山西省太原市2020届高三第二次模拟考试（6月）数学试卷

数学

第Ⅰ卷  （选择题   共60分）

一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）

1．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝(　　)

A．[－1,1]B．(－1,1]C．(－1,2)  D．[1,2)

2.已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)

A.1           B.－1          C.i D.－i

3．已知a＝()，b＝2，c＝9，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

4.若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为（   ）

A.2   B.4  C.6  D.8

5.函数的图象大致为（  ）

6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为(　　)

A. B.

C.1－ D.1－

7.向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D．

8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

A．     B． 

C．                    D．

9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2019的值为(　　)

A．2020  B．4032  C．5041  D．3019

10.已知抛物线C的方程为,F为其焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点，则|AP||BQ|的取值范围为（ ）

  A.  B.  C.  D.

11.已知函数 ,给出下列四个结论：

（1）f(x)不是周期函数 

(2)f(x)是奇函数

（3）f(x)的图象关于直线对称

（4）f(x)在处取得最大值

其中所有正确结论的编号是（   ）

A.（1）（3）   B.（2）（4）  C.（1）（3）（4）   D.（1）（2）（4）

12.已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=,E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A.  B.   C.   D.

第Ⅱ卷  （非选择题   共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝______.

14.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5=______.

15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.

16. 已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿

三、解答题（共70分）17.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

18.在中, ,其中角的对边分别为；

(1)求的值;

(2)若,,求向量在方向上的投影.

19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．

（1）求物理原始成绩在区间的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．

（附：若随机变量，则，，）

20.已知椭圆C:（）的离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆C于另一点E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与x轴相交于定点.

21.已知函数，其中k∈R.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值的表达式，并求的最大值.

选考题：满分10分，请考生在22、23题中任选 一题作答，如果多选，则所做第一题计分.

22.在平面直角坐标系中，的方程为，的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求和的极坐标方程；

（2）直线与交于点，与交于点（异于），求的最大值.

23.已知函数.

（1）解不等式；

（2）当，时，证明：

数学答案

BBACD CBDBB AB

-3    0.046 08    

17.

18、解:(1)由已知得：       ,即                          又,所以                                               (3)由正弦定理,有 ,所以,                由题知,则 ,故.                              根据余弦定理,有 ,

解得 或 (负值舍去),               向量在方向上的投影为            

19.【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．

【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，

所以

．

所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．

（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．

所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，

所以 ，

，

，

 ．

所以的分布列为

所以数学期望．

20.【答案】（1）；（2），证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）设点O关于直线的对称点为，根据一垂直二平分，解得，再结合离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上，由求解.

（2）设直线的方程为，且，，则，与椭圆方程联立，通过，解得直线的斜率取值范围；写出直线的方程为，令，得，然后将韦达定理代入求解.

【详解】（1）设点O关于直线的对称点为，则

，

解得，

依题意，得，

∴，，，

∴椭圆C的方程是；

（2）设直线的方程为，且，，

则，

由，消去y得，

，

解得，且，

∴直线的斜率取值范围是；

由韦达定理得：，

直线的方程为，

令，解得：

，

，

，

∴直线与x轴交于定点.

21.【答案】（1）详见解析过程；（2），，.

【解析】

【分析】

（1）求出，分别讨论，，时正负情况即可；

（2）判断函数在[0，k]上单调性，求出，再利用导数求最值即可.

详解】（1），

当时，令得，令得，故的单调递增区间为的单调递减区间为

当时，令得，或，

当时，当时或；当时；的单调递增区间为；减区间为.

当时，当时；当时；的单调递增区间为；

（2）当时，由（1）知，的单调递增区间为为；减区间为.

令，，

故在上单调递减，故，

所以当[0，k]时函数单调减区间为，单调增区间为；

故函数

由于

对于，，即，当时等号成立， 

故.

当时由（1）知；的单调递增区间为；所以当[0，k]时函数单调递增，故.

综上所述：函数在[0，k]上的最大值为，

，由于，

∴对恒成立

∴在上为增函数.

∴.

22.【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）结合直角坐标方程、参数方程和极坐标方程间的关系，求出直线l和曲线C的极坐标方程即可；

（2）将射线与曲线C和直线l的极坐标方程联立，可求得的表达式，然后求出的取值范围即可.

【详解】（1）由得，即，

所以的极坐标方程为.

由得，即，

所以，即，

所以的极坐标方程为.

（2）由得，

由得，

所以，

所以当或时，的最大值为.

23.【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意，代入得到不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集；

（2）根据绝对值的三角不等式，以及基本不等式，即可作出证明.

【详解】（1）由得，

当时，得，所以；

当时，得，所以；

当时，得，所以；

综上，此不等式的解集为：；

（2）由 ，

由绝对值不等式得，

又因为同号，所以，

由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，

所以.