2015-2016学年武汉市黄陂区九上期中数学试卷【12月联考】

这是一份2015-2016学年武汉市黄陂区九上期中数学试卷【12月联考】，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 3x2−2x−1=0 的二次项系数和常数项分别为
A. 3 和 −2B. 3 和 −1C. 3 和 2D. 3 和 1

2. 点 P5,−1 关于原点的对称点 Pʹ 的坐标为
A. 5,1B. −5,−1C. −5,1D. −1,5

3. 把抛物线 y=2x2 向上平移一个单位长度后，得到的抛物线是
A. y=2x2+1B. y=2x2−1C. y=x+12D. y=x−12

4. 方程 x2−2x−1=0 的两根为 x1，x2，则 x1⋅x2 的值为
A. −1B. 1C. −2D. 2

5. 如图，⊙O 的直径 BA 的延长线与弦 DC 的延长线交于点 E，且 CE=OB，已知 ∠DOB=72∘，则 ∠E 等于
A. 36∘B. 30∘C. 18∘D. 24∘

6. 一个三角形的两边长为 4 和 6，第三边的边长是方程 x−2x−7=0 的两根，则这个三角形的周长是
A. 12B. 12 或 17C. 17D. 19

7. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，AB=5，若以点 C 为圆心，2.3 为半径作 ⊙C，则直线 AB 与 ⊙C 的位置关系是
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定

8. 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 为 BC 的中点，点 E，F 分别在边 AB 和边 AC 上，且 ∠EDF=90∘，则下列结论不一定成立的是
A. △ADF≌△BDEB. S四边形AEDF=12S△ABC
C. BE+CF=2ADD. EF=AD

9. 已知二次函数 y=−x+h2，当 x<−3 时，y 随 x 增大而增大，当 x>0 时，y 随 x 增大而减小，且 h 满足 h2−2h−3=0，则当 x=0 时，y 的值为
A. −1B. 1C. −9D. 9

10. 如图，已知 A，B 两点坐标分别为 8,0，0,6，P 是 △AOB 外接圆上的一点，且 ∠AOP=45∘，则点 P 的坐标为
A. 8,6B. 7,7C. 72,72D. 52,52

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x2−2x−14=0 的判别式的值等于 ．

12. 抛物线 y=x2−6x+8 的顶点坐标为 ．

13. 某校 2013 年组织师生植树共 1000 棵，2014 年和 2015 年继续开展了该项活动，且 2015 年植树共 1440 棵，设近两年植树棵数的年平均增长率为 x，根据题意所列方程为 ．

14. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0，其中 a，b，c 满足 a+b+c=0 和 9a−3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

15. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，BC=3，且 BD=2CD，将线段 DB 绕点 D 逆时针方向旋转至 DBʹ，当点 Bʹ 刚好旋转到 △ABC 的边上，且 △DBBʹ 为等腰三角形时旋转角的度数为 ．

16. 如图，以 O 为圆心的两个同心圆，大圆半径为 5，小圆半径为 5，点 P 为大圆上的一点，PC，PB 切小圆于点 A，点 B，交大圆于 C，D 两点，点 E 为弦 CD 上任一点，则 AE+OE 的最小值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解方程：2x2−3x−2=0．

18. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A1,4，B−2,−5．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当 y>0 时，x 的取值范围是 （直接写出结果）．

19. 如图，在 ⊙O 中，半径OA⊥弦BC 于点 H，点 D 在优弧 BC 上．
（1）若 ∠AOB=50∘，求 ∠ADC 的度数；
（2）若 BC=8，AH=2，求 ⊙O 的半径．

20. 在如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：
（1）作出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A1B1C1，写出点 B1 的坐标 ；
（2）作出 △A1B1C1 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 的 △A2B2C2，写出点 C2 的坐标 ．

21. 如图，已知直线 PA 交 ⊙O 于 A，B 两点，AE 是 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 上的一点，且 AC 平分 ∠PAE，过 C 作 CD⊥PA 于点 D．
（1）求证：CD 为 ⊙O 的切线．
（2）若 DC+DA=6，AE=26，求 AB 的长．

22. 将一根长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，设其中一段铁丝长为 4x cm，两个正方形的面积和为 y cm2．
（1）由题意，另一段铁丝的长为 20−4xcm，则边长分别为 x cm，5−xcm，
（2）要使这两个正方形面积之和为 17 cm2，那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（3）要使这两个正方形面积之和最小，则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少?这两个正方形面积之和最小为多少?

23. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，点 D，E 在边 AB 上，且 ∠DCE=45∘．
（1）以点 C 为旋转中心，将 △ADC 顺时针旋转 90∘，画出旋转后的图形；
（2）若 AD=2，BE=3，求 DE 的长；
（3）若 AD=1，AB=5，直接写出 DE 的长．

24. 如图，已知抛物线 y=mx2+2mx+cm≠0，与 y 轴交于点 C0,−4，与 x 轴交于点 A−4,0 和点 B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若 P 是线段 OC 上的动点，过点 P 作 PE∥OA，交 AC 于点 E，连接 AP，当 △AEP 的面积最大时，求此时点 P 的坐标；
（3）点 D 为该抛物线的顶点，⊙Q 为 △ABD 的外接圆，求证 ⊙Q 与直线 y=2 相切．
答案
第一部分
1. B【解析】方程 3x2−2x−1=0 的二次项系数和常数项分别为 3 和 −1．
2. C
3. A【解析】∵ 抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 0,0，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标是 0,1，
∴ 得到的抛物线解析式是 y=2x2+1．
4. A【解析】∵ 方程 x2−2x−1=0 的两实根为 x1，x2，
∴x1⋅x2=−1．
5. D
【解析】如图：连接 OC．
CE=OB=CO，得 ∠E=∠1．
由 ∠2 是 △EOC 的外角，得 ∠2=∠E+∠1=2∠E．
由 OC=OD，得 ∠D=∠2=2∠E．
由 ∠3 是 △ODE 的外角，得 ∠3=∠E+∠D=∠E+2∠E=3∠E．
由 ∠3=72∘，得 3∠E=72∘．
解得 ∠E=24∘．
6. C【解析】方程 x−2x−7=0，
解得：x=2 或 x=7，
若 x=2，三边为 2，4，6，2+4=6，不能构成三角形，舍去；
所以 x=7，即三角形第三边为 7，
则这个三角形的周长为 4+6+7=17．
7. A【解析】∵∠ACB=90∘，AC=3，AB=5，
∴BC=52−32=4，
设 AB 边上的高为 d，
根据三角形的面积公式得：3×4=5×d，
∴ d=125=2.4>2.3，即 d>r，
∴⊙C 与 AB 相离．
8. D【解析】∵∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 为 BC 的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90∘，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，
∵∠EDF=90∘，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90∘，
∴∠BDE=∠ADF，
在 △ADF 和 △BDE 中，
∠B=∠DAF,AD=BD,∠ADF=∠BDE,
∴△ADF≌△BDE，
∴S△ADF=S△BDE，
∵S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE=S△ABD，
∵S△ABD=12S△ABC，
∴S四边形AEDF=12S△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AC=2AD，
∵AD=12BC，
当 EF∥BC 时，EF=12BC，而 EF 不一定平行于 BC，
∴EF 不一定等于 12BC，
∴EF≠AD．
9. C
10. B
【解析】如图，作 PH⊥x 轴于 H，连接 PA，PB，
因为 ∠AOB=90∘，
所以 AB 为 △AOB 外接圆的直径，
所以 ∠BPA=90∘，
因为 A，B 两点的坐标分别为 8,0，0,6，
所以 OA=8，OB=6，
