华师大版九年级上册23.4 中位线学案

第10讲  中位线

1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

2. 掌握中点四边形的形成规律.

知识点01 三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

【微点拨】

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

【即学即练1】

如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（   ）

　　A．线段EF的长逐渐增大 　　　　B．线段EF的长逐渐变小
　　C．线段EF的长不变 　　　　　　D．无法确定

【答案】C；

【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则，而AR长不变，故EF大小不变.

【总结】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．

【即学即练2】

在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．

【答案】5；

解：四边形MNEF是平行四边形．

理由如下：∵BE、CF是中线，

∴E、F分别是AC、AB的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF=BC，

∵M、N分别是BO、CO中点，

∴MN是△OBC的中位线，

∴MN∥BC且MN=BC，

∴EF∥MN且EF=MN，

∴四边形MNEF是平行四边形．

【即学即练3】

如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）

A．2          B．3            C.            D．4

【点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．

【答案】

解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点

∴DE∥AB

∴∠EDC＝∠ABC

∵BF平分∠ABC

∴∠EDC＝2∠FBD

在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD

∴∠DBF＝∠DFB

∴FD＝BD＝BC＝×6＝3．

【总结】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

【即学即练4】

如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．

【点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．

【答案】

解：延长BD交AC于点N．

    ∵  AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，

    ∴  ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，

在△ABD和△AND中，

∴  △ABD≌△AND(ASA)

    ∴  AN＝AB＝12，BD＝DN．

    ∵  AC＝18，∴  NC＝AC－AN＝18－12＝6，

    ∵  D、M分别为BN、BC的中点，

    ∴  DM＝CN＝＝3．

【总结】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．

【即学即练5】

如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．

【答案】

证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．

∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，

∴∠BAG=∠BGA，

∴△ABG为等腰三角形，

∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．

同理AM=DM，

∴MN为△ADG的中位线，

∴MN∥BC．

知识点02  顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状

顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

【即学即练6】

如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．

（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．

【答案】

解：（1）四边形DEFG是平行四边形，

理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，

∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，

∴EF∥DG，EF=DG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠BOC=180°﹣90°=90°，

∵M为EF的中点，OM=2，

∴EF=2OA=4，

∵EF=DG，

∴DG=4．

【总结】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.

考法01   三角形中位线

1.（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

【点拨】

（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；

（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．

【答案】

（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．

∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，

∵∠BME=∠CNE，

∴HE=HF，

∴AB=CD；

（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，

∵AB=CD，

∴HO=HE，

∴∠HOE=∠HEO，

∵∠OEC=60°，

∴∠HEO=∠AGO=60°，

∴△OEH是等边三角形，

∵AB=DC=5，

∴OE=．

【总结】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．

2.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）

A．4      B．3     C．2      D．1

【答案】D；

解：连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，

∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，

∵E是AC中点，

∴AE=CE，

∴△DCE≌△HAE，

∴DE=HE，DC=AH，

∵F是BD中点，

∴EF是△DHB的中位线，

∴EF=BH，

∴BH=AB-AH=AB-DC=2，

∴EF=1．

考法02  四边形中点

如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．

求证：AB＝BE．

【答案】

证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，
∵在△CDF和△BEF中

∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴BE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝BE．

题组A  基础过关练

1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（　　）

A．2cm    B．7cm      C．5cm     D．6cm

【答案】D；

【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．

2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　）

A．5         B．10            C．20             D．40

【答案】C；

【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．

3. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）

A．5        B．7        C．9         D．11

【答案】B；

【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，

∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，

∴四边形DBEF为平行四边形，

∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．

故选B．

4．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（　　）

A．12    B．14    C．16    D．18

【答案】B；

【解析】解：∵BD，CE是△ABC的中线，

∴ED∥BC且ED=BC，

∵F是BO的中点，G是CO的中点，

∴FG∥BC且FG=BC，

∴ED=FG=BC=4，

同理GD=EF=AO=3，

∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．

故选B．

5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1                       B．1.5                   C．2                 D．3

【答案】B；

【解析】连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝BC＝×8＝4，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，∴NM＝BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴＝4×0.75÷2＝1.5．

6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（     ）

A.8            B.9            C.10            D.12

【答案】B；

【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝两底的差，EG＋FG＝两腰的和，故△EFG的周长是9.

题组B  能力提升练

7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.

【答案】平行四边形；

8. 如图, E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是              .

【答案】PQ∥AB，PQ＝AB；

【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.

9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.

【答案】16；

【解析】根据三角形中位线的性质得出HGAC，EFAC，HEDB，GFBD，进而得出HE＝GF＝BD，HG＝FE＝AC，即可得出答案．

10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　          　．

【答案】3；

【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，

∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，

∵N与B重合时DN最大，

此时DN=DB==6，

∴EF的最大值为3．

故答案为3．

11.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长　 　．

【答案】3；

【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，

∴AB+AC=26﹣10=16，

∵∠ABC的平分线垂直于AE，

∴在△ABQ和△EBQ中，

，

∴△ABQ≌△EBQ，

∴AQ=EQ，AB=BE，

同理，AP=DP，AC=CD，

∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，

∵AQ=DP，AP=DP，

∴PQ是△ADE的中位线，

∴PQ=DE=3．

故答案是：3．

12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：

①∠BOC＝90°＋∠A；

②设OD＝，AE＋AF＝，则；

③EF不能成为△ABC的中位线．

其中正确的结论是_______.

【答案】①，③；

【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．

题组C  培优拔尖练

13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．

求证：MN和PQ互相平分．

【解析】

证明：连接MP，PN，NQ，QM，

∵AM＝MD，BP＝PD，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM∥AB，PM＝AB；

同理NQ＝AB，NQ∥AB，

∴PM＝NQ，且PM∥NQ．

∴四边形MPNQ是平行四边形．

∴MN与PQ互相平分．

14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【解析】

解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．

证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝AD，

∴∠AMF＝∠HFE，

同理，HE∥CB，HE＝CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠ENB＝∠AMF．

如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝AD，

∴∠AMF＋∠HFE＝180°，

同理，HE∥CB，HE＝CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠AMF＋∠ENB＝180°．

15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．

（1）求证：EF=CF；

（2）求证：FG⊥DG．

【解析】

证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，

∴CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD=BD=AB．

又EF∥AB，

∴=，

∴==1，

∴EF=CF；

（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．

∵EF∥AB，

∴∠CMF=∠CBD．

又∵AD=BD=AB，

∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，

∴∠CMF=∠FCM，

∴CF=MF．

又由（1）知，EF=CF，

∴EF=FM，即点F是EM的中点，

又∵EF∥AB，则FM∥AB

∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，

∵点G是BE的中点，

∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，

∴GD∥AE，GM∥EC，

∴点D、G、M三点共线，

∴FG是△CDM的中位线，

∴FG∥CM．

又∵MC⊥EC，

∴FG⊥DG．