【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（3）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（3）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了﹣4的倒数是，计算，如图，点A是反比例函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（3）
一．选择题（共8小题）
1．﹣4的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
2．计算（﹣2x3y）2的结果是（　　）
A．4x5y2 B．﹣4x5y2 C．4x6y2 D．﹣4x6y2
3．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．85°
4．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
5．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（　　）

A． B． C．3 D．4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+1
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．直线y＝kx+3与x轴交于点（﹣3，0），则k的值是　 　．
10．当x＝　 　时，分式无意义．
11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1：（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是　 　．

12．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为　 　．

13．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 　 　．

14．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，∠DAB＝∠DCB＝60°，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当CP＝2DP时，则DP的长为　 　．

三．解答题（共6小题）
15．（1）解方程：+1＝
（2）解不等式组：
16．如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且
（1）使tan∠AOB的值为1；
（2）使tan∠AOB的值为．

17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝CF，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，AB＝5．点D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP＝7．
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB＝90°时，求反比例函数的解析式．

19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

20．【问题情境】
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连接CD，点E为CB上一点，过点D且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）
【探索发现】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连接CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．
【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．
【类比迁移】
如图③，在等边△ABC中，AB＝4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝　 　．


2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．﹣4的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣4的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．计算（﹣2x3y）2的结果是（　　）
A．4x5y2 B．﹣4x5y2 C．4x6y2 D．﹣4x6y2
【分析】利用积的乘方以及幂的乘方即可求解．
【解答】解：（﹣2x3y）2＝4x6y2．
故选：C．
【点评】考查了幂的乘方的性质，积的乘方的性质，正确理解运算的法则是关键．
3．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．85°
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
【点评】此题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
4．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（　　）

A． B． C．3 D．4
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，
∴k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
7．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+1
【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x）+1
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1
＝2（x﹣1）2﹣2+1
＝2（x﹣1）2﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】方法一：根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
方法二：根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用勾股定理得出FG的长，即可得出答案．
【解答】方法一：
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝4，
∴＝，
∵FC＝FG，
∴＝，
解得：FC＝，
即CE的长为．
故选：A．

方法二：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝4，
∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，
∴FG2+BG2＝BF2，
则x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
即CE的长为．
故选：A．


【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF＝∠CFE．
二．填空题（共6小题）
9．直线y＝kx+3与x轴交于点（﹣3，0），则k的值是　1　．
【分析】把点（﹣3，0）代入直线y＝kx+3得﹣3k+3＝0，即可解得k的值．
【解答】解：把点（﹣3，0）代入直线y＝kx+3得：﹣3k+3＝0．
解得k＝1．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，比较简单．解答此题的关键是弄清题意，直线与x轴有交点，则交点坐标一定适合直线的解析式．
10．当x＝　　时，分式无意义．
【分析】分式无意义的条件是分母等于零．
【解答】解：∵分式无意义，
∴2x﹣7＝0，解得：x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．
11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1：（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是　10m　．

【分析】Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5 米，
∴AB＝＝10米．
故答案为10m．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
12．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为　12　．

【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y＝即可求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m•5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键．
13．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 　21°　．

【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°；
故答案为：21°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
14．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，∠DAB＝∠DCB＝60°，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当CP＝2DP时，则DP的长为　1+或2或2　．

【分析】①当P在AD上时，过点作PE⊥CE交CD延长线于点E，连接CP，则∠PDE＝60°，∠DPE＝30°，设DP＝x，DE＝x，由勾股定理得EP＝＝x，CE＝6+x，CP＝2DP＝2x，在Rt△CEP中，由勾股定理得EP2+CE2＝CP2，即可得出结果；
②当P在CD上时，设DP＝x，CP＝2x，由DP+PC＝6，即可得出结果；
③当P在AC上时，过点P作PE⊥CD交CD于点E，设DP＝x，CP＝2x，证E，D两点重合，在Rt△CDP中，由勾股定理得CD2+DP2＝CP2，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，其边长为6，∠DAB＝∠DCB＝60°，
∴AD＝CD＝6，∠ADC＝120°，
①当P在AD上时，过点作PE⊥CE交CD延长线于点E，连接CP，如图1所示：
则∠PDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DPE＝30°，
设DP＝x，
∴DE＝x，
由勾股定理得：EP＝＝＝x，
∴CE＝CD+DE＝6+x，
CP＝2DP＝2x，
在Rt△CEP中，由勾股定理得：EP2+CE2＝CP2，
即：（x）2+（6+x）2＝（2x）2，
解得：x1＝1﹣（不合题意舍去），x2＝1+，
∴DP＝1+；
②当P在CD上时，如图2所示：
设DP＝x，
∴CP＝2x，
∵DC＝6，
∴DP+PC＝6，即x+2x＝6，
解得：x＝2，
∴DP＝2；
③当P在AC上时，过点P作PE⊥CD交CD于点E，如图3所示：
设DP＝x，
∴CP＝2x，
∵四边形ABCD为菱形且∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴EP＝x，
∴E，D两点重合，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：CD2+DP2＝CP2，
即：62+x2＝（2x）2，
解得：x＝2，
∴DP＝2；
综上所述，DP长度为：1+或2或2，
故答案为：1+或2或2．



