华师大版九年级下册第27章 圆27.1 圆的认识2. 圆的对称性教学课件ppt

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圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，其中正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
过圆内一点A可以作出(　　)圆的对称轴．A．1条 B．2条C．无数条 D．1条或无数条
按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？
1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的 直径，那么可用几何语言表述为：
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦 的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆 心且垂直于弦的线段、直线均可．(2)垂径定理中的弦可以为直径．(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
2.易错警示：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．弦 与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则 它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中， 弦越长，则其弦心距越小．(2)两条平行弦所夹的弧相等．
例1 如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 2 ，BD= 3 ，则AB 的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上点，且AC＝BD.求证：△OCD为等腰三角形．
要证△OCD为等腰三角形，只需证OC＝OD.
过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图所示．则AM＝BM，∵AC＝BD，∴CM＝DM，又∵OM⊥CD，∴OC＝OD，∴△OCD为等腰三角形．,
(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC等于(　　)A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
(2015·广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)A．CE＝DE B．AE＝OEC. D．△OCE≌△ODE
如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)A．16 B．18 C．19 D．20
1.推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧，即： 要点精析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径．(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：
2．拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线， 它具备以下五个性质： (1)直线过圆心； (2)直线垂直于弦； (3)直线平分弦(不是直径)； (4) 直线平分弦所对的优弧； (5)直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论， 组成的命题都是真命题．
例3 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N分别为AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
如图所示，连结OM，ON，OA，OC.∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN.∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等. 根据垂径定理的推论，连结圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.
如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)A．8 cm　　 cm C．6 cm D．2 cm
如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是(　　)A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距 等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心； ②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．