【名校试卷】苏州市草桥中学校2019-2020学年8年级数学下册期末测试试卷 （含解析）

这是一份【名校试卷】苏州市草桥中学校2019-2020学年8年级数学下册期末测试试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了5，5），7米的小刚在地面上的投影长为3，6．等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，共20分，每小题2分）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+2x+3＝0C．y2+x＝1D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
3．在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8kmB．5kmC．80kmD．0.5km
4．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（ ）
A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝4，则DF的长是（ ）
A．B．C．10D．6
7．如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC＝90°，且AB＝12cm，BC＝9cm，则△AGD的面积是（ ）
A．9cm2B．12cm2C．18cm2D．20cm2
8．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段放大得到线段AB．若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（ ）
A．（3，6）B．（2，6）C．（3，5）D．（2.5，5）
第6题 第7题 第8题 第9题
9．如图，正方形ABCO的顶点A、C在坐标轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠EBD＝120°，BC＝2，则点E的坐标是（ ）
A．（﹣2+，﹣1）B．（2﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（2﹣，1）
10．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（ ）
A．8B．10C．5D．5
二．填空题（共8小题，共16分，每小题2分）
11．上午某一时刻，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，则影长26米的旗杆高度为 米．
12．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为 ．
13．在反比例函数y＝﹣的图象上有两点（﹣，y1），（﹣2，y2），则y1 y2．（填“＞”或“＜”）
14．一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项系数为 ．
15．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是 ．
16．若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ．
17．如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为 ．

第17题 第18题
三．解答题（共10小题，共54分）
19．（4分）解方程：（1）
20．（8分）解方程：
（1）2x2﹣5x+3＝0 （2）3x2﹣x﹣1＝0．
21．（5分）化简求值：当x＝时，求代数式（）的值．
22．（6分）某厂计划生产10万只一次性无纺布口罩，为尽快完成任务，实际每天生产的数量是原计划的1.25倍，结果提前2天完成任务．求该厂原计划每天生产口罩的数量．
23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
24．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，n）和点B（n+，3），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式
（2）若在x轴上有一点D，其横坐标是1，连接AD、CD，求△ACD的面积
25．（6分）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法应用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
26．（6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
27．（7分）如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，经过点A的直线l交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点C．过点C作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．过点A作AE⊥x轴于点E，交CD于点F，连接DE．设点A的横坐标是a．
（1）若BC＝2AC，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若OC＝3，当四边形BCDE是平行四边形时，求a的值，并求出此时直线l对应的函数表达式．
28．（10分）如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，点P的运动速度是点Q的5倍，设运动的时间为t秒．点Q的横坐标x（单位长度）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示．
（1）请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）当点P在边AB上运动时，求△OPQ的面积最大时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D→A匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，直接写出所有符合条件的t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+2x+3＝0C．y2+x＝1D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断．
【解答】解：A、2x+1＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
B、x2+2x+3＝0，是一元二次方程；
C、y2+x＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程；
D、＝1，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
故选：B．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
3．在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8kmB．5kmC．80kmD．0.5km
【分析】设A、B两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：200000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．
【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，
∵比例尺为1：200000，
∴4：x＝1：200000，
∴x＝800000，
800000cm＝8km．
故选：A．
4．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（ ）
A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝﹣1．
故选：A．
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】将变形为﹣1，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：C．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝4，则DF的长是（ ）
A．B．C．10D．6
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，又DE＝4，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故选：C．
7．如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC＝90°，且AB＝12cm，BC＝9cm，则△AGD的面积是（ ）
A．9cm2B．12cm2C．18cm2D．20cm2
【分析】由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出S△AGD＝S△ABD＝•S△ABC＝
S△ABC，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，所以也可以求出△AGD的面积．
【解答】解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG＝2GD，AD＝DC，
∴S△AGD＝S△ABD＝•S△ABC＝S△ABC，
而S△ABC＝AB×BC＝54，
