【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（25）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（25）（含答案解析），共31页。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（25）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣2y2+1 C．﹣x2+4y2 D．﹣x2﹣4y2
2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
3．实数m，n在数轴上对应的点的位置如下图所示，若mn＜0，且|m|＞|n|，则原点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
4．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝ D．无解
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（　　）

A．m⋅sin β B． C．m⋅cosβ D．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷99次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（　　）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
7．已知是方程kx+2y＝﹣2的解，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．5 D．﹣5
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝8，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．
9．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的周长为（　　）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
10．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
11．的算术平方根是　 　．
12．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　 　．
13．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正　 　边形．
14．已知点P（2a+1，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是　 　．
15．已知（2x+3y﹣7）2+|2x﹣y+5|＝0，则x+y＝　 　．
16．如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为　 　．

17．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝　 　．

18．如图，点P是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，PA⊥y轴于点A，S△PAO＝2，则k＝　 　．

19．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为　 　．

20．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　．

21．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是　 　．

三．解答题（共10小题）
22．计算：﹣12007﹣÷（﹣2）2+（cos60°﹣）0
23．先化简，再求值：（m+2+）÷，其中m＝6．
24．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．

25．抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
26．为了打好脱贫攻坚战，做好精准扶贫，某乡2018年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年计划投入资金720万元．
（1）从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2020年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，100户以后每户每天奖励6元，按租房400天计算，求2020年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励？
27．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．

28．如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC＝CD．CP是△CDN的ND边的中线．
（1）求证：△ABC≌△DNC：
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

29．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．

30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．

31．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（25）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣2y2+1 C．﹣x2+4y2 D．﹣x2﹣4y2
【分析】能用平方差公式分解因式的条件：是两项；这两项的符号相反，并且都是完全平方数．
【解答】解：A、x2+4y2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；
B、x2﹣2y2+l有三项，不能用平方差公式分解因式，故错误；
C、﹣x2+4y2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；
D、﹣x2﹣4y2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误．
故选：C．
【点评】该题是对因式分解中平方差公式的考查，首先必须找两项符号不同的选项，再看这两项是否为某整数的平方．
2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
3．实数m，n在数轴上对应的点的位置如下图所示，若mn＜0，且|m|＞|n|，则原点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】直接利用绝对值的性质得出m＜0，n＞0，且m距原点的距离大进而结合数轴得出答案．
【解答】解：∵mn＜0，且m在n的左侧，
∴m＜0，n＞0，
∵|m|＞|n|，
∴m距原点的距离大，
∴原点可能是C．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出m的符号是解题关键．
4．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝ D．无解
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：去分母得：
2﹣2x＝x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，故此方程无解．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（　　）

A．m⋅sin β B． C．m⋅cosβ D．
【分析】根据余弦的概念解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，
∴cosβ＝，
∴AB＝，
故选：D．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷99次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（　　）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，前99次的结果都是正面朝上，
因为每次抛掷概率相同，则第100次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
7．已知是方程kx+2y＝﹣2的解，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．5 D．﹣5
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把代入方程得：﹣2k+4＝﹣2，
解得：k＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝8，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由圆周角定理可知∠B＝∠D，所以只需在Rt△ACD中，求出∠D的余弦值即可．
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝8．
根据勾股定理，得：
CD＝．
∴cosD＝．
∵∠B＝∠D，
∴cosB＝cosD＝，
故选：B．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的定义；能够根据圆周角定理将所求角转化到直角三角形中，是解答此题的关键．
9．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的周长为（　　）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【分析】首先求出方程x2﹣10x+21＝0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．
【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，
∴方程x2﹣10x+21＝0的两个根分别是x1＝3，x2＝7，
∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，
∴等腰三角形的周长为：7+7+3＝17．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，此题难度一般．
10．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
11．的算术平方根是　　．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵＝3，
∴的算术平方根是：．
故答案是：．
【点评】本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．
12．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　2　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
13．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正　二十　边形．
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是162°，
∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，
边数n＝360°÷18°＝20．
故答案为：二十．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
14．已知点P（2a+1，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是　﹣＜a＜3　．
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+1，a﹣3）在第四象限，
∴，
解不等式①得a＞﹣，
解不等式②得a＜3，
所以a的取值范围是﹣＜a＜3．
故答案为：﹣＜a＜3．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．已知（2x+3y﹣7）2+|2x﹣y+5|＝0，则x+y＝　2　．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵（2x+3y﹣7）2+|2x﹣y+5|＝0，
∴，
①﹣②得：4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x＝﹣1，
则x+y＝﹣1+3＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
16．如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为　1﹣　．

【分析】根据题意，求得BC的长，利用勾股定理可以求得AB的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【解答】解：根据题意，BC＝2﹣1＝1，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴|BD|＝AB＝，
∵点D在原点左侧，
∴点D表示的数是1﹣．
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝　4　．

【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由CD⊥AB可知∠CEB＝90°，CD＝2CE，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝30°，BE＝2，
∴∠C＝∠BAD＝30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，CD＝2CE，
∴BC＝2BE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
18．如图，点P是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，PA⊥y轴于点A，S△PAO＝2，则k＝　4　．

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．而S△PAO＝|k|，再由函数图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，PA⊥x轴于点A，S△PAO＝2
∴S△PAO＝|k|＝2，
解得k＝±4．
又∵反比例函数的图象在第三象限，
∴k＝4．
故答案为4
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
19．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为　1　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，
∴DE＝BC，DF＝AB，
∵AB＝6，BC＝8，
∴DE＝×8＝4，DF＝×6＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
20．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　7　．

