人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试练习，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若AB=a,AA1=c,BC=b,则下列向量与BM相等的是( )

A.-12a+12b+c B.12a+12b+c C.-12a-12b+c D.12a-12b+c
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,且AC1与BD1相交于点O,则有( )
A.AB·A1C1=2a2B.AB·AC1=a2 C.AB·AO=12aD.BC·DA1=a2
3.若平面α经过三点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,0,2),则平面α的法向量可以是( )
A.(1,0,1)B.(1,0,-1) C.(0,1,1)D.(-1,1,0)
4.设u=(2,2,-1)是平面α的一个法向量,a=(-3,4,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行或直线在平面内
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
5.如图,已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6,且它们所在的平面互相垂直,O是BE的中点,FM=12MA,则线段OM的长为( )
A.32B.19
C.25D.21
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,若M为平面ABCD上的一个动点,且满足MP·MC=0,则点M到直线AB的最大距离为( )
A.25B.3+5C.4+5D.4+22
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若F,G分别是棱AB,CC1的中点,则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值为 ( )
A.23B.54C.33D.36
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=AD=PD=1,BC=2,PD⊥平面ABCD,则二面角A-PB-C的大小为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.下列命题中正确的是( )
A.A,B,M,N是空间中的四点,若BA,BM,BN不能构成空间向量的一组基底,则A,B,M,N四点共面
B.已知{a,b,c}为空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底
C.若直线l的一个方向向量为e=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=-2,0,23,则直线l∥α
D.若直线l的一个方向向量为e=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=(-2,0,2),则直线l与平面α所成角的正弦值为55
10.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此之间的夹角都是60°,则下列说法中正确的是( )
A.(AA1+AB+AD)2=2AC2 B.AC1·(AB-AD)=0
C.向量B1C与AA1的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为63
11.若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则下列结论正确的有( )
A.AD与BC所成的角为45°
B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与平面ACD所成角的正弦值为63
D.平面ABC与平面BCD所成角的正切值是2
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为棱BC,CC1,BB1的中点,则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98
D.点C和点G到平面AEF的距离相等
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题目中横线上)
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则该长方体的中心M的坐标为 .
14.若a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则与a+b同方向的单位向量是 .
15.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图,在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为 .
16.如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2,M、N分别是AB和SC的中点,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为 ,直线SM与平面SAC所成角的大小为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥PD;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.
18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.
(1)求异面直线PB与CD所成角的大小;
(2)求点D到平面PBC的距离.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是梯形,AB∥CD,BC⊥CD,AB=PD=4,CD=2,AD=22,M为CD的中点,N为PB上一点,且PN=λPB(0<λ<1).
(1)当λ=14时,求证:MN∥平面PAD;
(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为255,求异面直线AD与CN所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)如图1,在边长为5的菱形ABCD中,AC=8,现沿对角线BD把△ABD折起,折起后(如图2)使∠ADC的余弦值为925.
(1)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(2)若M是AB的中点,求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求AFAB的值;如果不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AD⊥DC,平面PDC⊥平面ABCD,△PDC是等边三角形,AB=AD=12CD=1,E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求二面角G-EF-D的大小;
(3)若线段PB上存在一点Q,使得PC⊥平面ADQ,且PQ=λPB,求λ的值.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A BM=BB1+B1M=AA1+12(B1A1+B1C1)=AA1+12(BA+BC)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.
2.B 对于A,AB·A1C1=AB·(AB+AD)=AB2+AB·AD=a2,故A错误;
对于B,AB·AC1=AB·(AB+AD+AA1)=AB2+AB·AD+AB·AA1=AB2=a2,故B正确;
对于C,AB·AO=AB·12AC1=12AB·AC1=12a2,故C错误;
对于D,BC·DA1=AD·(AA1-AD)=AD·AA1-AD2=-a2,所以D错误.
故选B.
3.D 设平面α的法向量为n,对于A选项,n·OA=2,故A选项错误;对于B选项,n·OB=-2,故B选项错误;对于C选项,n·OB=2,故C选项错误;对于D选项,由于n·OA=0,n·OB=0,且不共线向量OA,OB有共同的始点,故D选项正确.故选D.
4.A 因为u·a=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以u⊥a,故直线l∥平面α或直线l⊂平面α.故选A.
5.B 由题意可得DA,DC,DE两两互相垂直.以D为坐标原点,DA,DC,DE的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,6),F(6,0,6),B(6,6,0).
因为O是BE的中点,所以O(3,3,3).
因为FM=12MA,所以M(6,0,4),所以|OM|=(6-3)2+(0-3)2+(4-3)2=19,即线段OM的长为19.故选B.
