苏州工业园区星海实验中学2021-2022学年第一学期九年级数学期中试卷 参考答案与试题解析

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2021.10
一．选择题（共10小题）
1．关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AC＝6cm，那么BC等于（ ）
A．8cmB．cmC．cmD．cm
3．下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．将抛物线y＝x2+2x﹣1的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+6x+10B．y＝x2+4x+2C．y＝x2+2x+3D．y＝x2+38x+2
5．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝2，BC＝1，则sin∠ACD＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1 与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
8．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
9．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+2有（ ）
A．最小值﹣3B．最小值3C．最大值﹣3D．最大值3
10．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜B．＜m＜3C．1＜m＜3D．＜m＜1
二．填空题（共8小题）
11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3的顶点坐标是 ．
12．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+＝0，则∠C＝ 度．
13．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
14．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为 ．
15．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为 ．
16．已知（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣7与x轴的两个交点，则ab＝ ．
17．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 ．
18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为 ．
三．解答题（共10小题）
19．(本题4分)计算：
20．(本题8分)解方程：
（1）
（2）
21．(本题5分)先化简，再求值：÷（a﹣1+），其中a是方程x2﹣x＝6的根．
22．(本题6分)已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
23．(本题10分)某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种商品的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
24．(本题7分)已知抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣2），且经过原点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若将该抛物线平移，设平移后的抛物线的顶点为D，满足直线CD与直线y＝x﹣2平行，且平移后的抛物线经过点（2，9），求平移后的抛物线的解析式．
25．(本题8分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
26．(本题8分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
27．(本题10分)如图1，四边形ABCD是正方形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；动点Q从A出发，以1cm/s的速度沿边AD匀速运动到D终止，若P、Q两点同时出发，运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2．S与t之间函数关系的图象如图2所示．
（1）求图2中线段FG所表示的函数关系式；
（2）当动点P在边AB运动的过程中，若以C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值；
（3）是否存在这样的t，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．
28．(本题10分) 如图1，直线l: y＝x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点.
二次函数y = a2 - 2ax - 2（a > 0）的图像经过点A，交y轴于点C.
（1）则点C坐标为 _________ ；抛物线对称轴是直线 _________ ；a的值是 _________ ；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线/于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM.设点M的横坐标为m.
①当点M位于第一象限的抛物线上，且ACDM是等腰直角三角形时，CM交直线/于点F.设点F至直线DM的距离d1，到y轴的距离为d2，求的值.
②如图2，将ACDM绕点C逆时针旋转得到ACDM，且旋转角∠MCM = ∠OAB，当点M的对应点M落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值.
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…