广东省深圳市2021年高三数学二模试卷及答案

这是一份广东省深圳市2021年高三数学二模试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单选题
1.已知集合 ， ，则 （    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.已知复数 ，则 （    ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 1
3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（    ）
A. 6                                         B. 12                                         C. 24                                         D. 48
4.设 为三个不同的平面，若 ，则“ 是“ ”的（    ）
A. 充分不必要条件             B. 充要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
5.已知随机变量 ，有下列四个命题：
甲：   乙：
丙：   丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（    ）
A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁
6.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（    ）

A. 40                                         B. 39                                         C. 38                                         D. 37
7.在数列 中， ， ，若 ，则 （    ）
A. 10                                           B. 9                                           C. 8                                           D. 7
8.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为（    ）

A. 18                                         B. 24                                         C. 36                                         D. 48
二、多选题
9.设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，且 ，则下列结论正确的有（    ）
A.                                                                  B. 当 时，C的离心率是2
C. 到渐近线的距离随着n的增大而减小              D. 当 时，C的实轴长是虚轴长的两倍
10.已知函数 ，则（    ）
A. 的最大值为3                                               B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线 对称                       D. 在区间 上单调递减
11.已知函数 ，若 ，则下列不等式一定成立的有（    ）
A.       B.       C.       D. 
12.在空间直角坐标系 中，棱长为1的正四面体 的顶点A，B分别为y轴和z轴上的动点（可与坐标原点O重合），记正四面体 在平面 上的正投影图形为S，则下列说法正确的有（    ）
A. 若 平面 ，则S可能为正方形           B. 若点A与坐标原点O重合，则S的面积为
C. 若 ，则S的面积不可能为      D. 点D到坐标原点O的距离不可能为
三、填空题
13.已知函数的图象关于y轴对称，且与直线 相切，则满足上述条件的二次函数可以为 ________.
14.设F为抛物线 的焦点，过F作倾斜角为 的直线交C于A，B两点，若 ，则 ________.
15.冈珀茨模型 是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型： （当 时，表示2020年初的种群数量），若 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为________.
16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知 内接于单位圆，以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， .若 ，则 的面积最大值为________.
四、解答题
17.设数列 的前n项和 ，满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）求 的通项公式.
18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角， .
（1）求A；
（2）若 ，且 边上的高为 ，求 的面积.
19.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 处和 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
20.如图，在四棱锥 中， ， ， ， .

（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21.设 是坐标原点，以 、 为焦点的椭圆 的长轴长为 ，以 为直径的圆和 恰好有两个交点.
（1）求 的方程；
（2）是 外的一点，过 的直线 、 均与 相切，且 、 的斜率之积为 ，记 为 的最小值，求 的取值范围.
22.已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数 …，是自然对数的底数）

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】 ， ，
，
．
故答案为：D．

【分析】 进行补集和交集的运算即可．
2.【答案】 A
【解析】【解答】 ,
所以 ，
故答案为：A.

【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．
3.【答案】 B
【解析】【解答】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则 ，故所求的坐法种数为12，
故答案为：B．

【分析】 根据题意，将小明和他父母看成一个整体，分析三人的排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，由分步计数原理计算可得答案．
4.【答案】 A
【解析】【解答】因为 ， ，则 ，
所以由 ， 可以得出 ，
若 ， ，则 与 可能相交或平行，
所以 ， ，得不出 ，
所以若 ，则“ 是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A

【分析】 根据空间面面垂直和面面平行的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
5.【答案】 D
【解析】【解答】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故 ，
根据正态分布的对称性可知：甲： 为真命题，所以丁为假命题.
并且， .
所以假命题的是丁.
故答案为：D

【分析】 由已知结合选项可得乙、丙必为真命题，求得μ=a，则   ，再由正态分布曲线的对称性分析甲与丁即可．
6.【答案】 C
【解析】【解答】年龄位于 的频率为 ，
年龄位于 的频率为 ，
年龄位于 的频率为 ，
年龄位于 的频率为 ，
因为 ，而
，
所以中位数位于 ，设中位数为 ，
则 ，
解得： ，
故答案为：C.

【分析】 由频率分布直方图先求出[18，36）的频率为0.42，[36，42）的频率为0.16，由此能估计该地接种年龄的中位数．
7.【答案】 B
【解析】【解答】令 ，由 可得 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
，
所以 ，
整理可得： ，
解得： 或 （舍）
故答案为：B.