导师点睛 本题考查空间中两点间的距离公式的应用,解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系,并求出相应点的坐标.
6.B 以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(2,0,23),C(0,4,0).
设M(a,b,0),
则MP=(2-a,-b,23),MC=(-a,4-b,0).
∵MP·MC=0,
∴(2-a,-b,23)·(-a,4-b,0)=-2a+a2-4b+b2=0,整理得(a-1)2+(b-2)2=5,
∴M为平面ABCD上到点(1,2)的距离为5的一个动点,
故点M到直线AB的最大距离为4-1+5=3+5.故选B.
7.D 解法一:过F作BD的平行线交AC于点M,连接MG,易证得FM⊥平面A1ACC1,所以FM⊥MG,∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
易得FM=24,FG=62,
所以sin∠MGF=FMFG=36.
解法二:以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,易得平面A1ACC1的一个法向量n=(-1,1,0),
F12,0,0,G1,1,12,
所以FG=12,1,12.
设直线FG与平面A1ACC1所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|n·FG||n||FG|=122×62=36.
8.C 取BC中点M,连接DM,由已知可得四边形ADMB为正方形,易得DM,DA,DP两两互相垂直,故以点D为原点,DM,DA,DP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,1),所以AP=(0,-1,1),AB=(1,0,0),
设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),
则n1·AP=0,n1·AB=0,即-y+z=0,x=0,
令z=1,则y=1,
所以n1=(0,1,1).
设平面PBC的一个法向量为n2=(a,b,c),易得BC=(0,-2,0),PC=(1,-1,-1),
所以n2·BC=0,n2·PC=0,
即-2b=0,a-b-c=0,
令c=1,则a=1,
所以n2=(1,0,1),
所以cs=12×2=12.
易知二面角A-PB-C的平面角为钝角,
所以二面角A-PB-C的大小为120°.
故选C.
二、多项选择题
9.ABD 对于A,A,B,M,N是空间中的四点,若BA,BM,BN不能构成空间向量的一组基底,则BA,BM,BN共面,则A,B,M,N四点共面,故A正确;
对于B,已知{a,b,c}为空间向量的一组基底,所以a,b,c不共面,若m=a+c,则a,b,m也不共面,故{a,b,m}也是空间向量的一组基底,故B正确;
对于C,因为e·n=1×(-2)+0×0+3×23=0,所以e⊥n,所以l⊂α或l∥α,故C错误;
对于D,因为cs=e·n|e||n|=-2+610×22=55,所以直线l与平面α所成角的正弦值为55,故D正确.
故选ABD.
10.AB 由题意可知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长均相等,设棱长为1,则AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=1×1×cs 60°=12 ,
所以(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD=1+1+1+3×2×12=6,
而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB·AD)=2×1+1+2×12=2×3=6, 所以A正确.
AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)=AA1·AB-AA1·AD+AB2-AB·AD+AD·AB-AD2 =0,所以B正确.
向量B1C=A1D,显然△AA1D 为等边三角形,故∠AA1D=60°,所以向量A1D与AA1的夹角是120°,即向量B1C与AA1的夹角是120°,所以C不正确.
因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD ,
所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=2,|AC|=(AB+AD)2=3,
BD1·AC=(AD+AA1-AB)·(AB+AD)=1,
所以cs=BD1·AC|BD1||AC|=12×3=66,所以D不正确.
故选AB.
11.BCD 取BD中点O,连接AO,CO.
若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则OA⊥BD,OC⊥BD,OA⊥OC,
∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设OC=1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
∴AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0),
∴cs=AD·BC|AD||BC|=12×2=12,
∴AD与BC所成的角为60°,故A不正确;
易得AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0),
∵AC·BD=0,∴AC⊥BD,故B正确;
设平面ACD的一个法向量为t=(x,y,z),
则t·AC=x-z=0,t·AD=y-z=0,取z=1,则x=y=1,
∴t=(1,1,1),又BC=(1,1,0),
设BC与平面ACD所成的角为θ,
∴sin θ=|cs|=BC·t|BC||t|=23×2=63,故C正确;
易知平面BCD的一个法向量n=(0,0,1),BA=(0,1,1),BC=(1,1,0),
设平面ABC的一个法向量为m=(x',y',z'),
则m·BA=y'+z'=0,m·BC=x'+y'=0,取x'=1,则y'=-1,z'=1,∴m=(1,-1,1),
设平面ABC与平面BCD所成的角为α,则cs α=|cs|=|m·n||m||n|=33,
∴sin α=63,tan α=2,
∴平面ABC与平面BCD所成角的正切值是2,故D正确.故选BCD.
