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【中考真题】2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷（含答案解析）
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这是一份【中考真题】2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷（含答案解析），共27页。试卷主要包含了实数﹣2的相反数是，下列计算正确的是，已知点等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，10 D．6，7，14
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
4．甲、乙、丙、丁四名选手参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟175下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差s2
0.021
0.020
0.022
0.018
则这次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
7．反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．18? B．12? C．6? D．3?
9．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝3（x+1）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
二．填空题（共6小题）
11．不等式3x+1＞7的解集为 ．
12．如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 ．
13．已知m+n＝6，mn＝4，则m2n+mn2＝ ．
14．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是 m．（结果保留根号）
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：+|﹣2|﹣（1﹣）0﹣4sin60°．
18．解方程组：．
19．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．
20．扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，E是的中点，OE交⊙O的切线BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD＝0.8，⊙O的半径为2，求线段CD的长．
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝的图象分别交于点A（2，2），点B，与x轴交于点C，过点A作线段AD垂直x轴于点D，tan∠ACD＝，连接AO，BO．
（1）直线y＝kx+b与双曲线y＝的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△AOB＝3S△AOP？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，10 D．6，7，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、4+4＝8，不能构成三角形；
C、5+6＞10，能够组成三角形；
D、7+6＜14，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、a3÷a2＝a，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
4．甲、乙、丙、丁四名选手参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟175下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差s2
0.021
0.020
0.022
0.018
则这次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为0.018＜0.020＜0.021＜0.022，
所以丁发挥最稳定．
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：从中任意摸出一个球，是白球的概率是，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝5
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝5+4
配方得（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据反比例函数的性质可知，当函数图象在第一、第三象限，则反比例函数的系数大于0，据此列不等式解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
符合条件的答案只有A，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
8．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．18? B．12? C．6? D．3?
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
9．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝3（x+1）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣m，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2），
∵﹣4＜﹣3＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．不等式3x+1＞7的解集为 x＞2 ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．
【解答】解：3x+1＞7，
移项得：3x＞7﹣1，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．
12．如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 12 ．
【分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
13．已知m+n＝6，mn＝4，则m2n+mn2＝ 24 ．
【分析】根据提公因式法因式分解，再把m+n＝6，mn＝4代入计算即可．
【解答】解：∵m+n＝6，mn＝4，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
14．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是 （12+4） m．（结果保留根号）
【分析】作OC⊥AB于点C，根据题意可得，∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，再根据特殊角三角函数即可求出AC和BC的值，进而可得AB的值．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，
根据题意可知：
∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，
∴AC＝OC＝12，
∴BC＝OC•tan30°＝12×＝4．
∴AB＝AC+BC＝12+4（m）．
所以旗杆AB的高度是（12+4）m．
故答案为：（12+4）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 ．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 12 ．
【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 ；
（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA＝45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．
【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．
∴OB＝OA＝2，AB＝2．
设点O到直线AB的距离为d，
由S△OAB＝OA2＝AB•d，得
4＝2d，
则d＝．
故答案是：．
（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA＝OB，
则∠OBA＝∠OAB＝45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA＝∠ABO＝45°，
所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，
所以＝，即＝，
解得m＝12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨论数学思想的应用．
三．解答题（共8小题）
17．计算：+|﹣2|﹣（1﹣）0﹣4sin60°．
【分析】先化简二次根式、去绝对值符号、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣4×
＝2+2﹣1﹣2
＝1．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算顺序和运算法则及绝对值性质、熟记特殊锐角三角函数值、零指数幂的规定．
18．解方程组：．
【分析】方程①×3+②，消去未知数y，求出未知数x，再代入方程①求出y即可．
【解答】解：，
①×3+②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1．
故方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是灵活运用加减消元法、代入消元法的方法解方程组，属于中考常考题型．
19．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形DEBF是平行四边形，然后即可得到BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BA，
