【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（26）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（26）（含答案解析），共28页。试卷主要包含了9的平方根为，下列式子中，为最简二次根式的是，下表是我市6个县的统计结果，如图，直线y＝﹣x+b经过点等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（26）
一．选择题（共11小题）
1．9的平方根为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
5．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）

A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
6．下表是我市6个县（市）区今年某日最高气温（℃）的统计结果：
地区
孟州
温县
沁阳
博爱
武陟
修武
平均气温
温度（℃）
■
30
27
29
28
30
29
则6个县（市）区该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（　　）
A．29，31 B．30，29.5 C．30，29 D．30，3
7．如图，直线y＝﹣x+b经过点（0，3），则关于x的不等式﹣x+b＞0的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．25
9．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝25°，∠B＝65° B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝：： D．a＝6，b＝10，c＝12
10．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
11．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
12．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
13．化简：＝　 　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．

15．如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积是　 　．

16．若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　．
17．一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于　 　．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则AF的长为　 　．

19．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝　 　°．

三．解答题（共9小题）
20．计算：．
21．计算：（﹣2）2+﹣÷．
22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+4与y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D在直线y＝﹣x+b上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．

24．小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A、B两种水果进行销售，并分别以每箱35元与60元的价格售出，设购进A水果x箱，B水果y箱．
（1）若小王将水果全部售出共赚了215元，则小王共购进A、B水果各多少箱？
（2）若要求购进A水果的数量不得少于B水果的数量，则应该如何分配购进A、B水果的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是多少？
25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当∠BOD＝　 　°时，四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝50°，则当∠BOD＝　 　°时，四边形BECD是矩形．

26．如图，正方形ABCD中，M为BC上的点，E是AD的延长线的点，且AE＝AM，过E作EF⊥AM垂足为F，EF交DC于点N．
（1）求证：AF＝BM；
（2）若AB＝12，AF＝5，求DE的长．

27．某校七、八年级各有400名学生，为了了解疫情期间线上教学学生的学习情况，复学后，某校组织了一次数学测试，刘老师分别从七、八两个年级随机抽取各50名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
a．七、八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 80 81 81 81 82 82 82 83
85 85 86 86 88 88 89 90 90
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
80.3
m
八年级
78.2
76
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为　 　；
（2）在这次测试中，八年级80分以上（含80分）有　 　人；
（3）小江说：“这次考试没考好，只得了79分，但年级排名仍属于前50%”，请判断小江所在年级，并说明理由；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．

28．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）发现问题
如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，填空：线段BE与EF的数量关系是　 　；
（2）探究问题
如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；
（3）解决问题
如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝1，请直接写出AF的长度．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（26）
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．9的平方根为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】解：9的平方根有：＝±3．
故选：C．
【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
2．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义进行解答即可．
【解答】解：A、＝，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、＝2，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D、＝2，故原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
5．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）

A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6．下表是我市6个县（市）区今年某日最高气温（℃）的统计结果：
地区
孟州
温县
沁阳
博爱
武陟
修武
平均气温
温度（℃）
■
30
27
29
28
30
29
则6个县（市）区该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（　　）
A．29，31 B．30，29.5 C．30，29 D．30，3
【分析】先根据平均数的定义列式求出孟州的温度，再利用中位数和众数的定义求解可得．
【解答】解：∵这组数据的平均数为29，
∴孟州的温度为29×6﹣（30+27+29+28+30）＝30，
将这组数据重新排列为27、28、29、30、30、30，
∴6个县（市）区该日最高气温（℃）的众数为30℃，中位数为＝29.5（℃），
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握算术平均数、众数和中位数的定义．
7．如图，直线y＝﹣x+b经过点（0，3），则关于x的不等式﹣x+b＞0的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出一次函数与x轴的交点坐标，然后写一次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把（0，3）代入y＝﹣x+b得b＝3，
所以一次函数解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则一次函数与x轴的交点坐标为（2，0），
当x＜2时，y＞0，
所以关于x的不等式﹣x+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．25
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
【解答】解：如图所示：