所以 AB=OA2+OB2=10，
因为 ∠AOP=45∘，
所以 ∠ABP=45∘，
所以 △PAB 和 △POH 都为等腰直角三角形，
所以 PA=22AB=52，PH=OH，
设 OH=t，则 PH=t，AH=8−t，
在 Rt△PHA 中，
因为 PH2+AH2=PA2，
即 t2+8−t2=522，
解得 t1=7，t2=1（舍去），
所以 P 点坐标为 7,7．
第二部分
11. 5
12. 3,−1
【解析】因为 y=x2−6x+8=x−32−1，
所以二次函数 y=x2−6x+8 图象的顶点坐标为：3,−1．
13. 10001+x2=1440
【解析】根据题意得：10001+x2=1440．
14. x=−1
【解析】方程 9a−3b+c=0 减去方程 a+b+c=0，可得 8a−4b=0，
根据对称轴公式整理得：对称轴为 x=−b2a=−1．
故该二次函数图象的对称轴是直线 x=−1．
15. 80∘ 或 120∘
【解析】当点 Bʹ 落在 AB 上，如图 1，
因为线段 DB 绕点 D 逆时针方向旋转至 DBʹ，
所以 ∠BDBʹ 等于旋转角，DB=DBʹ，
所以 ∠B=∠DBʹB=50∘，
所以 ∠BDBʹ=180∘−50∘−50∘=80∘，
即旋转角为 80∘；
当点 Bʹ 落在 AC 上，如图 2，
则 ∠BDBʹ 等于旋转角，DB=DBʹ，
因为 BD=2CD，
所以 DBʹ=2CD，
在 Rt△CBʹD 中，
因为 cs∠CDBʹ=CDDBʹ=12，
所以 ∠CDBʹ=60∘，
所以 ∠BDBʹ=120∘．
即旋转角为 120∘．
综上所述，△DBBʹ 为等腰三角形时旋转角的度数为 80∘ 或 120∘．
16. 53
【解析】如图所示，连接 PO，并延长 OP 到 Oʹ 交 CD 于点 G，使 OG=OʹG，连接 AOʹ 交 CD 于点 E，连接 OE，过点 A 作 AF⊥OP，垂足为 F，连接 OA，OB．
∵PB 是小圆的切线，
∴OB⊥PD，
∴PB=BD．
在 Rt△OPB 中，PB=OP2−OB2=52−52=25．
∴PD=45．
同理：PC=45．
∴PC=PD．
∵PA，PB 是小圆的切线，
∴PO 平分 ∠CPD，
∴PG⊥DC，
∴CD 是 OOʹ 的垂直平分线，
∴OE=OʹE，
∴AE+EO=AE+EOʹ=AOʹ．
∵cs∠AOF=AOOP=55，
∴OF=AO×cs∠AOF=5×55=1，AF=2OF=2．
∵PG=PC×255=45×255=8，
∴OG=PG−OP=3，
∴FOʹ=1+3+3=7．
在 Rt△AFOʹ 中，AOʹ=AF2+FOʹ2=22+72=53．
第三部分
17.
x−22x+1=0,x−2=0或2x+1=0,∴x1=2,x2=−12.
18. （1） 把 A1,4，B−2,−5 代入抛物线 y=−x2+bx+c 得 −1+b+c=4,−4−2b+c=−5, 解得：b=2,c=3.
此抛物线的解析式 y=−x2+2x+3．
（2） −1【解析】抛物线 y=−x2+2x+3 开口向下，
当 y=0 时，解得 x=−1 或 x=3．
与 x 轴的交点坐标为 −1,0，3,0，顶点坐标为 1,4，
当 y>0 时，x 的取值范围是 −119. （1） ∵ 半径OA⊥弦BC 于点 H，
∴ AB=AC，
∴ ∠ADC=12∠AOB，
∵ ∠AOB=50∘，
∴ ∠ADC=25∘．
（2） ∵ 半径OA⊥弦BC 于点 H，
∴ BH=12BC，
∵ BC=8，
∴ BH=4，
设 HO=x，则 AO=BO=x+2，
在 Rt△BHO 中，BO2=HO2+BH2，
∴ x+22=x2+42，
解得：x=3，
∴ AO=5．
答：⊙O 的半径为 5．
20. （1） 4,−4
【解析】如图，△A1B1C1 为所作，点 B1 的坐标为 4,−4；
（2） 1,4
【解析】如图，△A2B2C2 为所作，点 C2 的坐标为 1,4．
21. （1） 连接 OC．如图 1，
因为 OC=OA，
所以 ∠OAC=∠OCA．
