2015-2016学年武汉市江岸区九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市江岸区九上期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若关于 x 的方程 a−1x2+2x−1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是
A. a≠1B. a>1C. a0）的图象与 x 轴分别交于点 A，B（点 A 位于点 B 左侧），与 y 轴交于点 C0,−3，点 D 在二次函数图象上，且 CD∥AB，连接 AD；过点 A 作射线 AE 交二次函数于点 E，使 AB 平分 ∠DAE．
（1）当 a=1 时，求点 D 的坐标；
（2）证明：无论 a，m 取何值，点 E 在同一直线上运动；
（3）设该二次函数图象顶点为 F，试探究：在 x 轴上是否存在点 P，使以 PF，AD，AE 为边构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形?如果存在，请用含 m 的代数式表示点 P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. D
7. C
8. B
9. D
10. D
第二部分
11. 3，−2，−1
12. 1,−2
13. −2
14. 1722
15. x3
16. 4
第三部分
17. 因为
a=1,b=1,c=−3.
所以
Δ=b2−4ac=12−4×1×−3=13>0.
x=−b±b2−4ac2a=−1±132.
所以
x1=−1+132,x2=−1−132.
18. （1） 设抛物线解析式为 y=ax−12−4，
把 −2,5 代入得 a⋅−2−12−4=5，
解得 a=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x−12−4，
即 y=x2−2x−3．
（2） 当 y=0 时，x2−2x−3=0，
解得 x1=−1，x2=3，
则抛物线与 x 轴的两交点坐标为 −1,0，3,0，
而抛物线的开口向上，
∴ 当 x3 时，y>0．
19. ∵CD⊥AB，CO⊥AD，
∴∠OEC=∠OFA=90∘，AD=2AF，CD=2CE，
在 △OCE 和 △OAF 中，
∠COE=∠AOF,∠OEC=∠OFA,OC=OA,
∴△OCE≌△OAF，
∴CE=AF，
∴AD=CD．
20. （1） 如图 1，△ABʹCʹ 为所作：
（2） 如图 2，
1,1
（3） 54π+1
21. 设横彩条的宽度是 2x cm，竖彩条的宽度是 3x cm，则
30−6x20−4x=1−925×20×30,
解得
x1=1或x2=9.∵4×9=36>20,∴x=1,∴
横彩条的宽度是 2 cm，竖彩条的宽度是 3 cm．
22. （1） 设购买羽绒服 x 件，则购买皮衣 20−x 件，则：x≥20−x,−20x+1500≥1240,00，
∴ 当 10≤x≤13 且为整数时，W 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=13 时，W 最大，且最大值为 W=30×13−92+9570=10050．
答：当采购羽绒服 13 件时，有最大利润为 10050 元．
23. （1） AF=BM+MF
（2） 如图，过点 A 作 AG⊥CM 于 G，反向延长 GA 交 EN 于 H，
∵ BM⊥CM，EN⊥BM，AG⊥CM，
∴ ∠GMN=∠ENM=∠AGM=90∘，
∴ 四边形 GMNH 为矩形，
∴ AH⊥EN，
∵ ∠ACB=90∘，CM⊥BM，AG⊥CM，
∴ ∠BMC=∠CGA=∠ACB=90∘，
∴ ∠ACG+∠BCM=∠ACG+∠CAG=90∘，
∴ ∠BCM=∠CAG，
在 △ACG 和 △CBM 中，
∠CAG=∠BCM,∠CGA=∠BMC,AC=CB,
∴ △ACG≌△CBM，
同理 △AEH≌△EDN，
∴ CM=AG，EN=AH，
∴ MN=GH=GA+AH=CM+EN．
（3） 如图 3，
CP=PE，且 CP⊥PE，理由如下：
取 AB 的中点 M，AD 的中点 N，连接 PM，CM，NE，PN，
∵ △BCA 与 △AED 均为等腰直角三角形，
∴ CM=BM=AM，CM⊥BA，EN=AN=DN，NE⊥AD，
∵ P 为 BD 中点，
∴ PN=AM=BM=CM，PN∥BA，PM=AN=DN=NE，PM∥AD，
∴ AMPN 是平行四边形，
∴ ∠BMP=∠BAD=∠PND，
∴ ∠PMC=∠ENP，
在 △PNE 和 △CMP 中，
NP=MC,∠ENP=∠PMC,NE=MP,
∴ △PNE≌CMP，
∴ CP=PE，∠EPN=∠PCM，
∵ CM⊥AB，PN∥AB，
∴ CM⊥PN，
延长 CM 分别交 PN，PE 于点 H，Q，则 ∠PHQ=90∘，
∴ ∠HPQ+∠PQH=90∘，
∵ ∠PCH=∠HPQ，
∴ ∠PCH+∠PQH=90∘，
∴ ∠CPQ=90∘，
∴ CP⊥PE，
综上所述，CP=PE 且 CP⊥PE．
24. （1） 当 a=1 时，y=ax2−2mx−3m2=x2−2mx−3m2，
∵ 二次函数图象与 y 轴交于点 C0,−3，
∴−3m2=−3，解得：m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴ 抛物线解析式为：y=x2−2x−3=x−12−4，
∵C，D 关于直线 x=1 对称，
∴D 点坐标为：2,−3．
（2） 作 D 关于 x 轴对称的点 Dʹ，则点 Dʹ 必在射线 AE 上，如图 1，
当 y=0，则 0=ax2−2mx−3m2，解得：x1=−m，x2=3m，
当 x=0，y=−3am2，可得：A−m,0，B3m,0，C0,−3am2，D2m,−3am2，
∴Dʹ2m,3am2，
∵ 点 C 坐标为 0,−3，
∴−3am2=−3，则 am2=1，
可求得直线 ADʹ 的解析式为：y=1mx+1，
联立 y=1mx+1,y=ax2−2mx−3m2, 整理得 x2−3mx−4m2=0，解得 x1=4m，x2=−m（舍去），
∴E4m,5，
∴E 在直线 y=5 上运动．
即无论 a，m 取何值，点 E 在同一直线上运动．
（3） 由（2）得：Fm,−4，E4m,5，A−m,0，D2m,−3，设 Pb,0，
∴PF2=m−b2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25，
若以 PF，AD，AE 为边构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形，则有 m−b2+16+9m2+9=25m2+25，解得：b1=−3m，b2=5m，
∴P 的坐标为 −3m,0 或 5m,0．