AB＝＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
9．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝25°，∠B＝65° B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝：： D．a＝6，b＝10，c＝12
【分析】根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理判定即可．
【解答】解：A、∵∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故A选项正确；
B、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故B选项正确；
C、∵a：b：c＝：：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∴a2+b2＝5k2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；故C选项正确；
D、∵62+102≠122，
∴△ABC不是直角三角形，故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
10．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分0≤x≤2、2＜x≤4两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【解答】解：当0≤x≤2时，如题干图，
则y＝AD•AB＝×2×2＝2，为常数；
当2＜x≤4时，如下图，

则y＝AD×PD＝×2×（2+2﹣x）＝4﹣x，为一次函数；
故选：D．
【点评】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，确定函数表达式是本题解题的关键．
二．填空题（共8小题）
12．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是　乙　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．化简：＝　　．
【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．
【解答】解：＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的分母有理化，一般地，将分子、分母同乘分母的有理化因式，可将分母中的根号化去．本题还可将分子写成（）2，再约分即可．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　　．

【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
15．如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积是　12cm2　．

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝OD＝3cm，由勾股定理可得AO的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝OD＝3cm，
∴AO＝＝＝2cm，
∴AC＝4cm，
∴菱形ABCD的面积＝＝12cm2，
故答案为：12cm2．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是本题的关键．
16．若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是　4　．
【分析】先根据平均数的定义求出a的值，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：一组数据4，a，7，8，3的平均数是5
∴4+a+7+8+3＝5×5
解得：a＝3
从小到大排列为：3，3，4，7，8
第3个数是4，
∴这组数据的中位数为4．
故答案为：4．
【点评】考查平均数与中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
17．一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于　　．
【分析】一次函数图象与两坐标轴围成的面积，就要先求出一次函数图象与两坐标轴的交点，再由直角三角形面积公式求三角形面积，结合已知条件图象经过第一、三、四象限，判断k的取值范围k＞0，进而求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，
又∵一次函数y＝kx﹣2与两坐标轴的交点分别为（0，﹣2），（，0），
∴与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×||＝||＝4，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】考查知识点：一次函数图象特点；一次函数与坐标轴交点坐标求法；三角形面积公式．准确判断k的取值范围是正确求解k的关键．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则AF的长为　3　．

【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝　57.5　°．

【分析】根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF＝25°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣25°＝65°，
∵DF＝DC，
∴∠ECD＝＝57.5°．
故答案为：57.5．
【点评】主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考的简单题．
三．解答题（共9小题）
20．计算：．
【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣﹣2
＝4﹣﹣2
＝4﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21．计算：（﹣2）2+﹣÷．
【分析】先利用完全平方公式计算、化简二次根式、计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣4+2+2﹣3
＝7﹣5．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算顺序及运算法则．
22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．

【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+4与y＝﹣x+b的图象都经过A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．
（1）填空：k＝　2　，b＝　﹣1　；
（2）设点D在直线y＝﹣x+b上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．

【分析】（1）依据一次函数y＝kx+4与y＝﹣x+b的图象都经过点A（﹣2，0），即可得到k和b的值；
（2）根据解析式求得B、C两点的坐标，然后依据S△ABC+S△BCD＝15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝kx+4得﹣2k+4＝0，解得k＝2，
将A（﹣2，0）代入y＝﹣x+b得1+b＝0，解得b＝﹣1；
故答案为2，﹣1；

（2）如图，过D作DE⊥BC于E，
在y＝2x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
在y＝﹣x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∴BC＝5，
当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD＝15，
即AO×BC+DE×BC＝15，
∴×2×5+×DE×5＝15，
∴DE＝4，
在y＝﹣x﹣1中，令x＝4，则y＝﹣3，
∴D（4，﹣3）．

【点评】本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
24．小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A、B两种水果进行销售，并分别以每箱35元与60元的价格售出，设购进A水果x箱，B水果y箱．
（1）若小王将水果全部售出共赚了215元，则小王共购进A、B水果各多少箱？
（2）若要求购进A水果的数量不得少于B水果的数量，则应该如何分配购进A、B水果的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是多少？
【分析】（1）根据总价＝单价×数量列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设利润为W元，找出利润W关于x的函数关系式，由购进A水果的数量不得少于B水果的数量找出关于x的一元一次不等式，解不等式得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得，
答：小王共购进A种水果25箱，B种水果9箱．