∴S△AGD＝9cm2
故选：A．
8．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段放大得到线段AB．若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（ ）
A．（3，6）B．（2，6）C．（3，5）D．（2.5，5）
【分析】根据题意得到线段CD和线段AB的位似比是1：3，根据位似变换的性质解答．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴＝，
∴线段CD和线段AB位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故选：A．
9．如图，正方形ABCO的顶点A、C在坐标轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠EBD＝120°，BC＝2，则点E的坐标是（ ）
A．（﹣2+，﹣1）B．（2﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（2﹣，1）
【分析】连接ED交BC于H，根据正方形的性质得到OC＝BC＝2，根据菱形的性质求出EH，根据坐标与图形的性质解答即可．
【解答】解：连接ED交BC于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OC＝BC＝2，
∵四边形BDCE是菱形，
∴∠EBC＝∠EBD＝60°，EB＝EC，CH＝BH＝BC＝1，
∴EH＝BH×tan∠EBC＝，
∴点E的坐标是（2﹣，﹣1），
故选：B．
10．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（ ）
A．8B．10C．5D．5
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣4＝4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，
则AB＝8﹣4＝4，
当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．
∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠DNM＝45°，
∴DM＝DN•sin45°＝2×＝2，
则平行四边形的面积是：AB•DM＝4×2＝8．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．上午某一时刻，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，则影长26米的旗杆高度为 13 米．
【分析】影子是光的直线传播形成的，物体、影子与光线组成一直角三角形；利用数学知识（相似三角形的边与边之间对应成比例）计算．
【解答】解：由题意，根据光的直线传播，根据相似三角形对应边成比例；
由题意可知：，
即：，
∴旗杆高＝13m．
故答案为13．
12．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为 1：9 ．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9．
故答案为：1：9．
13．在反比例函数y＝﹣的图象上有两点（﹣，y1），（﹣2，y2），则y1 ＞ y2．（填“＞”或“＜”）
【分析】直接把点（﹣，y1）和（﹣2，y2）代入反比例函数y＝﹣，求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象上有两点（﹣，y1），（﹣2，y2），
∴y1＝﹣＝4，y2＝﹣＝1．
∵4＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项系数为 ﹣8 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项系数为﹣8．
故答案为：﹣8．
15．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是 ﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．
【解答】解：根据题意知，x＝0是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的根，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得，a＝﹣3或a＝1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1．
故答案是：﹣3．
16．若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
2﹣x﹣m＝2（x﹣3）
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则的值为 ．
【分析】过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，依据△EHG∽△BPG，可得＝，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到EH＝CF，BP＝CF，进而得出＝．
【解答】解：如图，过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，则∠EHG＝∠BPG＝90°，
又∵∠EGH＝∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，
∴＝，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠AFC＝90°，
∴∠DFC＝∠CHE，∠AFC＝∠CPB，
又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CDF＝∠ECH，∠FAC＝∠PCB，
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，
∴＝＝，＝＝1，
∴EH＝CF，BP＝CF，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为 24 ．
【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到＝＝，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
∴OA＝OE，
∵点B恰好为OE的中点，
∴OE＝2OB，
∴OA＝2OB，
设OB＝BE＝x，则OA＝2x，
∴AB＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3x，
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF，
∴＝＝，
∵S△BEF＝1，
∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，
∴S△BCD＝12，
∴S△CDO＝S△BDC＝12，
∴k的值＝2S△CDO＝24．
三．解答题（共10小题）
19．略
20．略
21．化简求值：当x＝时，求代数式（）的值．
【分析】原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式提取﹣1变形后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入化简后的式子中计算即可得到原式的值．
【解答】解：原式＝÷（﹣）＝﹣•＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
22．某厂计划生产10万只一次性无纺布口罩，为尽快完成任务，实际每天生产的数量是原计划的1.25倍，结果提前2天完成任务．求该厂原计划每天生产口罩的数量．
【分析】设该厂原计划每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩1.25x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂原计划每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩1.25x万只，
依题意，得：﹣＝2，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根，且符合题意．
答：该厂原计划每天生产口罩1万只．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再证明AF＝EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由菱形的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA，由角的互余关系证出∠B＝∠BAE，得出AE＝BE，即可得出结果；
（3）由勾股定理求出AC，由面积法求出AE＝＝4.8，再由勾股定理即可得出BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ECA＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝BE＝CE＝BC＝5；
（3）解：∵AC⊥AB，
∴AC＝＝＝8，
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∴AE＝＝＝4.8，
∴BE＝＝＝3.6．
24．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，n）和点B（n+，3），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式