【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理、分类讨论等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（1）解方程：+1＝
（2）解不等式组：
【分析】（1）两边同时乘以x﹣3，整理后可得x＝；
（2）不等式组的每个不等式解集为；
【解答】解：（1）+1＝，
两边同时乘以x﹣3，得
x﹣2+x﹣3＝﹣2，
∴x＝；
经检验x＝是原方程的根；
（2）由可得，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2；
【点评】本题考查分式方程，不等式组的解；掌握分式方程和不等式组的解法是关键．
16．如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且
（1）使tan∠AOB的值为1；
（2）使tan∠AOB的值为．

【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、，构造直角三角形进而得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示；
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝CF，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．
（2）四边形ACDF是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AFG＝∠GCD，
∵AG＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC（SAS），
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．

（2）结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BC＝CF，
∴AD＝CF，
∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，
∵AD＝CF，
∴四边形AFDC是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，AB＝5．点D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP＝7．
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB＝90°时，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）根据勾股定理求出OB，即可得出答案；
（2）设D的坐标是（4，y），证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可．﹣
【解答】解：（1）∵AB＝5，OA＝4，∠AOB＝90°，
∴由勾股定理得：OB＝3，
即点B的坐标是（0，3），
∵OP＝7，
∴线段PB的长是7+3＝10；

（2）过D作DM⊥y轴于M，
∵PD⊥BD，
∴∠BDP＝∠DMB＝∠DMP＝90°，
∴∠DBM+∠BDM＝90°，∠BDM+∠MDP＝90°，
∴∠DBM＝∠PDM，
∴△DBM∽△PDM，
∴＝，
∵OA＝4，AD⊥x轴，
∴设D的坐标是（4，y）（y＞0），
∴＝，
解得：y＝1，（y＝﹣5舍去），
即D点的坐标是（4，1），
把D的坐标代入y＝得：k＝4，
即反比例函数的解析式是y＝．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得 点E滑动的距离．
【解答】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，

在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴，＝cos37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝＝＝3（cm）．
答：连接杆DE的长度为cm．
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，

∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．
【点评】本题属于解直角三角形的应用题，出题角度新颖，既贴近生活，又需要借助三角函数勾股定理等数学知识才能解决，难度中等偏大．
20．【问题情境】
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连接CD，点E为CB上一点，过点D且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）
【探索发现】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连接CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．
【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．
【类比迁移】
如图③，在等边△ABC中，AB＝4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝　3﹣或﹣1+　．

【分析】【问题情境】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
【探索发现】根据线段的中点的定义得到CD＝BD，求得∠DBC＝∠DCB＝45°，得到∠CDF＝∠BDE，推出CF＝BE；
【类比迁移】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝60°，求得∠BDF＝∠AED，设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，如图④，当点E在AC的延长线上时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：【问题情境】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，
∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝AB，∠BCD＝∠B＝45°，
∴∠BDC＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDF＝∠BDE，
在△BDE与△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF；
【探索发现】成立，
理由：
∵在Rt△ABC中，D为AB中点，
∴CD＝BD，
又∵AC＝BC，
∴DC⊥AB，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，
∴∠CDF＝∠BDE，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴AF＝CE，
∴CF＝BE；
【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵∠FDE＝60°，
∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，
∴∠BDF＝∠AED，
∴△ADE∽△BDF，
∴，
∵点D为AB中点，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，
∵CF＝2CE，
∴设CE＝x，则CF＝2x，
当点E在线段AC上时，
∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，
∴＝，
解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），
∴CE＝3﹣，
如图④，当点E在AC的延长线上时，
∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，
∴＝，
解得：x＝﹣1+，（负值舍去），
∴CE＝﹣1+．
综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，
故答案为：3﹣或﹣1+．

【点评】本题考查了几何变换综合题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
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日期：2021/11/14 23:15:52；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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