【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（15）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（15）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了下列标志中不是中心对称图形的是，下面的计算不正确的是，在下列命题中等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（15）
一．选择题（共12小题）
1．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣
2．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（　　）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
3．一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数分别是（　　）
A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8
4．下列标志中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下面的计算不正确的是（　　）
A．5a3﹣a3＝4a3 B．2m•3n＝6m+n
C．2m•2n＝2m+n D．﹣a2•（﹣a3）＝a5
6．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．45°
7．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
9．如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）

A．3 B． C．3 D．6
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
二．填空题（共7小题）
13．函数y＝的自变量的取值范围是　 　．
14．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　 　．
15．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝　 　．

16．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝　 　．

17．如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为　 　米．

18．已知+（y+1）2＝0，则x+y＝　 　．
19．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，交直径AB于点E，CD＝6，则EB＝　 　．

三．解答题（共13小题）
20．解方程组：．
21．解方程：．
22．．
23．（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0；
（2）解方程：．
24．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝3tan30°+2cos60°．
25．已知方程组的解满足方程x+y＝10，求k．
26．某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
27．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

28．语文教研组为了解我校学生每天课外阅读所用的时间情况，从我校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布直方图．
每天课外阅读时间/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24

0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5

0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）我校有学生4800人，请估计我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

29．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

30．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是　 　；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
31．如图，已知△ABC是⊙O的圆内接三角形，AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O于点F，∠C＝∠E．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AB＝5，AD＝，求线段DE的长．

32．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+6交y轴于点A，交x轴于点C，点B在线段OA上，且△ABC的面积为16，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点；
（1）C点坐标为　 　；B点坐标为　 　；
（2）求抛物线解析式；
（3）D为线段OC上一点，连接AD，过点D作DE⊥AD交抛物线于E，若＝，求E点坐标；
（4）在（3）的条件下，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AMN，其中点D与点M对应，点E与点N对应，在旋转过程中过点M作MH⊥y轴交线段OA于H，连接NH，当NH平分AM时，求M点坐标，并判断点M是否在抛物线上．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（15）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵1＞0＞﹣＞﹣，
∴最大的数是1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（　　）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数分别是（　　）
A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵3，x，4，5，8的平均数为5，
∴（3+x+4+5+8）÷5＝5，
解得：x＝5，
把这组数据从小到大排列为3，4，5，5，8，
∴这组数据的中位数，5，
∵5出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5；
故选：B．
【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
4．下列标志中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．下面的计算不正确的是（　　）
A．5a3﹣a3＝4a3 B．2m•3n＝6m+n
C．2m•2n＝2m+n D．﹣a2•（﹣a3）＝a5
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、5a3﹣a3＝（5﹣1）a3＝4a3，正确；
B、2m与3n与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；
C、2m•2n＝2m+n，正确；
D、﹣a2•（﹣a3）＝a2+3＝a5，正确．
故选：B．
【点评】主要考查合并同类项的法则与同底数幂的乘法的性质，熟练掌握法则和性质是解题的关键．
6．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．45°
【分析】如图，作辅助线；证明△ABB′为等边三角形，此为解决问题的关键性结论；证明△BB′C′≌△BAC′，得到∠B′BC′＝∠ABC′，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：
AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC′中，
，
∴△BB′C′≌△BAC′（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，
故选：C．

【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答．
7．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，命题正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，命题错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，命题错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．
8．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
9．如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．
【解答】解：由题意得y＝πx2，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，
故选：D．
【点评】考查有实际意义的二次函数图象的选择；根据相应条件得到图象是解决本题的关键．
10．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，
∴＝2，
即：R＝4，
故选：C．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）

A．3 B． C．3 D．6
【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以得到DB的长，然后三角形中位线，可以得到MN的长，本题得以解决．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．

【点评】本题考查正方形的性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：B．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
13．函数y＝的自变量的取值范围是　x≠1　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，解可得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意，有x﹣1≠0，
解可得x≠1；
故自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为x≠1．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．
14．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　1　．
【分析】设x2+3x＝y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．
【解答】解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝　4　．

【分析】连接OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE＝CE，在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD＝cos60°＝，即＝，解得R＝4，则OE＝2，DE＝OE＝2，所以CD＝2DE＝4．
【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，
在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝R﹣2，OD＝R，
∵cos∠EOD＝cos60°＝，
∴＝，解得R＝4，
∴OE＝4﹣2＝2，
∴DE＝OE＝2，
∴CD＝2DE＝4
故答案为：4．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
16．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝　15°　．

【分析】连接OA、OC，如图，根据切线的性质得∠OAB＝∠OCB＝90°，再利用四边形内角和计算出∠AOC＝130°，则利用圆周角定理得到∠AEC＝65°，接着根据平行四边形的性质得到∠D＝50°，然后利用三角形外角性质计算∠DAE的度数．
【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB、BC分别切⊙O于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠AEC＝∠AOC＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
∵∠AEC＝∠DAE+∠D，
∴∠DAE＝65°﹣50°＝15°．
故答案为15°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和平行四边形的性质．
17．如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为　（35+10）　米．

