2021-2022学年浙江省温州市平阳县水头学区两校联考八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

这是一份2021-2022学年浙江省温州市平阳县水头学区两校联考八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析），共19页。
2021-2022学年浙江省温州市平阳县水头学区两校联考八年级（上）期中数学试卷
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分共30分）
1．（3分）下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）下列四根木棒中，不能与3cm，7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
4．（3分）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）直线y＝x+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边长的中线，若AC＝6，BC＝8，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
9．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）

A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
10．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．7
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分共30分）
11．（3分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝25°，则另一个锐角∠B＝　 　．
12．（3分）图象经过点（﹣2，4），正比例函数解析式为　 　．
13．（3分）点P（a，﹣3）与点Q（1，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　．
14．（3分）对于一次函数y＝x+2，当﹣3＜x≤3时，则函数值y的取值范围是 　 　．
15．（3分）“对顶角相等”这个命题的逆命题是　 　．
16．（3分）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝　 　．

17．（3分）如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB长最短时点B的坐标为　 　．

18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作直线m∥BC，过AB的中点D作DE⊥CD，DE交直线m于点E，连结CE，已知BC＝5，AC＝12，则AE的长为 　 　．

三、用心做一做（本题有5大题，共46分）
19．（8分）解下列不等式（组），并把第（2）题的解集表示在数轴上．
（1）5x+3≤3（2+x）；
（2）．
20．（8分）如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，AB＝10，请找到一个格点P，连接PA，PB，使得△PAB是等腰三角形，且面积等于30．（请画两种，若所画三角形全等，则视为一种）

21．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．

22．（10分）某商店计划将n瓶蜂蜜装入甲，乙两种礼箱进行出售，其中每个甲种礼箱装6瓶，出售可盈利30元；每个乙种礼箱装4瓶，出售可盈利24元，恰好全部装完，设甲种礼箱的数量为x个，乙种礼箱的数量为y个．
（1）当n＝120时，
①写出y关于x的函数关系式；
②若120瓶蜂蜜全部售出后的利润不低于690元，则售出的甲礼箱的数量至少有多少个？
（2）若n瓶蜂蜜全部售出后平均的利润恰好为5.5元，且甲，乙两种礼箱的个数之和不超过60个，则n的最大值为多少？
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝1时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．



2021-2022学年浙江省温州市平阳县水头学区两校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分共30分）
1．（3分）下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合定义可得答案．
【解答】解：根据轴对称图形的概念知A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣2＜0，所以点P（3，﹣2）在第四象限．
【解答】解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
3．（3分）下列四根木棒中，不能与3cm，7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，由三角形三边关系定理得：7﹣3＜x＜7+3，即4cm＜x＜10cm，
故第三条边的长度不能是4cm．
故选：A．
4．（3分）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．
【解答】解：解不等式得：x＜﹣2．
故选：D．
5．（3分）直线y＝x+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【分析】当直线y＝x+2与y轴相交时，x＝0；将x＝0代入函数解析式求y值．
【解答】解：根据题意，知，
当直线y＝x+2与y轴相交时，x＝0，
∴y＝0+2＝2，
∴直线y＝2x+1与y轴的交点坐标是（0，2）．
故选：A．
6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB＝DE，BC＝EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B＝∠E即可．
【解答】解：A、根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F＝∠BCA，根据AB＝DE，BC＝EF和∠F＝∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB＝DE，BC＝EF和∠A＝∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD＝∠A+∠B，从而求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边长的中线，若AC＝6，BC＝8，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AB＝10；然后根据直角三角形斜边上的中线的性质来求CD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝5．
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）

A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．
【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．
故选：C．
10．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．7
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7﹣x，根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，则2x2﹣14x＝﹣21，整体代入可得结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，

∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝＝＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故选：B．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分共30分）
11．（3分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝25°，则另一个锐角∠B＝　65°　．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
12．（3分）图象经过点（﹣2，4），正比例函数解析式为　y＝﹣2x　．
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）．将点（﹣2，4）代入该正比例函数的解析式，即利用待定系数法即可求得答案．
【解答】解：设这个正比例函数的解析式是y＝kx，
∵正比例函数的图象经过点（﹣2，4），
∴4＝﹣2k，
解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式是y＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
13．（3分）点P（a，﹣3）与点Q（1，b）关于x轴对称，则a+b＝　4　．
【分析】依据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到a，b的值，进而得出结论．
【解答】解：∵点P（a，﹣3）与点Q（1，b）关于x轴对称，
∴a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4，
故答案为：4．
14．（3分）对于一次函数y＝x+2，当﹣3＜x≤3时，则函数值y的取值范围是 　﹣1＜y≤5　．
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝﹣3及x＝3时的y值，进而可得出：当﹣3＜x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1＜y≤5．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大．
当x＝﹣3时，y＝x+2＝﹣3+2＝﹣1；
当x＝3时，y＝x+2＝3+2＝5．
∴当﹣3＜x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1＜y≤5．
故答案为：﹣1＜y≤5．
15．（3分）“对顶角相等”这个命题的逆命题是　如果两个角相等，那么它们是对顶角　．
【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
16．（3分）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝　　．

