广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底数学试卷及答案解析

广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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1.设集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

2.（    ）

A.1 B.2 C.−i D.−2i

3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（    ）

A.280种 B.350种 C.70种 D.80种

4.一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为（    ）

A.30° B.45° C.15° D.60°

5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（    ）

A. B. C. D.

6.若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是（    ）

A. B.

C. D.

7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是（    ）

A. B.2 C. D.

8.直线是曲线和曲线的公切线，则（    ）

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

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9.椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．

10.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________（用数字作答）．

11.已知、为锐角三角形的两个内角，，，则____．

12.一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．

13.在①，②，③

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在非直角△，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

14.已知数列是正项等比数列，满足，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

15.如图，三棱锥中，，，平面底面，、分别是、的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正切值．

16.某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图

下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表

（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．

（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．

17.已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）讨论的零点的个数．

18.已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求直线的方程;

（3）若为直线上的动点，求的最小值．

19.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

20.如图是函数的部分图象，则（    ）

A. B.

C. D.

21.已知，则（    ）

A. B.

C. D.

22.已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为

其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（    ）

A. B.

C. D.

参考答案

1.A

【解析】1.

本题首先可以通过对不等式、进行计算得出集合和集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果.

，即或，则集合，

，即，解得，则集合，

故，

故选：A.

2.B

【解析】2.

利用复数的四则运算，计算结果即可.

化简得.

故选：B.

3.B

【解析】3.

对医生a去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果.

若医生a去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；

若医生a去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；

所以不同的选派方式共有种.

故选：B.

4.D

【解析】4.

分析得平面与圆锥底面平行，求直线与圆锥底面所成的角，即得结果.

如图所示截面为正三角形的三棱锥中，在球上，过作与球相切的平面必然与圆锥底面平行，则直线与平面所成的角，即直线与圆锥底面所成的角，即，

故选：D.

5.A

【解析】5.

根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可；

由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏

∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：两种乐器都会演奏的同学

故选：A

6.D

【解析】6.

分析出函数在单调递增，可得出，然后分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

由于定义在上的奇函数在单调递增，则该函数在单调递增，

且，.

显然当时，；

当时，由可得，解得；

当时，由可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

7.C

【解析】7.

构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设则可用坐标表示，由于是两个相互独立的变量，即可将代数式中含和的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为的最大值

构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：

由正方形ABCD边长为1，知：，

若令，即，；

∴，而，，

则在上或有最大值为0，

在上有最大值为1；

∴的最大值为1

故选：C

8.C

【解析】8.

由可求得直线与曲线的切点的坐标，由可求得直线与曲线的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线的方程，可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.

设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，

，则，由，可得，

则，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①

，则，由，可得，

，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，，②

联立①②可得，.

故选：C.

9.

【解析】9.

根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中三者之间的关系，可以求得，设出，由两点间距离公式可以求得，根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得，之后代入求得，得到结果.

在已知椭圆中，，

因为直线过原点，交椭圆于两点，

则与关于原点对称，

又、都与轴垂直，

设，则，

又在椭圆上，则，得，

则，

故答案为：.

10.

【解析】10.

本题首先可以根据题意确定数列的前项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果.

因为数列是由数列与的公共项从小到大排列得到，

所以数列的前项为、、、、、，

则的前项和为，

故答案为：.

11.

【解析】11.

由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角得到，最后利用二倍角公式得到答案.

因为、为锐角三角形的两个内角，

所以，，

因为，，

所以，，

所以

，

则，

故答案为：.

12.

【解析】12.

由球体的表面积公式求出半径，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为即有、，最后利用长方体的体积公式有，利用基本不等式即可求其最大值

由半径为的球的表面积为，知：，有；

由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为，则，；

∴，而长方体体积

∴当且仅当时等号成立

故答案为：

13.答案见解析.

【解析】13.

利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到，结合题设可知且、，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求的值；

△中，由，得

∴；

∵△不是直角三角形；

∴，则有，即，而，即有；

选①：由，及 得；

由 得不合理，故△不存在.

选②：由得：，故有；

∴为直角，不合题设，故△不存在．

选③：由 得：．

14.（1）；（2）.

【解析】14.

（1）本题首先可设数列的公比为，然后根据题意得出，通过计算求出和的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后根据得出，最后通过裂项相消法求和即可得出结果.

（1）设正项等比数列的公比为，

因为，，

所以，解得，

故的通项公式.

（2）因为，所以，

则，

故数列的前项和为：

．

15.（1）证明见解析；（2）.

【解析】15.

（1）利用等腰三角形三线合一可得，由面面垂直的性质定理可得出平面；

（2）取中点，连接、，证明出平面，可得出二面角的平面角为，通过解可求得，进而得解.

（1）证明：，是中点，，

平面底面，平面底面， 平面，

平面；

（2）如图，取的中点，连接、，则，

，是的中点，，则，

，，，，，

平面，平面，，

，平面，

平面，，为二面角的平面角.

在中，，因此，二面角的正切值为.

16.（1）118元；（2）答案见解析.

【解析】16.

（1）根据产品等级得取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；

（2）先列出患者购买一件合格品费用的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.

解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则，根据频数分布表得到的分布列为:

设备升级前利润的期望值为:

∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．

 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)

则，患者购买一件合格品的费用的分布列为

故患者随机购买两件时

则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为

17.（1）减区间是，增区间是；（2）时，有两个零点；时， 只有一个零点．

【解析】17.

（1）利用函数求导，判断导数符号确定的单调性即可；

（2）对进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.

解：（1）∵

∴

时，故时，时.

∴时，的减区间是，增区间是；

（2）①时，∵且的减区间是，增区间是

∴是的极小值，也是最小值，，

取且则

∴在和上各一个零点；

②时，，只一个零点，

综上，时，有两个零点；时，一个零点．

18.（1）；（2）；（3）．

【解析】18.

（1）利用点到直线的距离公式直接求解的值，便可确定抛物线方程；

（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点，得到直线方程；

（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.

(1)由到直线的距离为

得

得或

∵

∴

∴抛物线

(2) 由知

∴

设切点，

则

即

∵，

∴即

∴．

(3)若为直线上的动点，设，则

由(2)知

∵，

∴

∴与联立消得

…………“＊”     

则，是“＊”的二根

∴

当时，得到最小值为．

19.AB

【解析】19.

对双曲线的焦点位置进行讨论，得关系，再计算离心率即可.

若双曲线焦点在轴上，因为渐近线方程为，故，；

若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，.

故选：AB.

20.BCD

【解析】20.

由图象可求得函数的振幅以及最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式可求得的值，结合诱导公式可得出合适的选项.

由图象可得，该函数的最小正周期满足，可得，

，所以，，

又，可得，，

，B、D选项合乎要求；

对于A选项，，不合乎要求；

对于C选项，，C选项合乎要求.

故选：BCD.

21.ACD

【解析】21.

由异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误；

即异号；

∴成立，故A正确，而B错误；

又，故C正确；

当且仅当时等号成立，故D正确

故选：ACD

22.CD

【解析】22.

先求出和，并判断，则排除选项A，判断选项C正确；

再求出的分布列和的解析式，最后求出，则排除选项B；判断选项D正确.

解：因为，

则，

，

令时，，

故选项A错误，选项C正确；

连续抛掷两次骰子，向下点数之和为，则的分布列为：

故选项B错误；选项D正确.

故选：CD.