【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（17）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（17）（含答案解析），共35页。试卷主要包含了﹣2020的倒数是，关于x的一元二次方程，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（17）
一．选择题（共13小题）
1．﹣2020的倒数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
2．2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（　　）
A．16.959×1010元 B．1695.9×108元
C．1.6959×1010元 D．1.6959×1011元
3．物体的形状如图所示，则从上面看此物体得到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
5．下面四个图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
7．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a2+a2＝a4
8．如图，△ABC是半径为3的⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若，则弦AC的长是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．
9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）

A． B． C． D．7
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，BC边上高为4，∠B＝120°，M为BC中点，若分别以B、C为圆心，BM长为半径画弧，交AB，CD于E，F两点，则图中阴影部分面积是（　　）

A．24﹣3π B．12﹣3π C．24﹣π D．24﹣
11．如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得∠BPF＝∠ACB．BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点 E．给出下列结论，其中正确的是（　　）
①AG＝GO；②PE＝2BF；③在点P运动的过程中，当GB＝GP时，GP＝（2+）BF；④当P为BC的中点时，＝．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共9小题）
12．因式分解：x2y﹣4y＝　 　．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为　 　．

14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物的高度BC约为　 　米．

15．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为 　 　．
16．如图图形是由相同的小五角星按一定的规律排列组合而成，其中第一个图形有6个五角星，第二个图形有10个五角星，第三个图形有16个五角星，第四个图形有24个五角星……则第十个图形有　 　个五角星．


17．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　 　米．

18．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为　 　．

19．如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为　 　．

三．解答题（共11小题）
20．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
21．如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°．
（1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
（2）求证：△ABD是等腰三角形．

22．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
23．如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．
（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）求证：AE⊥DE．

24．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？

25．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
26．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且＝，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若＝，求证：AE＝AO；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．
（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．

28．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（17）
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．﹣2020的倒数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：﹣2020的倒数是，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（　　）
A．16.959×1010元 B．1695.9×108元
C．1.6959×1010元 D．1.6959×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．物体的形状如图所示，则从上面看此物体得到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该几何体从上面看到的平面图有两层，第一层一个正方形，第二层有3个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5．下面四个图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a2+a2＝a4
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的运算．正确掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式等知识，熟练掌握相关法则和公式是解题的关键．
8．如图，△ABC是半径为3的⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若，则弦AC的长是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．
【分析】连接DC，根据同弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠D，又因为AD是直径，可知∠ACD＝90°，进而可根据锐角三角函数的定义求出弦AC．
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠B与∠D所对弧相同，
∴∠B＝∠D，
∴
又∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵半径为3
∴AD＝6，
∴在Rt△ACD中，
∴AC＝2，
故选：B．

【点评】本题考查圆的相关知识及锐角三角函数的定义，连接CD，得到直角三角形是解题关键
9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）

A． B． C． D．7
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝AB，EF＝BC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，
∴AB＝4，
由勾股定理知 AF＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，BC边上高为4，∠B＝120°，M为BC中点，若分别以B、C为圆心，BM长为半径画弧，交AB，CD于E，F两点，则图中阴影部分面积是（　　）

A．24﹣3π B．12﹣3π C．24﹣π D．24﹣
【分析】根据题意，可以得到两个扇形的半径，由图可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去两个扇形的面积，然后代入数据计算即可解答本题．
【解答】解：∵BC＝6，M为BC中点，分别以B、C为圆心，BM长为半径画弧，
∴BM＝CM＝3，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠C＝60°，
∵在平行四边形ABCD中，BC＝6，BC边上高为4，
∴图中阴影部分面积是：6×4﹣＝24﹣，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质和面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得∠BPF＝∠ACB．BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点 E．给出下列结论，其中正确的是（　　）
①AG＝GO；②PE＝2BF；③在点P运动的过程中，当GB＝GP时，GP＝（2+）BF；④当P为BC的中点时，＝．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】过点G作GH⊥AB于点H，作∠BPF＝∠FPM，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点N，由正方形的性质得出OG＝GH，由等腰直角三角形的性质可得出①正确；证明△PFM≌△PFB（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝FM，证明△MBK≌△EPK（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝BM，则可得出②正确；证明△MNG为等腰直角三角形，∠MPG＝22.5°，得出∠MPF＝∠MPN，可得出③正确；在BF上截取TF＝EF，则△EFT为等腰直角三角形，设EF＝FT＝a，由等腰直角三角形的性质得出BF＝（+1）EF，由三角形的面积可得出，证明△BPE∽△ABG，由相似三角形的性质得出S△ABG＝4S△BPE，则可得出④错误．
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，作∠BPF＝∠FPM，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点N，