（2）若在x轴上有一点D，其横坐标是1，连接AD、CD，求△ACD的面积
【分析】（1）将A，B两点坐标代入反比例函数y＝，可求m，n即A，B两点坐标，再代入一次函数y＝kx+b，可求解析式．
（2）由题意可得S△ACD＝SCOEA﹣S△COD﹣S△ADE，将线段长度代入，可求．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，n）和点B（n+，3），
∴4n＝m，3（n+）＝m
∴n＝1，m＝4
∴A（4，1），B（，3），反比例函数表达式：y＝
根据题意得：
解得：k＝﹣，b＝4
∴一次函数的表达式y＝﹣x+4
（2）作AE⊥x轴于E，即E（4，0）
∵一次函数的表达式y＝﹣x+4与y轴交于C
∴C（0，4）
∵D（1，0）
∴DE＝3，OD＝1
∵S△ACD＝SCOEA﹣S△COD﹣S△ADE
∴S△ACD＝﹣﹣＝
25．阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法应用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝ ﹣2 ，b＝ 0 ；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式的左边变形，根据偶次方的非负性求出a、b；
（2）用x表示y，把原式变形，根据偶次方的非负性、负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，
∴a2+4a+4+b2＝0，
∴（a+2）2+b2＝0，
∴（a+2）2＝0，b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
故答案为：﹣2；0；
（2）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
原式变形为x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，
整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，
∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，
∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，
∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，
∴x＝4，z＝﹣2，
∴y＝8﹣x＝4，
∴（x+y）z＝．
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（2）根据∠EAC＝∠ECA，∠DAC＝∠CAE，即可得出∠DAC＝∠ECA，进而得到CE∥AD；
（3）先根据∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出＝＝，进而得到＝．
【解答】解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB•AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD＝4，AB＝6，CE＝AB＝AE＝3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
27．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，经过点A的直线l交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点C．过点C作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．过点A作AE⊥x轴于点E，交CD于点F，连接DE．设点A的横坐标是a．
（1）若BC＝2AC，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若OC＝3，当四边形BCDE是平行四边形时，求a的值，并求出此时直线l对应的函数表达式．
【分析】（1）由A点坐标可表示出AE的长，利用相似三角形的性质可求得CO的长，代入反比例函数解析式可表示出D点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，由平行四边形的性质可得△ACF∽△ABE，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得A点坐标，由A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式．
【解答】解：
（1）∵点A的横坐标是a，
∴点A的纵坐标为，
∴AE＝，
∵AE⊥x轴，
∴CO∥AE，
∴△BOC∽△BEA，
∴＝＝，
∴CO＝，
把y＝代入y＝，解得x＝a，
∴D点坐标为（a，）；
（2）∵OC＝3，
∴D点纵坐标为3，
把y＝3代入y＝可得x＝4，
∴D（4，3），
∴CD＝4，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝4，且CD∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴＝，即＝，解得a＝2，
∴A（2，6），且C（0，3），
∴可设直线l的函数表达式为y＝kx+3，
把x＝2，y＝6代入，可得6＝2k+3，解得k＝，
∴直线l的函数表达式为y＝x+3．
28．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，点P的运动速度是点Q的5倍，设运动的时间为t秒．点Q的横坐标x（单位长度）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示．
（1）请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）当点P在边AB上运动时，求△OPQ的面积最大时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D→A匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，直接写出所有符合条件的t的值．
【分析】（1）由图②易求出点Q的坐标及点Q的速度，就可得到点P的速度．
（2）由点A、B的坐标可求出正方形的边长，易证△APM∽△ABF，从而得到AM＝3t，PM＝4t，从而有PN＝OM＝10﹣3t，ON＝PM＝4t，由于OQ＝1+t，因此△OPQ的面积可用t的代数式表示，然后利用二次函数的最值性就可求出△OPQ的面积最大时点P的坐标．
（3）由OP＝PQ，PN⊥OQ得ON＝NQ＝OQ，即xP＝xQ．然后分四种情况进行讨论（点P分别在AB、BC、CD、DA上），利用相似三角形的性质将点P的横坐标用t的代数式表示出来，然后根据xP＝xQ建立方程，就可求出t的值．
【解答】解：（1）由图②可知：
当t＝0时，x＝1，此时点Q的坐标为（1，0）；VQ＝＝1（单位长度/秒）
∵点P的运动速度是点Q的5倍，
∴点P运动速度为每秒钟5个单位长度．
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，如图①，
则BF＝8，OF＝BE＝4．
∴AF＝10﹣4＝6．
在Rt△AFB中，．
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，如图①，
∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴．
∴．
∴AM＝3t，PM＝4t．
∴PN＝OM＝10﹣3t，ON＝PM＝4t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则（0≤t≤2）．
∵＜0，
∴当时，△OPQ的面积S最大．
此时PM＝4×＝，OM＝10﹣3×＝，
则P的坐标为（，）．
（3）∵OP＝PQ，PN⊥OQ，
∴ON＝NQ＝OQ．
∴xP＝xQ．
①当点P在AB上时，此时0≤t≤2，如图①，
4t＝（1+t）．
解得：t＝．
∵0≤≤2，
∴t＝符合要求．
②当点P在BC上时，此时2＜t≤4．
过点P作PK⊥BF交于K，如图③，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABF＝90°﹣∠PBK＝∠BPK．
∵∠AFB＝∠PKB＝90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴＝．
∴＝．
∴BK＝3t﹣6．
∴xP＝8+3t﹣6＝3t+2．
∴3t+2＝（1+t）．
解得：t＝﹣
∵﹣＜2，
∴t＝﹣不符合要求，故舍去．
③当点P在DC上时，此时4＜t≤6．
过点C作CH⊥BF交于H，过点P作PS⊥CH交于点S，如图④，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵∠AFB＝∠BHC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠CBH＝∠BCH．
在△AFB和△BHC中，
．
∴△AFB≌△BHC．
∴BH＝AF＝6，CH＝BF＝8．
同理可得：PS＝4t﹣16．（与②中求BK的方法相同）
∴xP＝8+6﹣（4t﹣16）＝30﹣4t．
∴30﹣4t＝（1+t）．
解得：t＝．
∵＞6，
∴t＝不符合要求，故舍去．
④当点P在AD上时，此时6＜t≤8．
过点P作PT⊥AF交于T，如图⑤，
同理可得：PT＝24﹣3t．（与②中求BK的方法相同）
∴xP＝24﹣3t．
∴24﹣3t＝（1+t）．
解得：t＝．
∵6≤≤8，
∴t＝符合要求．
综上所述：当或时，OP与PQ相等．