12.BC 对于选项A,(解法一)以D点为坐标原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),E12,1,0,F0,1,12,G1,1,12,D1(0,0,1).
从而DD1=(0,0,1),AF=-1,1,12,
从而DD1·AF=12≠0,所以直线DD1与直线AF不垂直,故选项A错误.
(解法二)取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,故选项A错误.
对于选项B,由上述解法一中所建坐标系可得,A1G=0,1,-12,AE=-12,1,0,AF=-1,1,12,设A1G=xAE+yAF,则0=-12x-y,1=x+y,-12=12y,解得x=2,y=-1,
∴A1G=2AE-AF,∴A1G,AE,AF共面,又A1G⊄平面AEF,
∴直线A1G与平面AEF平行,故选项B正确.
对于选项C,连接AD1,D1F,延长AE,交D1F的延长线于H.易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),
易知D1H=AH=5,AD1=2,
所以S△AD1H=12×2×(5)2-222=32,
而S四边形AEFD1=34S△AD1H=98,故选项C正确.
对于选项D,(解法一)连接AG,EG,FG,如图.
由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=12×1+12×12-12×12×12=14,
而S△ECF=12×12×12=18,
所以S△GEF=2S△ECF.
又VA-GEF=13S△GEF·AB,
VA-ECF=13S△ECF·AB,
所以VA-GEF=2VA-ECF,
即VG-AEF=2VC-AEF,所以点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍,故选项D错误.
(解法二)连接CG,假设点C与点G到平面AEF的距离相等,则平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,设CG与EF的交点为O,易知O不是CG的中点,所以假设不成立,故选项D错误.
三、填空题
13.答案 (2,3,1)
解析 由题意得B(4,6,0),D1(0,0,2),
易知M是BD1的中点,
所以点M的坐标为(2,3,1).
14.答案 0,55,255
解析 与a+b同方向的单位向量是15(0,1,2)=0,55,255.
15.答案 2
解析 易知PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,故以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴,过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1),
BM=(1,1,1),BA=(2,0,0), BP=(2,0,2).
设n=(x,y,z)为平面MBA的一个法向量,则n·BA=0,n·BM=0,即2x=0,x+y+z=0,
令z=-1,则y=1,所以n=(0,1,-1),所以点P到平面MAB的距离d=|n·BP||n|=2.
16.答案 105;π4
解析 因为∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2,所以以S为坐标原点,SA,SB,SC的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设SA=SB=SC=2,则S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),M(1,1,0),N(0,0,1),
所以SM=(1,1,0),BN=(0,-2,1),所以cs=-22×5=-105,所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为105.
易得平面SAC一个法向量为SB=(0,2,0),则由cs=22×2=22得=π4,所以直线SM与平面SAC所成角的大小为π4.
四、解答题
17.解析 (1)证明:易得AB,AD,AP两两互相垂直,故以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),
∴BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2),
∴BE·PD=0,
∴BE⊥PD.(5分)
(2)由(1)可得BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),
由点F在棱PC上,设CF=λCP=(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1,
∴BF=BC+CF=(1-2λ,2-2λ,2λ).
∵BF⊥AC,∴BF·AC=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34,
∴|PF|=1-34|PC|=144+4+4=32,
即线段PF的长为32.(10分)
18.解析 (1)易得AB,AD,AP两两互相垂直,故以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),(2分)
所以PB=(1,0,-1),CD=(-1,1,0).
设异面直线PB与CD所成的角为θ,
则cs θ=|PB·CD||PB||CD|=12,(4分)
所以异面直线PB与CD所成角的大小为π3. (6分)
(2)设平面PBC的一个法向量为n=(u,v,w),由(1)可得BC=(0,2,0),
则PB·n=0,BC·n=0,即u-w=0,2v=0,
取u=w=1,得n=(1,0,1),(9分)
所以点D到平面PBC的距离d=|n·CD||n|=22.(12分)
19.解析 (1)证明:当λ=14时,PN=14PB,在PA上取PE=14PA,连接EN,DE.
∵PN=14PB,PE=14PA,AB=4,
∴EN∥AB,且EN=14AB=1.
∵M为CD的中点,CD=2,
∴DM=12CD=1.
又∵AB∥CD,∴EN∥DM,EN=DM,
∴四边形DMNE是平行四边形,
∴MN∥DE,
又∵DE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.(5分)
(2)过点D作DH⊥AB于H,则DH⊥CD,故DH,DC,DP两两互相垂直.以D为坐标原点,DH,DC,DP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,(6分)
则D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,-2,0),P(0,0,4),
∴CB=(2,0,0),CP=(0,-2,4),AP=(-2,2,4),PB=(2,2,-4),
则AN=AP+PN=AP+λPB=(-2,2,4)+λ(2,2,-4)=(2λ-2,2λ+2,4-4λ).