∵正方形ABCD中，∠ACB＝∠DBC＝45°，∠BPF＝∠ACB，
∴∠BPF＝22.5°，
∴∠PBF＝67.5°，
∴∠OBG＝∠PBF﹣∠DBC＝22.5°，
∴∠OBG＝∠GBH＝22.5°，
∵GO⊥BD，GH⊥AB，
∴OG＝GH，
∴AG＝GO；故①正确；
∵∠BPF＝∠FPM，PF＝PF，∠PFB＝∠PFM，
∴△PFM≌△PFB（ASA），
∴FM＝BF，
∵∠KBP＝∠KPB＝45°，
∴△PBK为等腰直角三角形，
∴KB＝KP，∠PKB＝90°，
∵∠KPE＝∠MBK，∠PKB＝∠BKM，
∴△MBK≌△EPK（AAS），
∴PE＝BM，
∴PE＝2BF；故②正确；
∵BG＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝67.5°，
∴∠BGP＝45°，
∴△MNG为等腰直角三角形，∠MPG＝22.5°，
∴∠MPF＝∠MPN，
∴MN＝NG＝FM＝BF，
∴MG＝BF，
∴PG＝BG＝BF+FM+MG＝2BF+BF＝（2+）BF；
故③正确；

在BF上截取TF＝EF，则△EFT为等腰直角三角形，
设EF＝FT＝a，
∴BT＝ET＝a，
∴，
∴BF＝（+1）EF，
∵PE＝2BF，
∴＝，
∴，
∵∠EBP＝∠BAG＝45°，∠BPE＝∠ABG＝22.5°，
∴△BPE∽△ABG，
∴，
∴S△ABG＝4S△BPE，
∴S△ABG＝8（+1）S△BEF，
∴．故④错误．
故选：A．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．
二．填空题（共9小题）
12．因式分解：x2y﹣4y＝　y（x﹣2）（x+2）　．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为　25°　．

【分析】根据平行线的性质求得∠ACB度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物的高度BC约为　80　米．

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝20（米），
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝60（米），
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝80（米）
故答案为80．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
15．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为 　9　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：设白球的个数约为a，根据题意得，
解得：a＝9，
经检验：a＝9是分式方程的解，
故答案为：9
【点评】本题考查利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
16．如图图形是由相同的小五角星按一定的规律排列组合而成，其中第一个图形有6个五角星，第二个图形有10个五角星，第三个图形有16个五角星，第四个图形有24个五角星……则第十个图形有　114　个五角星．


【分析】根据已知图形得出第n个图形中五角星个数为4+n（n+1），据此可得．
【解答】解：∵第一个图形中五角星的个数6＝4+1×2，
第二个图形中五角星的个数10＝4+2×3，
第三个图形中五角星的个数16＝4+3×4，
……
∴第十个图形中五角星的个数为4+10×11＝114，
故答案为：114．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是将已知图形分割成两部分，并从中找到总个数的通项公式4+n（n+1）．
17．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　300　米．

【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：设线段AB对应的圆心角度数为n，
∵100π＝＝，
∴n＝60°，
又AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝300（米），
故答案为：300．

【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，根据弧长公式求得∠AOB的度数是解题的关键．
18．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为　14　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值，从而求出△AOB的面积．
【解答】解：∵△BCE的面积为7，
∴BC•OE＝7，
∴BC•OE＝14，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD＝DC＝AD，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∠EOB＝∠ABC＝90°，
∴△EOB∽△ABC，
∴，
∴AB•OB•＝BC•OE，
∵•OB•AB＝，
∴k＝AB•BO＝BC•OE＝14，
故答案为14．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB•OB•＝BC•OE．
19．如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为　﹣1　．

