初中数学华师大版九年级上册23.3 相似三角形综合与测试导学案及答案

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第09讲 相似三角形  1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 知识点01  相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.     相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.考点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则 考点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【即学即练1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【思路】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【答案】B．【解析】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．【总结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【即学即练2】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
　　　　　　　　【思路】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ，∴ ，∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm..
∴.【总结】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.知识点02  相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.考点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：    平面镜测量法      影子测量法      手臂测量法       标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　 考点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【即学即练3】如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
　　　　　 【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
　　    ∵AB⊥BC，CD⊥BC,
　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°.
　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC,
　　　　∴△AOB∽△DOC.
　　　　∴.
　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,
　　　　∴AB=85m.
　　    即河宽为85m．【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.【即学即练4】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
　　
【思路】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案】(1)△ABC∽△ADE．
             ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.
             ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .
              (2)由(1)得△ABC∽△ADE,
               ∴.
               ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
               ∴.
               ∴DE=16m,
               即古塔的高度为16m.【总结】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.  考法01   相似三角形几何如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）　 A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B．考法02  相似测距1.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
　　　　∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
　　　　且，，
　　　　∴，
　　　　∴.2.小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】  　 如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，∠BAP=∠DCP=90°，∴ △ABP∽△CDP,∴,即,∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.  题组A  基础过关练1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）　 A． B．  C．  D．【答案】D．【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故选D．2. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（　　）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【答案】D．【解析】∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2. 3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（  ）．A．24米　 B．54米 　　C．24米或54米 　D．36米或54米【答案】C.4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=(    ). A．3 　　　B．7 　　　C．12 　　　D．15 
　　　　　　　【答案】B.5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（   ）.　 A．6米 　　 B．8米 　 　 C．18米 　 　D．24米【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（　　）倍.  　A.2　　  B.4　 　 C.2　  　D.64 【答案】C．【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 题组B  能力提升练7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
                  【答案】3.8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______. 
【答案】45cm2.9．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　    　m．【答案】12．10.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为　     　．【答案】1：4．【解析】∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=. 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.【答案】. 题组C  培优拔尖练13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？  【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，           ∵  长为1m的竹竿影长0.9m           ∴             即  x＝4.2m14.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴；∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴；  ∴AB=12.8答：大楼AB的高为12.8米．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
          【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：              △PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．           (2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，              则              ∵  △PDE∽△BCP∴  △PDE与△BCP的周长比是1:2∴  △BCP的周长是2a．②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，则，∵  △PCE∽△BCP∴  △PCE与△BCP的周长比是1:2∴  △BCP的周长是2a．③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，∴  ∵  △BPE∽△BCP∴  △BPE与△BCP的周长比是:2，∴  △BCP的周长是． 16. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
 【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
              又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
              ∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
          （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
              ∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
              ∴.解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴解得h=3.44（m）．
17.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
　　已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
　　　　　∴　OE∥DC．∵　＝，∴　＝＝．∴　＝．
　　　　　……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．　【解析】（1）补全证明过程:
　　　　　　∵　FG⊥BC，DC⊥BC，
　　　　　　∴　FG∥DC．
　　　　　　∴　＝＝．
　　　　　　∵　AB＝DC，
　　　　　　∴　＝．
　　　　　  又　FG∥AB，
　　　　　  ∴　＝＝．
　　　　　　∴　点G是BC的一个三等分点．
　　　　　（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.18. 某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，则四边形ABHM和MHCN都是矩形，∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，又∵AB=AE=1.2米，∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），∴EH≈2.24（米）；（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，下面计算PR是否小于2米；由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，∴=，即=，∴PK=0.08（米），∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6=1.8+0.08≈1.94（米），∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．