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则CB·n=0,CP·n=0,即2x=0,-2y+4z=0,令z=1,则y=2,x=0,∴n=(0,2,1).(9分)
设直线AN与平面PBC所成的角为θ,则
sin θ=|cs|=|AN·n||AN||n|=8(2λ-2)2+(2λ+2)2+(4-4λ)2·5=255,
解得λ=13或λ=1(舍去),
则N23,23,83,CN=23,-43,83,
设异面直线AD与CN所成的角为α,
易知AD=(-2,2,0),
所以cs α=|cs|=422×2213=4214,
所以异面直线AD与CN所成角的余弦值为4214.(12分)
20.解析 (1)证明:在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,
则OA=OC=4,∵AD=5,∴OB=OD=3.
将△ABD折起后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcs∠ADC=25+25-2×5×5×925=32.
在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥CO.
又AO⊥BO,BO∩CO=O,
∴AO⊥平面CBD.
又AO⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面CBD.(5分)
(2)由(1)知OC,OD,OA两两互相垂直,故以O为原点,OC,OD,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,(7分)
则A(0,0,4),B(0,-3,0),C(4,0,0),D(0,3,0),M0,-32,2,(8分)
∴MC=4,32,-2,DC=(4,-3,0),AC=(4,0,-4).
设平面MCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·MC=0,n·DC=0,即4x+32y-2z=0,4x-3y=0,
取y=4,则x=3,z=9,∴n=(3,4,9).(10分)
设AC与平面MCD所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|AC·n||AC||n|=|12-36|42×106=35353,
∴AC与平面MCD所成角的正弦值为35353. (12分)
21.解析 (1)证明:取PA的中点G,连接EG,DG.
因为PA∥BE,且PA=4,BE=2,所以BE∥AG,且BE=AG,
所以四边形BEGA为平行四边形,所以EG∥AB,且EG=AB.
因为四边形ABCD是正方形,所以CD∥AB,CD=AB,
所以EG∥CD,且EG=CD,
所以四边形CDGE为平行四边形,所以CE∥DG.
因为DG⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.(4分)
(2)易得AB,AD,AP两两互相垂直,故以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0),(5分)
所以PC=(4,4,-4),PE=(4,0,-2),PD=(0,4,-4).
设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·PC=0,m·PE=0⇒x+y-z=0,2x-z=0,
令x=1,则y=1,z=2,所以m=(1,1,2).(8分)
假设存在点F(a,0,0)(0≤a≤4)满足题意,如图,连接EF,DF,DE,则FE=(4-a,0,2),DE=(4,-4,2).
设平面DEF的一个法向量为n=(x',y',z'),
则n·DE=0,n·FE=0⇒2x'-2y'+z'=0,(4-a)x'+2z'=0,
令x'=2,则y'=a2,z'=a-4,
所以n=2,a2,a-4.(10分)
因为平面DEF⊥平面PCE,所以m·n=0,即2+a2+2a-8=0,所以a=125,故存在点F125,0,0满足题意,此时AFAB=35.(12分)
22.解析 (1)证明:取AD的中点H,连接EH,GH.
∵E,F,G,H分别是PD,PC,BC,AD的中点,
∴EF∥CD,GH∥CD,EH∥PA,
∴EF∥GH.
∴E,F,G,H四点共面.
∵PA∥EH,PA⊄平面EFG,EH⊂平面EFG,∴PA∥平面EFG.(4分)
(2)∵平面PDC ⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.
以DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则G12,32,0,E0,12,32,F0,32,32,
∴EF=(0,1,0),GF=-12,0,32,
易得平面EFD的一个法向量m=(1,0,0).
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
∴n·EF=0,n·GF=0,即y=0,-12x+32z=0,
令x=3,则z=1,
∴n=(3,0,1).(7分)
∴cs=m·n|m||n|=31×2=32,
∴=30°,易知二面角G-EF-D的平面角为锐角,∴二面角G-EF-D的大小为30°.(8分)
(3)易得P(0,1,3),B(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),设Q(a,b,c),
则PC=(0,1,-3),PB=(1,0,-3),
PQ=(a,b-1,c-3)=λPB=λ(1,0,-3)=(λ,0,-3λ),
∴Q(λ,1,3-3λ),AQ=(λ-1,1,3-3λ).(10分)
∵PC⊥平面ADQ,∴PC⊥AQ,
∴PC·AQ=1-3(3-3λ)=0,解得λ=23,满足题意.(12分)