∴DF∥BE，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 108 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%＝500，
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）B等级的人数为：500×40%＝200，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）2000×＝200（人），
答：估计该校需要培训的学生有200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，E是的中点，OE交⊙O的切线BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD＝0.8，⊙O的半径为2，求线段CD的长．
【分析】（1）连接OD，只要证明∠ODC＝90°即可；
（2）连接BD，利用sin∠BAD＝0.8，可求得BD和AD的长，可得．又根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：∠BAD＝∠DOC，即可求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E是的中点，
∴∠BOC＝∠DOC＝∠BAD，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠BOC＝∠ODC，
又∵CB是⊙O的切线，OB是半径，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴CD与⊙O相切．
（2）解：连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴BD＝ABsin∠BAD＝4×0.8＝3.2，
∴，
∴，
在Rt△ODC中，．
【点评】本题考查量圆周角与圆心角的关系、切线的判定和锐角三角函数的综合运用．
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝的图象分别交于点A（2，2），点B，与x轴交于点C，过点A作线段AD垂直x轴于点D，tan∠ACD＝，连接AO，BO．
（1）直线y＝kx+b与双曲线y＝的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△AOB＝3S△AOP？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解直角三角形求得CD，即可求得C（﹣2，0），根据待定系数法即可求得直线的解析式，反比例函数的解析式；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
（3）易证得S△BOC＝S△AOE＝S△COE＝1，根据S△AOB＝3S△AOP，即可求得P的横坐标为0或4，代入一次函数解析式即可求得P（0，1）或（4，3）．
【解答】解：（1）∵A（2，2），
∴AD＝2，
∵tan∠ACD＝，
∴＝，
∴CD＝4，
∴C（﹣2，0），
∵直线y＝kx+b经过A、C，
∴，解得，
∴直线的解析式为y＝+1；
∵双曲线y＝经过点A（2，2），
∴m＝2×2＝4．
∴双曲线的解析式为y＝．
（2）解得或，
∴B（﹣4，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝3．
（3）存在，理由如下，
设直线与y轴的交点为E，则E（0，1），
∵OC＝OD，AD⊥CD，
∴AE＝CE，
∴S△AOE＝S△COE＝S△AOC＝＝1，
∵S△AOB＝3，
∴S△BOC＝S△AOE＝S△COE＝1，
∴AE＝CE＝BC，
在直线AB上点P，使得S△AOB＝3S△AOP，则P的横坐标为0或4，
∴P（0，1）或（4，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点的坐标是解题的关键．
23．（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别计算AE和CF的长，代入计算比值即可；
（2）证明△ABE∽△CBF，根据相似比可得结论；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据勾股定理计算BF的长，可得AE的长，根据（2）中＝可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，
∴AB＝2，
∵四边形BFED是正方形，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF＝，
∴BE＝2，
∴AE＝2﹣2，CF＝2﹣，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2，由旋转得：∠CBF＝∠ABE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴＝，
∵四边形BFED是正方形，
∴，
∴，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝＝；
（3）分两种情况：
①如图3，A，E，F三点共线，
Rt△AFB中，AB＝2，BF＝，
∴AF＝＝＝，
∴AE＝﹣，
由（2）知：△ABE∽△CBF，
∴，
∴CF＝＝﹣1；
②如图4，A，E，F三点共线，
∴∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴AF＝＝，
∴AE＝AF+EF＝+，
同理得：CF＝＝＝+1；
综上，CF的长为﹣1或+1．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，10 D．6，7，14
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
4．甲、乙、丙、丁四名选手参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟175下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差s2
0.021
0.020
0.022
0.018
则这次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
7．反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．18? B．12? C．6? D．3?
9．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝3（x+1）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
二．填空题（共6小题）
11．不等式3x+1＞7的解集为 ．
12．如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 ．
13．已知m+n＝6，mn＝4，则m2n+mn2＝ ．
14．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是 m．（结果保留根号）
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：+|﹣2|﹣（1﹣）0﹣4sin60°．
18．解方程组：．
19．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．
20．扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，E是的中点，OE交⊙O的切线BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD＝0.8，⊙O的半径为2，求线段CD的长．
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝的图象分别交于点A（2，2），点B，与x轴交于点C，过点A作线段AD垂直x轴于点D，tan∠ACD＝，连接AO，BO．
（1）直线y＝kx+b与双曲线y＝的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△AOB＝3S△AOP？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，10 D．6，7，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、4+4＝8，不能构成三角形；
C、5+6＞10，能够组成三角形；
D、7+6＜14，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、a3÷a2＝a，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
4．甲、乙、丙、丁四名选手参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟175下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差s2
0.021
0.020
0.022
0.018
则这次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为0.018＜0.020＜0.021＜0.022，
所以丁发挥最稳定．
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：从中任意摸出一个球，是白球的概率是，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝5
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝5+4
配方得（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据反比例函数的性质可知，当函数图象在第一、第三象限，则反比例函数的系数大于0，据此列不等式解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
符合条件的答案只有A，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
8．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．18? B．12? C．6? D．3?
