初中数学华师大版九年级上册23.6 图形与坐标综合与测试学案

第12讲  图形与坐标

1、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

知识点01  坐标系中的位似图形

    在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.

【微点拨】

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.

【即学即练1】

1.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．

（1）在图中画出四边形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是　     　三角形．

【点拨】

（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【解析】

解：（1）如图所示：

（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，

∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，

∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角．

【总结】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．

2.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．

（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．

（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　                       　．

【点拨】

（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；

（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．

【解析】

解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；

（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

【总结】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

考法01 

如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？

【答案】

解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的.

题组A  基础过关练

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2）             B．（﹣9，18） 

C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

【答案】D.

【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．

2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）

【答案】D.

【解析】∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．

3．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(　　)

A．(2，1)    B．(2，0)    C．(3，3)    D．(3，1)

【答案】A

题组B  能力提升练

4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（   ）.
　　　　　　　　　　　　　
　　A． 　　　B．　     C． 　　　D．

【答案】D.

5.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为　        　．

【答案】.

【解析】过点B作BD⊥OD于点D，

∵△ABC为直角三角形，

∴∠BCD+∠CAO=90°，

∴△BCD∽△COA，

∴=，

设点B坐标为（x，y），

则=，

y=﹣3x﹣9，

∴BC==，

AC==，

∵∠B=30°，

∴==，

解得：x=﹣3﹣，

则y=3．

即点B的坐标为．

6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　   　．

【答案】4.5．

【解析】∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），

∴AO=2，DO=5，

∴==，

∵AB=1.5，

∴DE=4.5．

故答案为：4.5．

7．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．

【答案】解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，

则△CBM∽△CB′N.

所以MCNC＝BMB′N＝BCB′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，

所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝12.所以MC＝(a＋1)，

BM＝－.所以MO＝(a＋1)＋1＝.

所以点B的坐标为.

题组C  培优拔尖练

8.将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
　　(1)沿y轴负方向平移1个单位；
　　(2)关于x轴对称；
　　(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．
　　　　　
【解析】

变换后的图形如下图所示．
　　　　
　　　　(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，
　　　 　A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．
　　　 　即横坐标不变，纵坐标减小．
　　　　(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．
　　　 　即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
　　　　(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)，
　　　 　显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，
　　　 　即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.

【总结】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，

第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．