【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线于G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF＝EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF＝AD，根据BC＝BF+CF求解．
【解答】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线于G点，
由旋转的性质可知CD＝ED，
∵∠EDG+∠CDG＝∠CDG+∠FDC＝90°，
∴∠EDG＝∠FDC，又∠DFC＝∠G＝90°，
∴△CDF≌△EDG，
∴CF＝EG，
∵S△ADE＝AD×EG＝6，AD＝4，
∴EG＝3，则CF＝EG＝3，
依题意得四边形ABFD为矩形，
∴BF＝AD＝4，
∴BC＝BF+CF＝4+3＝7，
故答案为：7．

【点评】本题考查了旋转的性质的运用，直角梯形的性质的运用．关键是通过DC、DE的旋转关系，作出旋转的三角形．
21．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是　6﹣π　．

【分析】分别求出DC＝BC＝CE＝2，BD＝BF＝2，求出∠DCE＝90°，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案．
【解答】解：
过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，
由勾股定理得：BD＝2，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，
∴BM＝FM＝2，ME＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF
＝++﹣
＝6﹣π，
故答案为：6﹣π．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．
三．解答题（共10小题）
22．计算：﹣12007﹣÷（﹣2）2+（cos60°﹣）0
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2÷4+1
＝﹣1﹣+1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
23．先化简，再求值：（m+2+）÷，其中m＝6．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
当m＝6时，
原式＝﹣2×6﹣6
＝﹣12﹣6
＝﹣18．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
24．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．

【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
故∠A的度数为36°．

【点评】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
25．抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据B组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）用500ד十分了解”所占的比例即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）15÷30%＝50（人），
答：本次调查了50名学生．

（2）50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
条形图如图所示：


（3）500×＝100（人），
答：该校共有500名学生，估计“十分了解”的学生有100名．

（4）树状图如下：

共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种．
所以，所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率P＝＝．
【点评】本题考查了折线统计图、树状图法求概率的知识，信息量较大，注意仔细认真审题，培养自己的读图能力，善于寻找解题需要的信息，属于中考常考题型．
26．为了打好脱贫攻坚战，做好精准扶贫，某乡2018年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年计划投入资金720万元．
（1）从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2020年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，100户以后每户每天奖励6元，按租房400天计算，求2020年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励？
【分析】（1）设从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据该乡2018年及2020年投入的异地安置资金数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2020年该乡有y户可以享受到优先搬迁租房奖励，根据该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为x，
依题意，得：320（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2020年该乡有y户可以享受到优先搬迁租房奖励，
依题意，得：8×400×100+6×400（y﹣100）≥1600000，
解得：y≥633．
又∵y为正整数，
∴y的最小值为634．
答：2020年该乡至少有634户可以享受到优先搬迁租房奖励．
【点评】本题考查一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定．
28．如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC＝CD．CP是△CDN的ND边的中线．
（1）求证：△ABC≌△DNC：
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由题意要证全等，根据圆周角定理及等量代换得到全等条件即可解答；
（2）连接OC，利用等量代换证明角OCP为直角即可解答．
【解答】解：（1）∵DM⊥AB，
∴∠AMN＝90°，
∴∠MAN＝90°﹣∠MNA，
又∵∠MNA＝∠CND，
又∵∠D＝90°﹣∠CND，
∴∠MAN＝∠D，
又∵AC＝CD，
AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠NCD，
∴△ABC≌△DNC（ASA）

（2）CP是⊙O的切线．证明如下：
连接OC
∵CP为△CND的中线，
∴CP＝PD＝NP，
∴∠PCD＝∠D＝∠MAN．
又∠PCD+∠NCP＝90°，∠MAN+∠MBC＝90°，
∴∠NCP＝∠MBC，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠MAN
∴∠OCA+∠NCP＝∠MAN+∠MBC＝90°
∴CP是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
29．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．

【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE＝∠ECB，再由公共角∠CEA＝∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE＝CE＝6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．


【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．

【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．
（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF＝10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE＝5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．
【解答】证明：（1）如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连接DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．

（3）由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
在Rt△HFE中，EF＝＝，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴＝，即＝，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，
∴＝，
∴OA＝，
∴AF＝﹣5＝．

【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
31．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用坐标轴上点的特点，建立方程求解即可得出结论；
（2）先确定出点P就是BC与对称轴的交点，再求出直线BC的解析式和抛物线的对称轴，即可得出结论；
（3）设出点M，N的坐标，然后按对角线分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，则y＝，
∴C（0，），
当y＝0时，﹣x2+2x+＝0，
化简，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得，x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；

（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP．
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴AP＝PB，
要使PA+PC的值最小，则应使PB+PC的值最小，
∴BC与对称轴的交点，使得PA+PC的值最小．
设BC的解析式为y＝kx+b．
将B（5，0），C（0，）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+

∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2
当x＝2时，y＝﹣×2+＝，
∴P（2，）；

（3）设点M（m，0），N（n，﹣n2+2n+），
由（1）知，A（﹣1，0），C（0，），
当AC与MN是对角线时，
∴AC与MN互相平分，
∴（0+）＝（﹣n2+2n+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
当AM与CN是对角线时，AM与CN互相平分，
∴（m﹣1）＝n，×（0+0）＝（﹣n2+2n++），
解得，n＝2±，
∴N（2+，﹣）或（2﹣，﹣），
当AN与CM是对角线时，AN与CM互相平分，
∴（﹣n2+2n+）＝×（0+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
即：以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（4，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣），

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/14 23:19:24；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序