广东省深圳市2019年高三数学二模考试试卷及答案

这是一份广东省深圳市2019年高三数学二模考试试卷及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省深圳市高三数学二模考试试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．
1.已知 为实数集，集合 ，则 （    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
2.复数 （其中 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则 的虚部是（    ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
3.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是（    ）
A. 6                                           B. 4                                           C. 2                                           D. 0
4.下列说法正确的是（  ）
A. 命题“若 ，则 .”的否命题是“若 ，则 .”
B. 是函数 在定义域上单调递增的充分不必要条件
C. 
D. 若命题 ，则
5.已知 ，则 （    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.函数 的图象可能是(     )
A.            B.            C.            D. 
7.若将函数 的图象向左平移 （ ）个单位，所得图象关于原点对称，则 最小时， （    ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.现行普通高中生在高一升高二时面临着选文理的问题，某校抽取了部分男、女生意愿的一份样本，制作出如下两个等高条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（    ）

A. 样本中的女生数量多于男生数量                         B. 样本中有理意愿的生数量多于有文意愿的生数量
C. 样本中的男生偏爱理                                          D. 样本中的女生偏爱文
9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 8
10.在 中， 为斜边 边的高，若 ， ， ，则 （    ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
11.已知双曲线 ： （ ， ）的一条渐近线为 ，圆 ： 与 交于 ， 两点，若 是等腰直角三角形，且 （其中 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（    ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
12.若函数 在 单调递增，则 的取值范围是（   ）
A.                             B.                             C.                             D.  
二、填空题（每题5分，满分20分）
13.展开式中的常数项为 ,则 ________．
14.若直线 与曲线 相切，则 ________．
15.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为________．
16.已知点 ，抛物线 ： （ ）的准线为 ，点 在 上，作 于 ，且 ， ，则        ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．）
17.设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ， ，若 对一切 成立，求实数m的最小值．
18.如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中， ，点E在PD上，且 ．

（Ⅰ）求证： 平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F使得 平面EAC？若存在，试求PF的值；若不存在，请说明理由．
19.某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为 、 、 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.


（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（ Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
20.已知椭圆 （ ）的两个焦点与短轴的一个端点是有一个角为 的等腰三角形的三个顶点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及点 的坐标；
（Ⅱ）斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：存在常数 ，使得 成立，并求 的值．
21.定义在R上的函数f (x)满足 .
(Ⅰ)求函数f (x)的解析式；
(Ⅱ)求函数g (x)的单调区间；
(Ⅲ)如果s、t、r满足 ，那么称s比t更靠近r ． 当a≥2且x≥1时，试比较 和 哪个更靠近lnx ， 并说明理由．
22.在平面直角坐标系 中，曲线 ： ，曲线 ： （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线 ： （ 为参数， ， ）分别交 ， 于 ， 两点，当 取何值时， 取得最大值.
23.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围.

答案解析部分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．
1.【答案】 B
【解析】【解答】∵R为实数集,集合A={x∣∣−2x−3＞0}={x∣∣x＞3或x＜−1}，
∴={x|}=[−1,3].
故答案为：B.
【分析】利用解不等式的解法求出集合A，再结合补集的定义求出结果即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：, ∴， 所以其虚部为：-1.
故答案为：D
【分析】 结合复数的运算性质整理化简复数z，再求出其共轭复数进而求出其虚部。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意做出不等式的所表示的平面区域如图所示：

由已知z=3x+y可得,y=z-3x,平移该直线，由图像可得当该直线经过点A时，直线y=-3x+z的截距最小，此时由解得， 即可求出点A的坐标为（0,2），此时的最小值为z=2.
故答案为：C
【分析】根据题意找出不等式所对应的平面区域，再利用线性规划的性质结合直线的图像通过平移即可求出z的最小值即可。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。函数在定义上并不是单调递增函数，所以B错。不存在，C错。全称性命题的否定是特称性命题，D正确。
故答案为：D
【分析】利用否定命题以及全称命题的否定的定义，结合指数函数的增减性逐一判断即可得出结论。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵,=.
故答案为：C
【分析】利用名改变的诱导公式把正弦化为余弦且角变为， 在由整体思想把弦化为切代入数值求出结果即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：令x-2=t，则函数f（x）可化为g（t）=， 由解析式g（t）为奇函数得，g（t）关于原点对称
故f（x）关于（2,0）对称，排除B和C，当x→-∞时，（x-2）3＜0，ln（x2-4x+4）＞0，所以f（x）＜0，排除D.
故答案为：A
【分析】结合题意化简函数的解析式，再结合函数的解析式判断出函数的对称性，再利用函数的值判断即可．
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,可得y=cos(2x+2φ+)的图象；再根据所得关于原点对称,可得2φ+=kπ+,k∈Z,∴φ的最小值为，
∴tanφ=tan=，
故答案为：B.
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的最小值，可得tanφ的值．
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：结合已知由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量。
故答案为：D．
【分析】根据这两幅图中的信息结合独立性检验的思想，即可得出结论．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一半，也是放倒的三棱柱，底面直角三角形的直角边为2，高为2的直三棱柱，该几何体的体积为：×2×2×2=4.
故答案为：C.
【分析】利用三视图判断出几何体的形状，再结合几何体的体积公式代入数值即可求出结果。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，