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
9．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝3（x+1）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣m，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2），
∵﹣4＜﹣3＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．不等式3x+1＞7的解集为 x＞2 ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．
【解答】解：3x+1＞7，
移项得：3x＞7﹣1，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．
12．如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 12 ．
【分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
13．已知m+n＝6，mn＝4，则m2n+mn2＝ 24 ．
【分析】根据提公因式法因式分解，再把m+n＝6，mn＝4代入计算即可．
【解答】解：∵m+n＝6，mn＝4，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
14．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是 （12+4） m．（结果保留根号）
【分析】作OC⊥AB于点C，根据题意可得，∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，再根据特殊角三角函数即可求出AC和BC的值，进而可得AB的值．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，
根据题意可知：
∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，
∴AC＝OC＝12，
∴BC＝OC•tan30°＝12×＝4．
∴AB＝AC+BC＝12+4（m）．
所以旗杆AB的高度是（12+4）m．
故答案为：（12+4）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 ．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 12 ．
【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 ；
（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA＝45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．
【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．
∴OB＝OA＝2，AB＝2．
设点O到直线AB的距离为d，
由S△OAB＝OA2＝AB•d，得
4＝2d，
则d＝．
故答案是：．
（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA＝OB，
则∠OBA＝∠OAB＝45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA＝∠ABO＝45°，
所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，
所以＝，即＝，
解得m＝12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨论数学思想的应用．
三．解答题（共8小题）
17．计算：+|﹣2|﹣（1﹣）0﹣4sin60°．
【分析】先化简二次根式、去绝对值符号、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣4×
＝2+2﹣1﹣2
＝1．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算顺序和运算法则及绝对值性质、熟记特殊锐角三角函数值、零指数幂的规定．
18．解方程组：．
【分析】方程①×3+②，消去未知数y，求出未知数x，再代入方程①求出y即可．
【解答】解：，
①×3+②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1．
故方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是灵活运用加减消元法、代入消元法的方法解方程组，属于中考常考题型．
19．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形DEBF是平行四边形，然后即可得到BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BA，
∴DF∥BE，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 108 °；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%＝500，
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）B等级的人数为：500×40%＝200，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）2000×＝200（人），
答：估计该校需要培训的学生有200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，E是的中点，OE交⊙O的切线BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD＝0.8，⊙O的半径为2，求线段CD的长．
【分析】（1）连接OD，只要证明∠ODC＝90°即可；
（2）连接BD，利用sin∠BAD＝0.8，可求得BD和AD的长，可得．又根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：∠BAD＝∠DOC，即可求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E是的中点，
∴∠BOC＝∠DOC＝∠BAD，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠BOC＝∠ODC，
又∵CB是⊙O的切线，OB是半径，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴CD与⊙O相切．
（2）解：连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴BD＝ABsin∠BAD＝4×0.8＝3.2，
∴，
∴，
在Rt△ODC中，．
【点评】本题考查量圆周角与圆心角的关系、切线的判定和锐角三角函数的综合运用．
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝的图象分别交于点A（2，2），点B，与x轴交于点C，过点A作线段AD垂直x轴于点D，tan∠ACD＝，连接AO，BO．
（1）直线y＝kx+b与双曲线y＝的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△AOB＝3S△AOP？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解直角三角形求得CD，即可求得C（﹣2，0），根据待定系数法即可求得直线的解析式，反比例函数的解析式；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
（3）易证得S△BOC＝S△AOE＝S△COE＝1，根据S△AOB＝3S△AOP，即可求得P的横坐标为0或4，代入一次函数解析式即可求得P（0，1）或（4，3）．
【解答】解：（1）∵A（2，2），
∴AD＝2，
∵tan∠ACD＝，
∴＝，
∴CD＝4，
∴C（﹣2，0），
∵直线y＝kx+b经过A、C，
∴，解得，
∴直线的解析式为y＝+1；
∵双曲线y＝经过点A（2，2），
∴m＝2×2＝4．
∴双曲线的解析式为y＝．
（2）解得或，
∴B（﹣4，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝3．
（3）存在，理由如下，
设直线与y轴的交点为E，则E（0，1），
∵OC＝OD，AD⊥CD，
∴AE＝CE，
∴S△AOE＝S△COE＝S△AOC＝＝1，
∵S△AOB＝3，
∴S△BOC＝S△AOE＝S△COE＝1，
∴AE＝CE＝BC，
在直线AB上点P，使得S△AOB＝3S△AOP，则P的横坐标为0或4，
∴P（0，1）或（4，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点的坐标是解题的关键．
23．（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别计算AE和CF的长，代入计算比值即可；
（2）证明△ABE∽△CBF，根据相似比可得结论；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据勾股定理计算BF的长，可得AE的长，根据（2）中＝可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，
∴AB＝2，
∵四边形BFED是正方形，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF＝，
∴BE＝2，
∴AE＝2﹣2，CF＝2﹣，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2，由旋转得：∠CBF＝∠ABE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴＝，
∵四边形BFED是正方形，
∴，
∴，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝＝；
（3）分两种情况：
①如图3，A，E，F三点共线，
Rt△AFB中，AB＝2，BF＝，
∴AF＝＝＝，
∴AE＝﹣，
由（2）知：△ABE∽△CBF，
∴，
∴CF＝＝﹣1；
②如图4，A，E，F三点共线，
∴∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴AF＝＝，
∴AE＝AF+EF＝+，
同理得：CF＝＝＝+1；
综上，CF的长为﹣1或+1．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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