【分析】连接BB'，延长BC′交AB'于点M，易证△ABB'为等边三角形，由SSS证明△ABC'≌△B'BC'，得到∠MBB'＝∠MBA＝30°，由等边三角形的性质得出BM⊥AB'，且AM＝B'M，由勾股定理与直角三角形斜边上的中线即求出BM，C'M的长，即可解决问题．
【解答】解：连接BB'，延长BC′交AB'于点M，如图所示：
由旋转的性质得：∠BAB'＝60°，BA＝B'A，AC＝BC＝AC′＝B′C′，∠AC′B′＝∠ACB＝90°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠ABB'＝60°，AB＝BB'，
在△ABC'与△B'BC'中，，
∴△ABC'≌△B'BC'（SSS）
∴∠MBB'＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB'，且AM＝B'M，
∵AC＝BC＝，∠C＝90°，
∴AB＝AC＝2，
∴AB＝AB'＝2，
∴AM＝1，
BM＝＝＝，
C′M＝AB′＝×2＝1，
∴C′B＝BM﹣C′M＝﹣1，
故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
20．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°．
（1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
（2）求证：△ABD是等腰三角形．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC上作一点D，使AD＝CD；
（2）结合（1）根据等腰三角形的判定即可证明△ABD是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；

（2）连接AD，
∵AB＝AC，∠A＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
由（1）得：AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．
22．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；
（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求解；
（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用列举法即可求解．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是：60÷10%＝600（人）；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
C类所占的百分比是：×100%＝20%，
A类所占的百分比是：×100%＝30%．
；
（3）扇形统计图中C所对圆心角的度数是：360°×20%＝72°；
（4）画树状图如下：

则他第二个吃到的恰好是C粽的概率是：＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．
（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）求证：AE⊥DE．

【分析】（1）由轴对称的性质得出AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，证△AOF≌△COE（AAS），得出AF＝CE，则AE＝AF＝CE＝CF，即可得出四边形AECF是菱形；
（2）证∠ACB＝30°，△ABE是等边三角形，则AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∠AEC＝120°，证出CE＝BE＝BC＝AB＝CD，则∠CED＝∠CDE＝30°，进而得出结论．
【解答】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，
又∵CE＝AE，
∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
∴AE⊥DE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？

【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；

（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
25．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；
（2）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵尽可能投入少，
∴x2＝10舍去．
答：应该增加5条生产线．
（3）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且＝，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若＝，求证：AE＝AO；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，连接OC，只要证明∠OCE＝90°即可，根据题目中的条件，可以证明OC∥BD，再根据CD⊥BG于点D，从而可以证明结论成立；
（2）根据三角形相似的判定与性质，＝，可以证明AE＝AO；
（3）在（2）的条件下，CD＝，然后根据三角形相似和勾股定理可以求得AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，＝，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∴∠ECO＝∠EDB，
∵CD⊥BG于点D，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵OC∥BD，
∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，
∴△OCF∽△DBF，
∴，
∵＝，
∴，
∵OC∥BD，
∴△EOC∽△EBD，
∴，
∴，
设OE＝2a，则EB＝3a，
∴OB＝a，
∴AO＝a，
∴EA＝a，
∴AE＝AO；
（3）∵OC＝OA＝a，EO＝2a，
∴OC＝EO，
又∵∠OCE＝90°，
∴∠E＝30°，
∵∠BDE＝90°，BC平分∠EBD，
∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°，
∵CD＝，
∴BC＝2，BD＝，
∵，
∴OC＝，
作DM⊥AB于点M，
∴∠DMB＝90°，
∵BD＝，∠DBM＝60°，
∴BM＝，DM＝，
∵OC＝，
∴AB＝，
∴AM＝AB﹣BM＝＝，
∵∠DMA＝90°，DM＝，
∴AD＝＝＝．


【点评】本题是一道圆的综合题目，主要考查弧、弦、圆心角的关系、三角形相似的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．
（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入求出a的值即可得出答案；
（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，求出直线BD的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），可得出S△PBD＝﹣m，解方程可求出m的值，则答案可求出；
（3）设M（a，0），证明△AMN∽△ABD，可得，再由△DNM∽△BMD，可得，得出关于a的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．
（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3
∴D（0，3）．
设直线BD的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．
设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，
∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，
∵S△PBD＝3，
∴﹣m＝3．
解得：m1＝1，m2＝2．
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．
（3）∵B（3，0），D（0，3），
∴BD＝＝3，
设M（a，0），
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴，
即．
∴MN＝（1+a），DM＝＝，
∵△DNM∽△BMD，
∴，
∴DM2＝BD•MN．
∴9+a2＝3（1+a）．
解得：a＝或a＝3（舍去）．
∴点M的坐标为（，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和三角形的面积；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能灵活运用相似三角形的判定与性质．
28．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴BD＝2；
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE+∠BCD＝∠A+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．

【点评】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键．
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日期：2021/11/14 23:18:08；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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