2022年高考数学一轮复习模拟试卷（理数）（解析版+原卷版）

这是一份2022年高考数学一轮复习模拟试卷（理数）（解析版+原卷版），文件包含2022年高考数学一轮复习模拟试卷理数学生版docx、2022年高考数学一轮复习模拟试卷理数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量满足：，则向量在向量方向上的投影为
A．4 B．2 C．2 D．4
5．已知双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．



6．如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,AD平分∠BAC,则BD的值为

A． B． C． D．
7．如图所示的程序框图，若执行运算，则在空白的执行框中，应该填入

A． B．
C． D．
8．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是
A． B． C． D．




9．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A．0 B． C． D．
10．已知函数，若在区间上的最大值为，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知定义域为R的奇函数，当时，，当时，，则
A． B． C． D．
12．设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.
14．设变量满足约束条件,则的最大值是_________.
15．已知（），则________________.
16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为4，则该圆锥的体积为___________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分
17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．








18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，CC1的中点．
（1）画出平面EFG截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；
（2）求二面角G﹣EF﹣B1的余弦值．









19．已知△ABC中，AB＝BC＝，且AC2+2AB＝5．
（1）求∠ABC的值；
（2）若P是△ABC内一点，且∠APB＝，∠CPB＝，求tan∠PBA．










20．已知实数a≠0，设函数f（x）＝eax﹣ax．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＞时，若对任意的x∈[﹣1，+∞），均有f（x）≥（x2+1），求a的取值范围．








21．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M．
（1）若直线m的斜率为，求的值；
（2）设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程．













（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A（ρ1，φ），B（ρ2，φ+），C（ρ3，φ﹣）（ρ1，ρ2，ρ3＞0）都在曲线M上．
（1）求证：＝ρ2+ρ3；
（2）若过B，C两点直线的参数方程为（t为参数），求四边形OBAC的面积．







[选修4-5:不等式选讲]
23．已知实数a，b，c，满足a+b+c＝1．
（1）若a，b∈R+，c＝0，求证：（a+）2+（b+）2≥；
（2）设a＞b＞c，a2+b2+c2＝1，求证：a+b＞1．













参考答案
1．C
【解析】=，
故选C.
2．A
【解析】
, 元素的个数为2,选A.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
3．A
【解析】
由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且自变量趋向于正无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越大.
对于A,符合上述分析,故A正确;
对于B,振幅变化规律与函数的性质相悖,故B不正确;
对于C,是一个偶函数的图像,而已知的函数不是一个偶函数,故C不正确;
对于D,最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,故D不对确.
故选:A.
4．A
【解析】
分析：根据投影的定义应用公式 求解．
详解：根据投影的定义，
可得向量在向量方向上的投影是：．
故选A．
点睛：本题主要考查向量的投影的概念，要熟练应用公式求解．
5．C
【解析】依题意，，故.
6．B
【解析】根据内角平分线定理可知
,所以,应选B.
7．C
【解析】试题分析：因为执行运算，所以当，.依次可得结论.
8．B
【解析】不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
9．A
【解析】如图


所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
10．B
【解析】解：在区间上的最大值为，
在区间上的最大值为1，
，，，
的最小值是．
故选：．
11．B
【解析】定义域为R的奇函数，当时，，则
则 又当时，， 故.
故选B.
12．B
【解析】设直线交轴于点，

是底角为的等腰三角形，，，
在中，，，，
为直线上一点，，即，．
故选：B．
13．
【解析】由曲线在点处的切线方程是，故，

又
在点处的切线方程是：
故答案为：.
14．
【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数过点时取得最大值，
联立解得点
故的最大值为.

故答案为：18.
15．-7
【解析】因为（），所以 ，所以，所以，因为 ，所以 ，联立解得，所以，而，所以填.
16．
【解析】因为，且，
所以，
所以圆锥的高，底面半径，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分
17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．
解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，
∴估计一位会员至少消费两次的概率为．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200﹣150＝50（元），
第2次消费时，公司获得利润为200×0.95﹣150＝40（元），
∴公司这两次服务的平均利润为（元）．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，
故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：
X
50
45
40
35
30
P
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05
X数学期望为E（X）＝50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05＝46.25（元）．
18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，CC1的中点．
（1）画出平面EFG截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；
（2）求二面角G﹣EF﹣B1的余弦值．

解：（1）取H，I，J分别为C1D1，D1A1，AA1的中点，连结GH，HI，IJ，JE，
截面多边形为如图所示正六边形EFGHIJ，作图依据如下：
由作图过程可知，H，I，J分别为C1D1，D1A1，AA1的中点，
因为EH∥BC1，FG∥BC1，所以EH∥FG，即E，F，G，H四点共面，
因为FI∥CD1，HG∥CD1，所以FI∥HG，所以F，G，H，I四点共面，故E，F，G，H，I五点共面，
因为GJ∥CA，EF∥CA，所以GJ∥EF/所以E，F，G，J四点共面，所以点J在E，F，G，H，I五点确定的平面内，
故E，F，G，H，I，J六点共面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B1（2，2，2），E（2，1，0），F（1，2，0），
所以，
由（1）可知为平面EFG的一个法向量，
设平面EFB1的法向量为，
则，即，
令y＝2，则x＝2，z＝﹣1，所以，
所以＝，
故二面角G﹣EF﹣B1的余弦值为．


