华师大版九年级上册24.1 测量学案

第13讲  测量

1、掌握测量的方法；

2、通过设计测量高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；

3、培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。

知识点01利用勾股定理测量 

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．

【微点拨】（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

     （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．

（3）理解勾股定理的一些变式：

，， ．

【即学即练1】

1、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

2.如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？

知识点02 利用同一时刻物高与影长成比例测量

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

【微点拨】

测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法      影子测量法      手臂测量法       标杆测量法

【即学即练2】

1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　

2.小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

知识点03利用相似三角形的性质测量

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　

【微点拨】

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【即学即练4】

1.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
　　
 

考法01 勾股定理测距

1、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

2.如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)

考法02  相似测距

1．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（   ）.

　 A．6米 　　 B．8米 　 　 C．18米 　 　D．24米

2. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
                 

3. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______. 
4．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　    　m．

5.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．

题组A  基础过关练

1.如图1所示,在竖直电线杆上的某一点C处安装固定拉线AC,AB所在的直线在水平地面上,经测量AC=8米,AB=5米,根据题意,可知△ABC是　　　　　三角形,根据　　　　,得BC====　　　　(米). 

图1

2..在同一时刻,测得小华和旗杆的影长分别为1 m和6 m,小华的身高为1.6 m,若求旗杆的高度,则需要根据相同时刻的　　　　与　　　　成比例求解,即=.若设旗杆的高度为x m,则可列比例式为　　　　,解得x=　　　　. 

3.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标点B在同一条直线上.如图5所示(示意图),在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.已知OA=0.2米,OB=40米,AA'=0.0015米,求小明射击到的点B'偏离目标点B的距离BB'.由题意可知,AA'∥　　　　,所以△　　　　∽△　　　　.根据相似三角形的对应边　　　　,可得=,即　　　　,解得BB'=　　　　(米). 

题组B  能力提升练

4.如图,一棵大树在离地3米处折断,树的顶端落在离树底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是　　　　米. 

5.小刚身高1.7 m,小华测得他站立在阳光下的影长为0.85 m.紧接着小刚把手臂竖直举起,小华又测得他的影长为1.1 m,则小刚举起的手臂超出头顶              (　　)

A.0.5 m B.0.55 m C.0.6 m D.2.2 m

6.如图4,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的点A处,则小明的影子AM的长为　　　　米. 

7.为了估计河的宽度,我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A,再在河的这一边选点B和点C,使得AB⊥BC,然后在河岸附近选点E,使得EC⊥BC,设BC与AE交于点D,如图6所示,测得BD=120 m,CD=40 m,EC=30 m,求这条河的大致宽度.

题组C  培优拔尖练

8.如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯,测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管按图中所示的方式放进杯里,露在杯口外面的吸管长4.6 cm,则吸管有多长?

9.如图①,某温室屋顶结构外框为△ABC,立柱AD垂直平分横梁BC,AD=2 m,斜梁AC=4 m.为增大向阳面的面积,将立柱增高并改变位置,使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上),立柱EF⊥BC,如图②所示.若EF=3 m,则斜梁增加部分AE的长为              (　　)

A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m

10.如图,一条河的两岸BC与DE互相平行,两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯),每排相邻两景观灯的间隔都是10 m,在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC,看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯,河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯,则这条河的宽度为　　　　m. 

11.如图为了抗旱保收,某市准备开采地下水,经探测C处有地下水,为此需要在C处进行爆破,已知C处与公路上的停靠站A的距离是300 m,与公路上另一停靠站B的距离为400 m,且CA⊥CB,为了安全,爆破点C周围250 m的范围内禁止进入.在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否需要暂时封锁?

12.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=12 m,人的眼睛离地面的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,求旗杆的高AB.

13.如图所示是一条东西走向的笔直公路,点A,B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置,点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走,当他到达点P的位置时,观察树A恰好挡住电视塔,即点P,A,C在一条直线上,当他继续走180米到达点Q的位置时,观察树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ,且公路的宽为60米,求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离.