【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（39）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（39）（含答案解析），共27页。试卷主要包含了下列计算正确的是，在平面直角坐标系中，将点A等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（39）
一．选择题（共10小题）
1．2013年12月2日凌晨，承载了国人登月梦想的“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射．在此次发射任务中，火箭把“嫦娥三号”送入近地点高度约210千米、远地点高度约368000千米的地月转移轨道．数字368000用科学记数法表示为（　　）
A．36.8×104 B．3.68×106 C．3.68×105 D．0.368×106
2．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
3．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．×＝ C．5﹣＝5 D．a0＝0
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
6．有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．30° D．50°
9．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）

A．6 B．12 C．6 D．2（1+）
10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　）

A． B．8 C． D．
二．填空题（共7小题）
11．计算：＝　 　．
12．分解因式：b2﹣6b+9＝　 　．
13．若m+n＝，则代数式（+）•（m2﹣n2）的值为　 　．
14．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于　 　．
15．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝　 　．

16．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板如图放置，若∠2＝44°，则∠1为　 　．

17．如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC．则线段PC的最小值等于　 　．

三．解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝6sin30°．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．

20．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

22．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
23．某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩
频数
频率
50≤x＜60
2
0.04
60≤x＜70
a
0.16
70≤x＜80
20
0.40
80≤x＜90
16
0.32
90≤x≤100
4
b
合计
50
1
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组：A.50≤x＜60；B.60≤x＜80；C.80≤x≤100若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中C组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．

24．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．

25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（39）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．2013年12月2日凌晨，承载了国人登月梦想的“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射．在此次发射任务中，火箭把“嫦娥三号”送入近地点高度约210千米、远地点高度约368000千米的地月转移轨道．数字368000用科学记数法表示为（　　）
A．36.8×104 B．3.68×106 C．3.68×105 D．0.368×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于368000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：368 000＝3.68×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解答】解：法1：，
①+②×5得：16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得：b＝2，
则a+b＝4，
法2：①+②得：4a+4b＝16，
则a+b＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．×＝ C．5﹣＝5 D．a0＝0
【分析】利用合并同类项对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据零指数幂的意义对D进行判断．
【解答】解：A、a3与a2不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项正确；
C、原式＝4，所以C选项错误；
D、当a≠0时，a0＝1，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
6．有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，
∴抽出的数字是奇数的概率是．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】把交点坐标（1，0），代入二次函数y＝x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x＝，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：把x＝1，y＝0代入y＝x2+bx﹣2得：
0＝1+b﹣2，
∴b＝1，
∴对称轴为x＝﹣＝﹣，
∴x＝＝﹣，
∴x2＝﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x＝．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．30° D．50°
【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC＝90°，再根据圆周角定理，得∠BPC＝45°．
【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．

【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
9．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）

A．6 B．12 C．6 D．2（1+）
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG＝∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，
∴∠GEF＝∠DEF＝60°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠EGF＝60°，
∴△EGF是等边三角形，
∴EG＝FG＝EF＝2，
∴△GEF的周长＝2×3＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　）

A． B．8 C． D．
【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】解：连接BE，

∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．计算：＝　3　．
【分析】本题直接运用二次根式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】注意运用二次根式的乘除法法则时，正反运用的限制条件．
12．分解因式：b2﹣6b+9＝　（b﹣3）2　．
【分析】根据完全平方公式进行分析即可．
【解答】解：原式＝（b﹣3）2，
故答案为：（b﹣3）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
13．若m+n＝，则代数式（+）•（m2﹣n2）的值为　3　．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）
＝•（m+n）（m﹣n）
＝3（m+n）．
∴当m+n＝时，原式＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
14．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于　2021　．
【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，
由根与系数的关系可知：a+b＝2，
∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，
＝2020+2（a+b）﹣3
＝2020+2×2﹣3
＝2021，
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
15．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝　12　．

【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，
又∠DBC＝∠EBO，
∴∠EBO＝∠ACB，
又∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴，即BC×OE＝BO×AB．
又∵S△BEC＝6，
∴BC•EO＝6，
即BC×OE＝12＝BO×AB＝|k|．
∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．
∴k＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义．反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板如图放置，若∠2＝44°，则∠1为　16°　．

【分析】由平行线的性质，已知∠2＝44°求得∠CBD＝44°，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠3＝16°，最后由对顶角的性质求出∠1＝16°．
【解答】解：过点B作BD∥a，如图所示：

∵BD∥a，
∴∠2＝∠CBD，
又∵∠2＝44°，
∴∠CBD＝44°，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ABC＝60°，
∴∠DBA＝60°﹣44°＝16°，
又∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠DBA＝∠3，
∴∠3＝16°，
又∵∠1＝∠3，
∴∠1＝16°，
故答案为16°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．
17．如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC．则线段PC的最小值等于　　．