【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE＝20米，坡度为i＝1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝＝＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（25+10）（米），
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（25+10）（米），
∴AB＝AH+HB＝（35+10）（米）．
答：楼房AB的高为（35+10）米，
故答案为：（35+10）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
18．已知+（y+1）2＝0，则x+y＝　1　．
【分析】先根据平方与算术平方根的非负性，求出x与y的值，然后代入求值即可．
【解答】解：∵+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴x+y＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
19．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，交直径AB于点E，CD＝6，则EB＝　1　．

【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD＝3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，即可得出结果．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝AB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
20．解方程组：．
【分析】解此题可以采用加减法，方程一乘以2加方程二乘以3即可消掉未知数y，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求得．
【解答】解：，
①×2+②×3，得17x＝51，
∴x＝3．
把x＝3代入②，得y＝﹣3，
∴原方程组的解为．
【点评】此题考查了学生的计算能力，解题时要注意选择适宜的解题方法．
21．解方程：．
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：去分母得：3（1﹣3x）＝2﹣6x，
去括号得：3﹣9x＝2﹣6x，
移项合并得：﹣3x＝﹣1，
系数化为1得：得x＝．
【点评】本题考查了解带分母的一元一次方程．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
22．．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，由①可得出x≥﹣1，由②可得出x＜3，再求出它们的公共部分即可解答．
【解答】解：不等式组，
由①得，3x+6≥2x+5，
解得，x≥﹣1；
由②得，3（x﹣1）＜2x，
解得，x＜3，
所以，不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
23．（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值，绝对值、负整数指数幂，零次方的意义进行计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0
＝2×+2﹣﹣2+1
＝1；
（2）原方程可变为﹣1＝﹣，
两边都乘以（x﹣3）得，
2x﹣（x﹣3）＝﹣1，
去括号得，2x﹣x+3＝﹣1，
移项得，2x﹣x＝﹣1﹣3，
合并同类项得，x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入（x﹣3）得，x﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7≠0，
所以x＝﹣4是原方程的解．
【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，绝对值、负整数指数幂，零次方的意义，分式方程的解法，解分式方程时容易产生增根，因此一定注意检验．
24．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝3tan30°+2cos60°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•（a+1）
＝•（a+1）
＝，
当a＝3×+2×＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
25．已知方程组的解满足方程x+y＝10，求k．
【分析】根据题意，由x+y＝10和2x+y＝8，求出x、y的值，然后把x、y的值代入3kx+2y＝6k，即可求出k的值．
【解答】解：∵x+y＝10①，2x+y＝8②，
由①﹣②得：x＝﹣2，y＝12，
把x、y的值代入3kx+2y＝6k得：﹣6k+24＝6k，
解得k＝2．
【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
26．某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据总利润＝（实际售价﹣进价）×销售量，即可得函数解析式；
（2）将（1）中函数解析式配方即可得最值情况．
【解答】解：（1）依题意有：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000；

（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣2.5）2+6125；
∵a＝﹣20＜0，
∴当x＝2.5时y取最大值，最大值是6125，即降价2.5元时利润最大，
∴每件小商品销售价是60﹣2.5＝57.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．
27．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得到∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，再证出BE＝DF，即可运用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）由（1）知△ABE为等边三角形．可求菱形的高，用面积公式可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵E、F分别为边BC、AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝BC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，即BE＝AE．
又BC＝2AB＝4，
∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，

过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝BE＝1，
∴AH＝＝＝，
∴菱形AECF的面积为2．
【点评】考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，勾股定理，菱形的面积，解决此题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到AF＝FD＝AD．
28．语文教研组为了解我校学生每天课外阅读所用的时间情况，从我校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布直方图．
每天课外阅读时间/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24

0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5

0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　120　，b＝　0.1　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）我校有学生4800人，请估计我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

【分析】（1）根据0.5＜t≤1的频数和频率，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出a和b的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出1＜t≤1.5的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的频数为：120×0.4＝48，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）4800×（0.4+0.1）＝2400（人），
即我校学生每天课外阅读时间超过1小时的有2400人．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB＝S△AOC+S△BOC．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m＝（﹣2）×1＝﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n＝﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y＝kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣1．

（2）∵在y＝﹣x﹣1中，当y＝0时，得x＝﹣1．
∴直线y＝﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝+1＝．

【点评】此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
30．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是　　；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵学校有A、B、C三个大门入口，
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：

由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）＝＝．
【点评】此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
31．如图，已知△ABC是⊙O的圆内接三角形，AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O于点F，∠C＝∠E．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AB＝5，AD＝，求线段DE的长．