A(0,0),B(3,0),C(0,1)；

则BC的直线方程为+y=1，设点D(m,n)；则解得m=,n=， ∴D(,)；

∴,,
故答案为：A.
【分析】据题意建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标，利用BC的直线方程求出点D的坐标，再写出所对应的向量的坐标，再把数值代入到向量的数量积公式计算出结果即可。

 
11.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示依题意 , 在 △RtACB 中 ,BC=AC=，

∴AB=4, 又 ( 其中 O 为坐标原点 ) ， ∴OB=3
在 △OCB 中 , 由余弦定理得

因为点 C(a,0) 到渐进线 y=x 的距离为 2, 即

解得 b=, 即得,∴ 双曲线 的离心率为：
故答案为： A
【分析】首先结合题意求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，再利用距离推出ab关系式，然后求解离心率即可．
12.【答案】 D
【解析】【解答】解：由在单调递增，易知在，即，上恒有,即可求出
经整理有， 令t=cosx，则， 即有在恒成立，结合一元二次方程的图像即可得出即

解之得.
故答案为：D
【分析】结合题意把问题转化为不等式恒成立的问题结合一元二次函数的图像即可求出结果。
二、填空题（每题5分，满分20分）
13.【答案】
【解析】【解答】解：首先写出二项展开式的通项公式=， 令x的次数等于0，解出,k=9，=.
故答案为：
【分析】根据题意首先求出通项公式，然后整理化简令x的次数为零求出r的值，从而即可求出展开式的常数项的值。
14.【答案】
【解析】【解答】解：设切点的坐标为（x0 ， y0）
∵y'=1+e-x ，
则

由①②知：④
将③代入④得：
∴
∴x0=-1
将x0=-1代入③得：k=1+e
若将x0=-1代入④得：-k=-1-e，得到k=1+e）
【分析】根据题意设切点为（x0 ， y0），列出曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，解出x0 ， 代入方程即可求出k.
15.【答案】 12
【解析】【解答】解：根据题意，先将5名志愿者分成3组，由于甲、乙两名女志愿者需到同一社区，将甲乙看成第一组，将第三名女志愿者与一名男志愿者作为第二组，剩下的男志愿者作为第三组，
则有种分组方法；再将分好的三组全排列,对应3个社区,有=6种情况，则不同的分法种数为2×6=12种；
故答案为：12.
【分析】根据题意，先将5名志愿者分成3组，再将分好的三组全排列，对应3个社区，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
16.【答案】
【解析】【解答】设焦点为F，则  所以  
【分析】根据题意由抛物线的定义以及简单的性质代入数值求出结果即可。
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．）
17.【答案】 （1）解：∵等差数列 中， ， ，
∴
解得
∴ ，
∴ ．

（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 随着 增大而增大，
∴ 是递增数列，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴实数m的最小值为5．
【解析】【分析】(1)首先由等差数列的项的性质，m+n=p+q,,即可求出的值，再结合等差数列的定义求出公差，从而即可求出等差数列的通项公式。
(2)根据题意首先求出数列的通项公式，整理化简成两个因式相减的形式，再求出该数列的前n项和结合裂项相消法求出其结果，再由反比例函数的单调性即可得出数列时递增数列，从而求出最小值即可。
18.【答案】 解：（Ⅰ）证明：∵在菱形ABCD中， ，∴ ．∵
∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ 平面ABCD．
（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得

，则 ．
设平面EAC的一个法向量为 ，
则 ，即
设y=-1，可得 ．
而平面DAC的一个法向量为 ，
∴ ．
设所求二面角的平面角为 ，则 ，
所以二面角E-AC-D的正弦值为 ．
（Ⅲ）因为 ，E为PC上的点，B（1,0,0）.则有 ，故F点的坐标 ，所以 ，由（Ⅱ）可知平面EAC的一个法向量为 ，若 平面EAC，则 ，得
,则 ，即PE的值为
【解析】【分析】（Ⅰ）结合菱形的几何性质以及勾股定理即可求出， 再由线面垂直判定定理即可得证。
（Ⅱ）根据题意建立空间直角坐标系， 分别求出各个点以及相关向量的坐标， 构造平面EAC的一个法向量，结合向量的垂直关系求出该法向量，然后利用 平面DAC的一个法向量 与该向量垂直，从而利用数量积的运算公式，即可求出这两个平面所成的二面角的大小。
（Ⅲ）利用向量共线的思想构造实数， 在由第二问中的平面EAC的一个法向量 结合向量的数量积运算公式代入数值求出即可。
19.【答案】 解：（Ⅰ）设工种 的每份保单保费为 元，设保险公司每单的收益为随机变量 ，
则 的分布列为