【分析】根据勾股定理得到BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝8，求得BE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝8，
∴BE＝2，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴（6﹣BD）2+22＝BD2，
∴BD＝，
故答案为：．

17．（3分）如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB长最短时点B的坐标为　（﹣，﹣）　．

【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y＝x得出△AOD是等腰直角三角形，故DE＝OA＝，由此可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵垂线段最短，
∴当点B与点D重合时线段AB最短．
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴DE＝OA＝，
∴D（﹣，﹣）．
故答案是：（﹣，﹣）．

18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作直线m∥BC，过AB的中点D作DE⊥CD，DE交直线m于点E，连结CE，已知BC＝5，AC＝12，则AE的长为 　11.9　．

【分析】取CE的中点F，连接DF，由梯形中位线定理得出DF＝（BC+AE），设DF＝x，则AE＝2x﹣5，求出CE＝2DF＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：取CE的中点F，连接DF，
∵AE∥BC，D是AB的中点，
∴DF＝（BC+AE），
设DF＝x，则AE＝2x﹣5，
又DE⊥CD，F是CE的中点，
∴CE＝2DF＝2x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：122+（2x﹣5）2＝（2x）2，
解得：x＝8.45，
∴AE＝2×8.45﹣5＝11.9；
故答案为：11.9．

三、用心做一做（本题有5大题，共46分）
19．（8分）解下列不等式（组），并把第（2）题的解集表示在数轴上．
（1）5x+3≤3（2+x）；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）5x+3≤3（2+x），
5x+3≤6+3x，
5x﹣3x≤6﹣3，
2x≤3，
x≤1.5；

（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：
．
20．（8分）如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，AB＝10，请找到一个格点P，连接PA，PB，使得△PAB是等腰三角形，且面积等于30．（请画两种，若所画三角形全等，则视为一种）

【分析】直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：△PAB是等腰三角形．

21．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．

【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
22．（10分）某商店计划将n瓶蜂蜜装入甲，乙两种礼箱进行出售，其中每个甲种礼箱装6瓶，出售可盈利30元；每个乙种礼箱装4瓶，出售可盈利24元，恰好全部装完，设甲种礼箱的数量为x个，乙种礼箱的数量为y个．
（1）当n＝120时，
①写出y关于x的函数关系式；
②若120瓶蜂蜜全部售出后的利润不低于690元，则售出的甲礼箱的数量至少有多少个？
（2）若n瓶蜂蜜全部售出后平均的利润恰好为5.5元，且甲，乙两种礼箱的个数之和不超过60个，则n的最大值为多少？
【分析】（1）①根据每个甲种礼箱装6瓶，每个乙种礼箱装4瓶，可得6x+4y＝120，据此可得y关于x的函数关系式；
②根据每个甲种礼箱出售可盈利30元；每个乙种礼箱出售可盈利24元，可得不等式30x+24（﹣1.5x+30）≥690，据此可得x的取值范围，再根据x，y为正整数，且x是2的倍数可得结果；
（2）由题意可得，解得n＝12x，再根据乙两种礼箱的个数之和不超过60个，可得x+y≤60，再把（1）①的结论代入，可得x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）①由题意得：6x+4y＝120，
即y＝﹣1.5x+30；
②∵30x+24（﹣1.5x+30）≥690，
∴x≤5，
∵x，y为正整数，且x是2的倍数，
∴售出的甲礼箱的数量至少有2个；
（2）由题意得：
，
解得：n＝12x，
∵x+y≤60，
即x+（0.25n﹣1.5x）≤60，
∴x+（3x﹣1.5x）≤60，
∴x≤24，即：0＜x≤24，
对n＝12x，
∵k＝12＞0，
∴n随x的增大而增大，
∴n的最大值为＝12×24＝288．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝1时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．


【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点D坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）先计算当S△ABP＝1时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
【解答】解：（1）∵直线AB为y＝x+b交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，AO＝3，
∴直线AB解析式为：y＝x+3，
令y＝0，则0＝﹣x+3，x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴S△AOB＝×OA×OB＝×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB的距离＝＝；
（2）∵点D在直线AB上，
∴当x＝2时，y＝1.5，即点D（2，1.5），
∴PD＝n﹣1.5，
∵OB＝4，
∴；
（3）当S△ABP＝1时，2n﹣3＝2，解得n＝2，
∴点P（2，2）．
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
第1种情况，如图1，当∠CPB＝90°，BP＝PC时，过点C作CN⊥直线x＝2于点N．

∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，
∴∠NPC＝∠EPB＝45°．
又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，
∴△CNP≌△BEP（AAS），
∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，
∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，
∴C（4，4）．
第2种情况，如图2，当∠PBC＝90°，BP＝BC时，过点C作CF⊥x轴于点F．

∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°．
又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6，
∴C（6，2）．
第3种情况，如图3，当∠PCB＝90°，CP＝CB时，

∴∠CPB＝∠EBP＝45°，
在△PCB和△PEB中，
，
∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，
∴C（4，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（4，4）或（6，2）或（4，2）．