因为 AC 平分 ∠PAE，
所以 ∠DAC=∠OAC，
所以 ∠DAC=∠OCA，
所以 OC∥AP，
因为 CD⊥PA，
所以 ∠ADC=∠OCD=90∘，
即 CD⊥OC，点 C 在 ⊙O 上，
所以 CD 是 ⊙O 的切线．
（2） 过 O 作 OM⊥AB 于 M．如图 2，
即 ∠OMA=90∘，AM=BM，
因为 ∠MDC=∠OMA=∠DCO=90∘，
所以四边形 DMOC 是矩形，
所以 OC=DM，OM=CD．
因为 AE=26，
所以 AO=13，
所以 OC=AO=13，
所以 DM=13，
所以 AM=13−DA，
因为 DC+DA=6，
所以 OM=CD=6−DA，
因为在 Rt△AMO 中，∠AMO=90∘，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．
所以 132=6−DA2+13−DA2，
所以 DA=1 或 DA=18（舍去），
所以 AM=13−1=12，
所以 AB=2AM=24．
22. （1） 则 y=x2+5−x5−x=2x2−10x+25．
（2） 当 y=17 时，即 2x2−10x+25=17，
解得：x=1 或 x=4，
故这根铁丝剪成两段后的长度分别是 4 cm，16 cm．
（3） ∵y=2x2−10x+25=2x−522+12.5，
当 x=2.5 时，y 取得最小值，最小值为 12.5．
∴ 铁丝剪成两段长度均为 10 cm 时面积之和最小，最小面积和为 12.5 cm2．
23. （1） 如图，△BCF 为所作．
（2） 连接 EF，如图，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45∘，
∵△ADC 顺时针旋转 90∘ 得到 △BCF，
∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90∘，∠CBF=∠A=45∘，
∵∠DCE=45∘，
∴∠FCE=45∘，
在 △DCE 和 △FCE 中，
CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=FE，
在 △BEF 中，
∵∠EBC=45∘，∠CBF=45∘，
∴∠EBF=90∘，
∴EF=32+22=13，
∴DE=13．
（3） 178．
【解析】∵AD=1，AB=5，
∴BD=4，
设 ED=x，则 BE=4−x，
由（2）得 EF=DE=x，BF=AD=1，
在 Rt△BEF 中，12+4−x2=x2，解得 x=178，
即 DE 的长为 178．
24. （1） 把点 C0,−4，点 A−4,0 坐标代入：y=mx2+2mx+cm≠0 得：−4=c,0=16m−8m+c,
解得：c=−4,m=12,
所以：抛物线的解析式为：y=12x2+x−4．
（2） 设点 P0,t，−4由 PE∥OA 可知：△CPE，△POA，△AOC 均为直角三角形，△CPE∽△COA，
所以：PEOA=PCOC，PE4=t+44，解得：PE=t+4，
所以：
S△AEP=12×OA×OC−12×OA×OP−12×PC×PE=12×4×4−12×4×−t−12×t+4×t+4=−12t2−2t.
所以：当 t=−−22×−12=−2 时，△AEP 的面积最大．
此时：P0,−2．
（3） 过点 D 作 DM⊥x轴，垂足为 M，如图，
抛物线的解析式为：y=12x2+x−4=12x+12−92，
所以：顶点 D−1,92，点 M−1,0，AM=−1−−4=3，
由圆和抛物线的对称性可知：圆心 Q 在 DM 上，QM⊥AB，
设 ⊙Q 的半径为 r，则 AQ=r，QM=92−r，
由勾股定理得：r2=92−r2+32，解得：r=134，QM=92−r=54，
所以 Q−1,−54，
因为直线 y=2 与 x 轴平行，
所以点 Q 到直线 y=2 的距离为：2−−54=134，
所以：圆心 Q 到直线 y=2 的距离等于圆的半径，
所以：⊙Q 与直线 y=2 相切．