（2）设利润为W元，
W＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240．
∵购进A水果的数量不得少于B水果的数量，
∴x≥，解得：x≥15．
∵﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝15时，W取最大值，最大值为225，此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15．
答：购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解二元一次方程组及解一元一次不等式，解题的关键：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）列出W与x的函数关系式以及x的取值范围．
25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当∠BOD＝　90　°时，四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝50°，则当∠BOD＝　100　°时，四边形BECD是矩形．

【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；
（3）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；
理由：∵四边形BECD是平行四边形，
∴当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；

（3）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案是：（2）90°；
（3）100°．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
26．如图，正方形ABCD中，M为BC上的点，E是AD的延长线的点，且AE＝AM，过E作EF⊥AM垂足为F，EF交DC于点N．
（1）求证：AF＝BM；
（2）若AB＝12，AF＝5，求DE的长．

【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC＝90°，AD∥BC，由“AAS”可证△ABM≌△EFA，可得AF＝BM；
（2）由勾股定理可求AM＝13，由全等三角形的性质可得AM＝AE＝13，即可求DE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC＝90°，AD∥BC
∴∠EAF＝∠AMB，
∵∠AFE＝∠ABC＝90°，AE＝AM，
∴△ABM≌△EFA（AAS）
∴AF＝BM
（2）∵在Rt△ABM中，AB＝12，AF＝BM＝5
∴AM＝＝13
∵△ABM≌△EFA，
∴AM＝AE＝13，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴DE＝AE﹣AD＝13﹣12＝1
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
27．某校七、八年级各有400名学生，为了了解疫情期间线上教学学生的学习情况，复学后，某校组织了一次数学测试，刘老师分别从七、八两个年级随机抽取各50名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
a．七、八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 80 81 81 81 82 82 82 83
85 85 86 86 88 88 89 90 90
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
80.3
m
八年级
78.2
76
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为　80　；
（2）在这次测试中，八年级80分以上（含80分）有　160　人；
（3）小江说：“这次考试没考好，只得了79分，但年级排名仍属于前50%”，请判断小江所在年级，并说明理由；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．

【分析】（1）根据题意和直方图中的数据，可以求得m的值；
（2）根据题目中的数据和直方图中的数据，可以得到在这次测试中，八年级80分以上（含80分）的人数；
（3）根据表格中的数据，可以得到小江属于哪个年级，并说明理由；
（4）根据题目中的数据和直方图中的数据，可以计算出七年级达到“优秀”的人数．
【解答】解：（1）由直方图中的数据可知，
中位数是80≤x＜90这一组第一个和第二个数的平均数，
故m＝（80+80）÷2＝80，
故答案为：80；
（2）由频数分布直方图可得，
在这次测试中，八年级80分以上（含80分）有400×＝160（人），
故答案为：20；
（3）小江属于八年级，因为小江的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，故小江属于八年级；
（4）400×＝136（人），
即七年级达到“优秀”的有136人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）发现问题
如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，填空：线段BE与EF的数量关系是　BE＝EF　；
（2）探究问题
如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；
（3）解决问题
如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝1，请直接写出AF的长度．

【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论．
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后由SAS证得△BGE≌△ECF，即可得出结论．
（3）连接EF、过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，证明同（2），得出BE＝EF，证明∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，∠BEA＝30°，则AE＝2AB＝6，BE＝＝＝EF，得出∠EBC＝∠EFB＝30°，∠BEF＝120°，则∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：（1）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF．
故答案为BE＝EF．

（2）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图②所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴∠ECF＝120°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．

（3）连接EF，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图③所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF，
∵∠ABC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣∠ABE﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，∠BEA＝30°，
∴AE＝2AB＝2×1＝2，BE＝＝，
∴EF＝，
∵BE＝EF，
∴∠EBC＝∠EFB＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝．


【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
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