19．已知△ABC中，AB＝BC＝，且AC2+2AB＝5．
（1）求∠ABC的值；
（2）若P是△ABC内一点，且∠APB＝，∠CPB＝，求tan∠PBA．
解：（1）△ABC中，AB＝BC＝，得BC＝，
因为AC2+2AB＝5，
所以AC2＝5﹣2，
由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝，
由∠ABC为三角形内角得，∠ABC＝；
（2）因为∠PBA+∠PBC＝，∠PCB+∠PBC＝π﹣∠BPC＝，
所以∠PBA＝∠PBC，
设∠PBA＝α，
△PBC中，由正弦定理得，，
所以PB＝2sinα，
△PBA中，由正弦定理得，，
所以PB＝2sin（），
所以sinα＝sin（）＝，
整理得，tan，
故tan∠PBA＝．
20．已知实数a≠0，设函数f（x）＝eax﹣ax．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＞时，若对任意的x∈[﹣1，+∞），均有f（x）≥（x2+1），求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x，则f'（x）＝ex﹣1，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，故 f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）；
（2）f（x）≥（x2+1），即eax≥（x+1）2．（*）
令x＝0，得1≥，则＜a≤2，
当x＝﹣1时，不等式（*）显然成立，
当x∈（﹣1，+∞）时，两边取对数，即ax≥2ln（x+1）+ln恒成立，
令函数 F（x）＝2ln（x+1）﹣ax+ln，即F（x）≤0在（﹣1，+∞）恒成立，
F′（x）＝﹣a＝＝0，得x＝﹣1＞﹣1，
故当x∈（﹣1，﹣1）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增；
当x∈（﹣1，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减．
因此F（x）≤F（﹣1）＝2ln﹣2+a+ln＝a﹣2﹣ln，
令函数g（a）＝a﹣2﹣ln，其中＜a≤2，令 g′（a）＝1﹣＝＝0，得a＝1，
故当a∈（，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（1，2]时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，
又g（）＝ln4﹣＜0，g（2）＝0，
故当＜a≤2时，g（a）≤0恒成立，因此F（x）≤0恒成立，
综上知，当a∈（，2）时，对任意的x∈[﹣1，+∞），均有f（x）≥（x+1）2成立．
21．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M．
（1）若直线m的斜率为，求的值；
（2）设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程．
解：（1）如图，

由抛物线y2＝4x，得F（1，0），则直线m的方程为y＝，
联立，得3x2﹣10x+3＝0，
解得：，x2＝3，
不妨设A在第一象限，则xA＝3，，
则|AF|＝3+1＝4，|BF|＝，
∴；
（2）设直线m的方程为x＝ty+1，由题意可得t≠0，
否则，N与F重合，不存在O、M、N、F四点共圆，
把x＝ty+1代入y2＝4x，得y2﹣4ty﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4．
＝＝，
∴N（2t2+1，2t）．
∵直线m的斜率为，∴直线n的斜率为﹣t，则直线n的方程为y＝﹣t（x﹣1）．
由，解得M（﹣1，2t）．
若O、M、N、F四点共圆，再结合FN⊥FM，得OM⊥ON，
则＝﹣1×（2t2+1）+2t×2t＝2t2﹣1＝0，解得t＝，
∴直线m的方程为．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A（ρ1，φ），B（ρ2，φ+），C（ρ3，φ﹣）（ρ1，ρ2，ρ3＞0）都在曲线M上．
（1）求证：＝ρ2+ρ3；
（2）若过B，C两点直线的参数方程为（t为参数），求四边形OBAC的面积．
【解答】解（1）由ρ1＝2cosφ，ρ2＝2cos（φ+），ρ3＝2cos（φ﹣），则ρ2+ρ3＝2cos（φ+）+2cos（φ﹣）＝2cosφ＝ρ1；
（2）由曲线M的普通方程为：x2+y2﹣2x＝0，联立直线BC的参数方程得：t2﹣＝0
解得t1＝0，t2＝；平面直角坐标为：B（，），C（2，0）
则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝；又得ρ1＝．
即四边形面积为SOBAC＝ρ1ρ2sin+ρ1ρ3sin＝为所求．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知实数a，b，c，满足a+b+c＝1．
（1）若a，b∈R+，c＝0，求证：（a+）2+（b+）2≥；
（2）设a＞b＞c，a2+b2+c2＝1，求证：a+b＞1．
【解答】证明：（1）c＝0时，a+b＝1，
（a+）2+（b+）2≥
＝＝，
∵a，b∈R+，a+b＝1，
∴，
从而：（a+）2+（b+）2≥．
当且仅当，即a＝b＝时取等号；
（2）假设a+b≤1，则由a+b+c＝1，知c≥0，故a＞b＞c≥0，
又由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+abc+2ac＝1，
得ab+bc+ac＝0，
但由a＞b＞c≥0，知ab+bc+ac＞0，矛盾，
故假设a+b≤1不成立，则a+b＞1．