【分析】 利用题中给出的恒等式，令m=1，得到数列 是首项为3，公差为3的等差数列，然后由等差数列的前n项求和公式列出关于k的方程，求解即可．
8.【答案】 C
【解析】【解答】骑行过程中， 相对不动，只有 点绕 点作圆周运动．
如图，以 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，

由题意 ， ， ，
圆 方程为 ，设 ，
则 ， ，
，
易知当 时， 取得最大值36．
故答案为：C．

【分析】 根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
二、多选题
9.【答案】 A,C
【解析】【解答】对于A：由双曲线的方程可得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可得： ，故答案为：项A符合题意；
对于B：当 时，双曲线 ，此时 ， ，
所以离心率 ，故答案为：项B不正确；
对于C： 中，由A知： ， ， ，的渐近线方程为 ，
不妨取焦点 ，则 到渐近线的距离 ，
所以 到渐近线的距离随着n的增大而减小，故答案为：项C符合题意；
对于D：当 时， ， ，
所以实轴长为 ，虚轴长为 ，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故答案为：项D不正确；
故答案为：AC

【分析】 利用双曲线的标准方程，结合焦距，求解m，判断A；求解离心率判断B；求出点到直线的距离，判断C；求解实轴长与虚轴长的比值，判断D．
10.【答案】 B,C
【解析】【解答】

所以 的最大值为 ，A不正确；
的最小正周期为 ，B符合题意；
因为 ，解得： ，所以直线 是 的图象的对称轴，C符合题意；
令 ，解得： ，
所以 在区间 和 单调递减，在 上单调递增，D不正确，
故答案为：BC.

【分析】 先将函数解析式化简成y=Asin（ωx+φ）+k的形式，即可根据三角函数的性质判断各选项的真假．
11.【答案】 B,D
【解析】【解答】易知 是 上的增函数，
时， 成立， 成立，BD一定成立；
与 的大小关系不确定，A不一定成立；
同样 与 的大小关系也不确定，如 时， ，C也不一定成立．
故答案为：BD．

【分析】 根据题意，分析可得f（x）在R上为增函数，由此分析选项，可得答案．
12.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】对于A，如图，当B为 时 ，正投影图形 为正方形，所以A符合题意；

对于B，点A与坐标原点O重合时， 两点已定，即 在 轴上，此时正四面体在空间中的形态已定， 到 的距离就是正三角形 的高，均为 ，则正四面体在平面 上的正投影图形为以 为腰，1为底的等腰三角形，所以 ，所以B符合题意；
对于C，当 位于 轴上时，且 且两两垂直，故把正四面体放入外接正方体中,如图所示，可知投影到 面为正方形，且边长为 ，此时 ，所以C不符合题意；

对于D，顶点 到 的距离为 ，设点 到 的距离为 ，则 ,得 ，当且仅当 时， 到 的距离最大，且为 ，所以 的最大值为 ，所以D符合题意，
故答案为：ABD

【分析】对于A，如图，当B为 时 ，正投影图形 为正方形，所以A符合题意；对于B，点A与坐标原点O重合时， 两点已定，正四面体在平面 上的正投影图形为以 为腰，1为底的等腰三角形 ，所以B符合题意；对于C，当 位于 轴上时，且 且两两垂直，可知投影到 面为正方形，所以C不符合题意；对于D，设点 到 的距离为 ，则 ,得 ，所以D符合题意.
三、填空题
13.【答案】 （答案不唯一）
【解析】【解答】因为二次函数 的图象关于y轴对称，所以可设 ，
由 得 ，所以 ，即 ．
取 ， ，则 ，（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．

【分析】因为二次函数 的图象关于y轴对称，所以可设 ，函数f（x）的图象与直线y=x相切，则可知函数与直线的方程组只有一解，可得a，c的关系，从而得到函数解析式．
14.【答案】 8
【解析】【解答】解：设 （ ），则
，
直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：8

【分析】 设直线AB的方程，与抛物线联立求出A，B的横坐标，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得|AF|-|BF|的值，再由|AF|-|BF|=4，求出p的值，再由性质可得|AB|的值．
15.【答案】 6
【解析】【解答】令 由题意知， ，
所以 得 ， 则
所以 ，解得 ，所以m的最小值为6
故答案为：6

【分析】 根据某珍稀物种t年后的种群数量y解析式，分别求出t=0与t=m的种群数，然后根据m（m∈N*）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，建立不等式，取对数，从而可求出m的范围．
16.【答案】
【解析】【解答】解：设 ，由题意以 边向外作等边三角形 ，其外接圆圆心分别为 ，
连接 并延长分别交 于 ，