【分析】（1）证明；如图1，连接BF，由圆周角定理得到∠AFB＝∠C，根据平行线的判定和性质定理得到AD⊥BF，AD平分BF，于是得到结果．
（2）连接BD，通过证明△ABD∽△ADE，得到比例式，即可得到结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接BF，∴∠AFB＝∠C，
∵∠C＝∠E，
∴∠AFB＝∠E，
∴BF∥DE，
∵DE为⊙O的切线，AD为⊙O的直径，
∴AD⊥DE，
∴AD⊥BF，
∴AD平分BF，
∴AB＝AF；

（2）解：如图2，连接BD，
∴∠C＝∠ADB，
∵∠C＝∠E，
∴∠ADB＝∠E，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
∴AE＝，
∴DE＝＝．


【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
32．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+6交y轴于点A，交x轴于点C，点B在线段OA上，且△ABC的面积为16，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点；
（1）C点坐标为　（8，0）　；B点坐标为　（0，2）　；
（2）求抛物线解析式；
（3）D为线段OC上一点，连接AD，过点D作DE⊥AD交抛物线于E，若＝，求E点坐标；
（4）在（3）的条件下，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AMN，其中点D与点M对应，点E与点N对应，在旋转过程中过点M作MH⊥y轴交线段OA于H，连接NH，当NH平分AM时，求M点坐标，并判断点M是否在抛物线上．

【分析】（1）先利用一次函数解析式和坐标轴上点的坐标特征求出C和A点坐标，再利用三角形面积公式求出AB，从而得到B点坐标；
（2）把B点和C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（3）作EF⊥x轴于F，如图1，设OD＝t，证明Rt△ADO∽Rt△DEF，利用相似比可得EF＝t，DF＝4，则可表示出E点坐标，然后把E（t+4，t）代入y＝﹣x2+x+2得到关于t的方程，然后解方程求出t即可得到E点坐标；
（4）如图2，作NG⊥MH于G，NH交AM于Q，先利用两点间的距离公式计算出AD、DE，再利用旋转的性质得AM＝AD＝3，MN＝2，∠AMN＝∠ADE＝90°，接着证明HQ为Rt△AMH的斜边AM的中线，得到QH＝QA＝QM＝AM＝，利用勾股定理可计算出QN＝，则HN＝QN+QH＝4，然后通过证Rt△AMH∽Rt△MNG得到＝＝＝，设AH＝3a，HM＝3b，则NG＝2b，MG＝2a，利用勾股定理得到（2a）2+（2b）2＝（2）2①，（3b+2a）2+（2b）2＝（4）2②，再解①②组成的方程组得a和b的值，于是可确定M点坐标，最后利用二次函数图象上点的坐标特征判断点M是否在抛物线上．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝8，则C（8，0），
当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，则A（0，6），
∵S△ABC＝•AB•OC，
∴AB＝＝4，
∴OB＝OA﹣AB＝2，
∴B（0，2），
故答案为（8，0），（0，2）；
（2）把B（0，2），B（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得．
故抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（3）作EF⊥x轴于F，如图1，设OD＝t，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠EDF＝90°，
∵∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠EDF＝∠DAO，
∴Rt△ADO∽Rt△DEF，
∴＝＝＝，
∴EF＝t，DF＝4，
∴E点坐标为（t+4，t），
把E（t+4，t）代入y＝﹣x2+x+2得﹣（t+4）2+（t+4）+2＝t，
整理得3t2+11t﹣60＝0，解得t1＝﹣（舍去），t2＝3，
∴E点坐标为（7，2）；
（4）如图2，作NG⊥MH于G，NH交AM于Q，
∵A（6，0），D（3，0），E（7，2），
∴AD＝＝3，DE＝＝2，
∵△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AMN，
∴AM＝AD＝3，MN＝2，∠AMN＝∠ADE＝90°，
∵MH⊥y轴，HN平分AM，即点Q为AM的中点，
∴QH＝QA＝QM＝AM＝，
在Rt△GNM中，QN＝＝＝，
∴HN＝QN+QH＝+＝4，
∵∠AMH+∠NMG＝90°，∠AMH+∠HAM＝90°，
∴∠HAM＝∠NMG，
∴Rt△AMH∽Rt△MNG，
∴＝＝＝，
设AH＝3a，HM＝3b，则NG＝2b，MG＝2a，
在Rt△MNG中，（2a）2+（2b）2＝（2）2①，
在Rt△NHG中，（3b+2a）2+（2b）2＝（4）2②，
解①②组成的方程组得，负根舍去，
∴AH＝3，MH＝6，
∴M（6，3），
当x＝6时，y＝﹣x2+x+2＝﹣×36+×6+2＝，
∴点M不在抛物线上．


【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和旋转的性质；会利用待定系数法求抛物线的解析式；理解坐标与图形性质，会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长；灵活构建相似三角形，运用相似比计算线段的长．
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日期：2021/11/14 23:17:32；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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