【分析】由“SAS”可证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，可求∠APB＝120°，可得点P在以点O为圆心，OB为半径的圆上，当点O，点P，点C共线时，PC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CE＝BD，∠ABC＝∠BCE＝60°，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP+∠BAD＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图：作等腰三角形AOB，使OA＝OB，∠AOB＝120°，连接OC，OP，

∵∠APB＝120°，
∴点P在以点O为圆心，OB为半径的圆上，
∵CP≥OC﹣OP，
∴当点O，点P，点C共线时，PC有最小值，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠CBO＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CA，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS）
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
∴CO＝2OB，
∵OC2﹣OB2＝BC2，
∴3OB2＝16
∴OB＝，
∴OC＝
∴PC的最小值＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
三．解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝6sin30°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝6×＝3时，原式＝＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及特殊角的三角函数值是解本题的关键．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．

【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴AB＝AC＝2，
∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝1，OD＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴OD＝OB＝，
∵四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝×1＝．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解决问题的关键．
20．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，
解不等式，得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上的表示如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A1的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A2的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点A1的坐标是（﹣4，1）；
（2）如右图所示，
点A2的坐标是（1，﹣4）；
（3）∵点A（4，1），
∴OA＝，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．

【点评】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
23．某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩
频数
频率
50≤x＜60
2
0.04
60≤x＜70
a
0.16
70≤x＜80
20
0.40
80≤x＜90
16
0.32
90≤x≤100
4
b
合计
50
1
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组：A.50≤x＜60；B.60≤x＜80；C.80≤x≤100若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中C组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．

【分析】（1）用总数乘以60≤x＜70的频率求出a，用90≤x≤100的频数除以总人数求出b，从而补全统计图；
（2）先求出A、B、C三组所占的百分比，画出扇形统计图，用360°乘以C组所占的百分比求出C组所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和小欣和小怡同时被选上的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝＝0.08，补图如下：


（2）A、50≤x＜60的人数所占的百分比是：×100%＝4%，
B、60≤x＜80的人数所占的百分比是：×100%＝56%，
C、80≤x＜100的人数所占的百分比是：×100%＝40%，画图如下：

C组所在扇形的圆心角的度数为360°×（0.32+0.08）＝144°；

（3）由题意知，不低于9（0分）的学生共有4人，设这四名学生分别为M，X，A，B，其中小欣和小怡分别用A，B表示，根据题意，画树状图如下．

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，
故小欣和小怡同时被选上的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．

【分析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB＝∠C＝90°，据此即可得；
（2）由AC＝AD知AB2＝AD•AE，即＝，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE＝∠ADB＝90°，从而得证；
（3）由＝知DE＝1、BE＝，证△FBE∽△FAB得＝，据此知FB＝2FE，在Rt△ACF中根据AF2＝AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
连接OD，

则OD＝AO＝BO，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；

（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC＝AD，
∵AB2＝AC•AE，
∴AB2＝AD•AE，即＝，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；

（3）∵AD＝AC＝4、BD＝BC＝2，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵＝，
∴＝，
解得：DE＝1，
∴BE＝＝，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD＝∠FAC，即∠FBE+∠DBE＝∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝∠BAE，
∴∠FBE＝∠BAC，
又∠BAC＝∠BAD，
∴∠FBE＝∠BAD，
∴△FBE∽△FAB，
∴＝，即＝＝，
∴FB＝2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2＝AC2+CF2，
∴（5+EF）2＝42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2﹣2EF﹣5＝0，
解得：EF＝﹣1（舍）或EF＝，
∴EF＝．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）解一元二次方程可得BC＝4，AB＝3，由OA＝2OB，可求OA＝2，OB＝1，即可求点D坐标；
（2）分点两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∴点D（﹣2，4）
（2）如图，

当0≤t＜4时，AP＝t，DP＝4﹣t，
∴S＝3×4﹣×3×t﹣×2×（4﹣t）﹣×1×4＝﹣+6；
当4≤t＜6时，PE＝6﹣t，
∴S＝×PE×OE＝×（6﹣t）×4＝12﹣2t；
综上所述：S＝
（3）∵OB＝1，OE＝4，
∴BE＝＝＝，
若BE＝EP＝，
∴DE2+DP2＝EP2＝17，
∴4+DP2＝17，
∴DP＝，
∴点P（﹣2，4﹣）
若BE＝BP＝，
∴AB2+AP2＝BP2＝17，
∴9+AP2＝17
∴AP＝2，
∴点P（﹣2，），
综上所述：当点P坐标为（﹣2，4﹣）或（﹣2，）时，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/14 23:19:29；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序