则 ，同理 ，
都是等边三角形，则 ，又 ，则 ，所以 ，
是正三角形，所以其面积为 ，
内接于单位圆，即其外接圆半径为 ，则 ，同理 ，设 ，则 ，


，
， ，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 的面积最大值为 ．
故答案为： ．

【分析】 先利用正弦定理结合基本不等式，得到AC，BC两边平方和的最大值，然后利用拿破仑三角形的性质，用AC，BC表示出拿破仑三角形的边长，最后利用三角形的面积公式即可求出△A′B′C′面积的最大值．
四、解答题
17.【答案】 （1）解：由 可得 ，
即 ，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列

（2）解：由（1）可得 ，即 ，
当 时， ，
当 时 ，所以 不满足 ，
所以
【解析】【分析】 （1）由题设得到 ，即可证明结论；
（2）先由（1）可得：   ，再由 当  时，  ， 当  时 求得an ．
18.【答案】 （1）解：由 得 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
由正弦定理得 ， 是三角形内角， ，
所以 ，又A为锐角，所以

（2）解：由（1） ， ，
所以 ，即 ， ，
，

【解析】【分析】（1）根据正弦、余弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理及三角形面积公式即可求出。
19.【答案】 （1）解：甲同学两分球投篮命中的概率为 ，
甲同学三分球投篮命中的概率为 ，
设甲同学累计得分为 ，
则 ，
所以，甲同学通过测试的概率为0.3

（2）解：乙同学两分球投篮命中率为 ，
乙同学三分球投篮命中率为 .
设乙同学累计得分为 ，则 ，
，
设“甲得分比乙得分高”为事件 ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 ，
则 ，
，
由条件概率公式可得
【解析】【分析】 （1）分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X，则P（X≥4）=P（X=4）+P（X=5），由此能求出甲同学通过测试的概率；
（2）乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，求出P（Y=4）=0.128，P（Y=5）=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P（AB）=P（X=5）•P（X=4），P（B）=[P（X=4）+P（X=5）]•[P（Y=4）+P（Y=5）]，由条件概率得： 。
20.【答案】 （1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，

因为 ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面

（2）解：由（1）知： 平面 ，所以 ，在 和 中，由
， 可得 ，所以 ，即 ，
所以 在以 为圆心的圆上，
由 可得 为四边形 外接圆的直径，
， ， ，
以 为原点， 所在的直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 令 ，可得 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为
【解析】【分析】 （1）根据平面与平面垂直的判定定理证明；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
21.【答案】 （1）解：由题意可得 ， ，
又因为以 为直径的圆和 恰好有两个交点，则 ，
，可得 ，因此，椭圆 的方程为

（2）解：由题意可知，直线 、 的斜率存在且不为零，
设过点 的切线 ，
联立 ，消去 可得 ，
由于直线 与椭圆 相切，则 ，
化简并整理得 ，
整理成关于 的二次方程得 （易知 ），
设直线 、 的斜率分别为 、 ，
易知 、 为关于 的二次方程得 的两根，
所以， ， ，所以， ，
，
易知当 时，有 ，
， ，即 的取值范围是
【解析】【分析】 （1）由题中的条件易求出a，b，c，进而求出椭圆的方程，
（2）利用直线与椭圆相切时，直线与椭圆只有一个交点，联立方程即可解决．
22.【答案】 （1）解：因为 ，其定义域为 ，
则 ，且 ，
①若a≤0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，
②当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝a，
当a＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＞1或0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以f（x）在（a，1）上单调递增，在（0，a），（1，+∞）单调递减；
③当a＝1时，f′（x） 0恒成立，即函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＞1时，当1＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＞a或0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以f（x）在（1，a）上单调递增，在（0，1），（a，+∞）单调递减

（2）解：令 ，即 有且仅有3个零点，
∴依题意， 与 的图像有三个交点，
∴由（1）知，必有 和 ，
①当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递增，在（0，a），（1，+∞）单调递减；
∴f（x）的极小值为 ，极大值为 ，
又
，
∴ 与 的图像至多有1个交点，所以舍去；
②当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递增，在（0，1），（a，+∞）单调递减.
∴f（x）的极小值为 ，极大值为 ，
∴只有当 成立，
与 的图像才有三个交点，
当 时， ，下面只需要求解不等式
即 的解集，
令 ，则 等价于
设 ，则 ，令 ，
则 ，令 ，则 ，
且当t＜2时，u′（t）＞0，函数u（t）单调递增，
当t＞2时，u′（t）＜0，函数u（t）单调递减，
又 ，所以 ，即 单调递减，又 ，所以 时， ，
即 ，得到 ，
综上
【解析】【分析】 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），且    ，f′（1）=0，分四种情况①若a≤0，②若0＜a＜1，③若a=1，④若a＞1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=0，得   ，问题可转化为函数   与  的图像有三个交点，由（1）知必有0＜a＜1或a＞1，分两种情况①当0＜a＜1时，②当a＞1时，讨论即可得出答案．