保险公司期望收益为
根据规则     解得 元，
设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为 元，则保险公司期望利润为 元，根据规则 ，解得 元，
设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为 元，则保险公司期望利润为 元，根据规则 ，解得 元.
（Ⅱ）购买 类产品的份数为 份，
购买 类产品的份数为 份，
购买 类产品的份数为 份，
企业支付的总保费为 元，
保险公司在这宗交易中的期望利润为 元
【解析】【分析】（Ⅰ）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，求出X的分布列和保险公司期望收益，根据规则a-5≤0.2a，从而a≤6.25元，设工种B的每份保单保费为b元，求出赔付金期望值为10元，则保险公司期望利润为b-10元，根据规则b-10≤0.2b，解得b≤12.5元，设工种C的每份保单保费为c元，求出赔付金期望值为50元，则保险公司期望利润为c-50元，根据规则c-50≤0.2c，解得c≤62.5元．
（Ⅱ）购买A类产品的份数为12000份，购买B类产品的份数为6000份，购买C类产品的份数为2000份，由此能求出保险公司在这宗交易中的期望利润．
20.【答案】 解：（Ⅰ）由已知， ，则椭圆 的方程为 ，
有方程组有方程组 得 .①
方程①的判别式为 ，由 ，得 ，
此方程①的解为 ，所以椭圆E的方程为 ，
点 的坐标 ．
（Ⅱ）由已知可设直线 的方程为 ，
有方程组 可得
所以 点坐标为（ ）， ．
设点A，B的坐标分别为 ．
由方程组 可得 ．②
方程②的判别式为 ，由 ，解得 ．
由②得 ．
所以 ，
同理 ，所以

，
故 ，∴存在常数 ，使得 成立
【解析】【分析】（Ⅰ）由， 代入椭圆方程，将y=-x+3代入，令△=0，即可求得a与b的值从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）将l'和y=-x+3联立求得P点坐标，求得丨PT丨，将l'代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨PA丨，同理丨PB丨，即可求得故存在常数λ=， 使得。
21.【答案】 解：(Ⅰ)解：
  ∴ ，故f (0) = 1
又 ，∴
 因此
(Ⅱ)解：
①当a≤0时， ，函数g (x)在R上单调递增；
②当a > 0时，由 得：
∴ 时， ，g (x)单调递减
时， ，g (x)单调递增
综上，当a≤0时，函数g (x)的单调递增区间为 ；
当a > 0时，函数g (x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(Ⅲ)解： ，
∵ ，∴p(x)在[1，＋∞)上为减函数
又p(e) = 0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x > e时，p(x) < 0            
∵ ，
∴ 在[1，＋∞)上为增函数，又
∴x∈[1，＋∞)时， ，故q(x)在[1，＋∞)上为增函数
∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0
①当1≤x≤e时，
设 ，则
∴h (x)在[1，＋∞)上为减函数
∴h (x)≤m(1)＝e－1－a
∵a≥2，∴h (x) < 0，∴| p(x) | < | q(x) |
∴ 比 更靠近ln x；
②当x > e时，
设 ，则 ，
∴ 在x > e时为减函数，∴
∴r (x)在x > e时为减函数的，∴
∴| p (x) | < | q (x) |
∴ 比 更靠近ln x ．
综上：当a≥2且x≥1时， 比 更靠近ln x
【解析】【分析】（Ⅰ）通过f（x）得f′（x），令x=1得f（0）=1，再在f（x）中令x=0得f（0），从而得出
（Ⅱ）由（I）知， 从而， 分①a≤0、②a>0，通过g′（x）与0的关系讨论即可；
（Ⅲ）通过设， ， 对其求导后可得p（x）在[1，+∞）上为减函数，q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，然后对x分1≤x≤e、x>e两种情况讨论即可．
22.【答案】 解：（Ⅰ）因为 ， ， ，
的极坐标方程为 ，
的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 .
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 （ ， ）
设 ， ，则 ， ，
所以
，
又 ， ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .
【解析】【分析】 （Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化公式整理即可得出直线与圆的极坐标方程。
（Ⅱ） 结合极坐标方程利用二倍角的正弦、余弦公以及两角和差的正弦公式整理化简， 再由正弦函数的图像与性质即可求出最大值。
23.【答案】 解：（Ⅰ）当 时，不等式即 ，等价于
或 或
解得 或 或
即不等式 的解集为 .
（Ⅱ）当 时， ，不等式 可化为 ，
若存在 ，使得 ，则 ，
所以 的取值范围为
【解析】【分析】 （Ⅰ） 对a赋值求出函数f(x)的解析式,结合题意可得不等式即-x-2>0,再由绝对值不等式的性质去绝对值符号，等到关于x的不等式组，解出x的取值范围即可。
（Ⅱ） 结合一次函数的单调性即可求出结果。