则EO=,于是V=x2=x2.

依题意,函数的定义域为{x|0<x<10}.

3.解析　如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,将几何体的体积转化为一个三棱柱和一个四棱锥的体积之和,即V几何体=V三棱柱+V四棱锥.

由题意知V三棱柱=×8×6×3=72,V四棱锥=S梯形MNEF·DN=××(1+2)×6×8=24,

所以V几何体=72+24=96.

4.解析　设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,则由已知可得解得显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以面OAB为底面的三棱锥C-OAB.易知OC为三棱锥C-OAB的高.于是VO-ABC=VC-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3),即三棱锥O-ABC的体积为1 cm3.

5.解析　如图所示,在三棱锥A1-ABD中,AA1是三棱锥A1-ABD的高,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a.

∵=,=×a××a=a2,∴×a2×a=×a2×d,∴d=a.

故点A到平面A1BD的距离为a.

6.解析　(1)存在点N,且N为AB1的中点.

理由如下:如图,连接A1B,BC1,

因为点M,N分别为A1C1,A1B的中点,所以MN为△A1BC1的中位线,所以MN∥BC1,

因为MN⊄平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.

(2)如图,设点D,E分别为AB,AA1的中点,连接CD,DN,NE,AM,

设AA1=a,则CM2=a2+1,MN2=+2,CN2=+5,

因为CM⊥MN,所以CM2+MN2=CN2,即a2+1++2=+5,解得a=,

又易得NE⊥平面AA1C1C,NE=1,

所以VM-NAC=VN-AMC=S△AMC·NE=××2××1=.所以三棱锥M-NAC的体积为.

7.解析　(1)证明:证法一:如图,过点M作MN∥CD交PD于点N,连接AN.

因为PM=2MC,所以MN=CD.又AB=CD,且AB∥CD,

所以AB?MN,所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN.

又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD,所以BM∥平面PAD.

证法二:如图,过点M作MN⊥CD于点N,N为垂足,连接BN.

因为PM=2MC,所以DN=2NC,又AB∥CD,AB=CD,所以AB?DN,

所以四边形ABND为平行四边形,所以BN∥AD.

因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.又MN⊥DC,MN⊂平面PDC,

所以PD∥MN.因为BN⊂平面MBN,MN⊂平面MBN,BN∩MN=N,AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D,所以平面MBN∥平面PAD.

因为BM⊂平面MBN,所以BM∥平面PAD.

(2)如图,过B作AD的垂线,垂足为E.

因为PD⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PD⊥BE.

又AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D,所以BE⊥平面PAD.

由(1)知,BM∥平面PAD,

所以点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离,即BE的长.

连接BD,在△ABD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,所以BE=.

故VP-ADM=VM-PAD=·S△PAD·BE=××2×3×=,即三棱锥P-ADM的体积是.

8.解析　(1)证明:由于AD=CD,AB=BC,所以BD垂直平分AC,

所以M为AC的中点,因为N是CD的中点,所以MN∥AD.

因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,因为∠CDA=120°,所以∠DAC=30°,

因为∠BAC=60°,所以∠BAD=90°,即BA⊥AD.

因为PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以MN⊥平面PAB.又MN⊂平面PMN,

所以平面PMN⊥平面PAB.

(2)设点M到平面PBC的距离为d,

在Rt△PAB中,PA=AB=4,所以PB=4,

在Rt△PAC中,PA=AC=4,所以PC=4,

在△PBC中,PB=PC=4,BC=4,

所以S△PBC=4.

由VM-PBC=VP-BMC,即×4×d=×2×4,解得d=,

所以点M到平面PBC的距离为.

9.证明　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥PA.

又BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAB,所以AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B,

所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥PC.

又AF⊥PC,AE∩AF=A,所以PC⊥平面AEF,所以EF⊥PC.